河南中考数学10年压轴题集锦.doc

河南中考数学10年压轴题集锦
河南中考数学压轴题汇集
(2010）23．（11分）在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A，B,C三点．（1）求抛物线的解析式;
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

（2011)23. （11分）如图，在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.(1）求该抛物线的解析式；
(2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C,交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l,点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值;
②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG。随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变。当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标。

第23题
x
y
A
B
C
D
P
O
（2012）23.(11分)如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上,点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点C，作PD⊥AB于点D。
（1)求a、b及sin∠ACP的值；
(2）设点P的横坐标为m。
① 用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在合适的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写m的值；若不存在，说明理由。

（2013)23。（11分)如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为. 点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。
(3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标.
O
C
D
B
A
备用图
y
x
P
E
O
F
C
D
B
A

x
y

（2014)23。 (11分）如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A（-1,0）,B(5，0)两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。
(1）求抛物线的解析式;
（2）若PE =5EF,求m的值;
（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P,使点E/落在y轴上?若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（2015）23。（11分)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F。 点D、E的坐标分别为(0,6)，（-4，0），连接PD，PE，DE.
（1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值. 进而猜想:对于任意一点P，PD与PF的差为定值。 请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点"。
请直接写出所有“好点"的个数,并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.
C
B
A
y
O
E
D
x
备用图
P
E
O
F
C
D
B
A
图
x
y

（2016）23。 （11分）如图1,直线交轴于点A，交轴于点C（0，4）。抛物线
经过点A，交轴于点B（0，—2）.点P为抛物线上一个动点，经过点P作轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D,连接PB，设点P的横坐标为.
(1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2,将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标。

（2017•河南）23．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3,0）,与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2)M（m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动,若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M,P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M,P，N三点成为“共谐点”的m的值．

（2010)

（2011）
23.（1）对于，当y=0，x=2。当x=—8时，y=-
∴A点坐标为(2,0），B点坐标为…………………………………………1分
由抛物线经过A、B两点,得

解得…………………………………………3分
（2）①设直线与y轴交于点M
当x=0时，y=. ∴OM=。
∵点A的坐标为(2，0）,∴OA=2.∴AM=……………………4分
∵OM：OA:AM=3∶4：5.
由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED。
∴DE:PE：PD=3∶4：5。…………………………………………………………………5分
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，
∴PD=yP-yD

=.………………………………………………………………………6分
∴
…………………………………………………………………7分
……………………………………8分
②满足题意的点P有三个,分别是
……………………………………………………………11分
【解法提示】
当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，所以
当点F落在y轴上时，同法可得，
（舍去）.

（2012）

（2013）

（2014）

（2015）（1)【分析】由题意设抛物线解析式为，将A、C两点坐标代入即可。
解:抛物线的解析式为：。………………………………………………（3分）
【解法提示】由题意设抛物线解析式为，∵的正方形OABC的边长为8，∴点A(—8，0）、C（0，8),∴,解得，抛物线解析式为。
(2)【分析】设P点坐标为,表示出PF的长度，构造PD所在的直角三角形，表示PD的长度，通过求差法得到PD-PF的值。
解：
M

（3）【分析】通过将△PDE的面积进行转化，得到其面积的表达式，根据点P横坐标m的取值范围，确定面积为整数时“好点”的个数，再把△PDE周长的最小值转化成PE+PF的和最小,进而知道当P、E、F三点共线时△PDE周长的最小，确定点P的坐标.
解:好点共11个；］
在点P运动时,DE的大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，
∵PD—PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，
当P,E，F三点共线时，PE+PF最小,
此时,点P,E的横坐标为—4，将x=—4代入,得y=6，
∴P（-4，6），此时△PDE周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”。
∴△PDE周长最小时点P的坐标为（—4,6）.
【解法提示】△PDE的面积由于—8≤x≤0，可得4≤S≤13，所以S的整数值为10个.由图象可知,当S=12时,对应的“好点"有2个，所以“好点"共有11个。

（2016)23.(1）由直线过点C（0，4)，得=4。 ∴
当=0时，，解得=3。 ∴A（3，0）。 …………………………1分
∵抛物线经过点A（3,0）、B（0,—2），
∴,∴。
∴抛物线的解析式为。 …………………………………………3分
（2）∵点P的横坐标为，∴P（）,D（，)。 ……………4分
若△BDP为等腰直角三角形,则PD=BD。
①当点P在直线BD上方时,PD=.
（I)若点P在轴左侧，则<0,BD=。
∴=，∴1=0（舍去）,2=（舍去). ………………………5分
（II）若点P在轴右侧，则>0，BD=.
∴=,∴1=0（舍去），2=. ……………………………………6分
②当点P在直线BD下方时,>0，BD=，PD=.
∴=,∴1=0（舍去),2=. …………………………………7分
综上,=或。 即当△BDP为等腰直角三角形，PD的长为或。……………8分
（3），,。 ……………………………11分

【提示】∵∠PBP′=∠OAC,OA=3，OC=4,
∴AC=5， ∴sin∠PBP′=,cos∠PBP′=.
①当点P′落在轴上时,过点D′作D′N⊥轴，垂足为N，
交BD于点M，∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′.
如图1，ND′- MD′=2，即.
如图2，ND′+ MD′=2,即。
∴,。
②当点P′落在轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥轴，
交BD于点M，过点P′作P′N⊥轴，交MD′的延长线于点N，
∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′。
∵P′N=BM,即
∴。

（2017）【解答】解：
（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A(3，0）,与y轴交于点B，
∴0=﹣2+c,解得c=2，
∴B（0，2），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P（m，﹣m+2）,N（m,﹣m2+m+2），
∴PM=﹣m+2，PA=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m,
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°,
当∠BNP=90°时,则有BN⊥MN，
∴BN=OM=m，
∴=，即=,解得m=0（舍去）或m=2.5，
∴M（2.5，0);
当∠NBP=90°时,则有=,
∵A(3，0)，B（0，2)，P(m,﹣m+2)，
∴BP==m，AP==（3﹣m)，
∴=，解得m=0(舍去）或m=，
∴M（，0）；
综上可知当以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为(2。5，0)或(，0）；
②由①可知M（m，0)，P（m，﹣m+2），N（m,﹣m2+m+2），
∵M，P,N三点为“共谐点”,
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点,
当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3(三点重合，舍去）或m=；
当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2)=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；
当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+m+2)，解得m=3(舍去)或m=﹣；
综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．