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课后作业(十六)
一、选择题
1．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为( )
A．－2＜m＜2 B．－2≤m≤2
C．m＜－2或m＞2 D．m≤－2或m≥2
图2－12－2
2．在R上可导的函数f(x)的图象如图2－12－2所示，则关于x的不等式x·f′(x)＜0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
3．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
图2－12－3
4．(2013·珠海质检)如图2－12－3为一圆锥形容器，其底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为(注：π≈3.1)( )
A．27分米/分钟 B．9分米/分钟
C．81分米/分钟 D．9分米/分钟
5．(2012·湖南高考)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0<f(x)<1；当x∈(0，π)且x≠时，(x－)f′(x)>0.则函数y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零点个数为( )
A．2 B．4 C．5 D．8
二、填空题
6．若f(x)＝xsin x＋cos x，则f(－3)，f()，f(2)的大小关系为________．
7．(2013·中山模拟)若函数f(x)满足：“对于区间(1，2)上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|＜|x2－x1|恒成立”，则称f(x)为完美函数，给出以下四个函数
①f(x)＝；②f(x)＝|x|；③f(x)＝()x；④f(x)＝x2.其中是完美函数的序号是________．
8．已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln x是单调递增函数，则m的取值范围是________．
三、解答题
9．(2013·深圳模拟)已知定义在区间[－2，t](t＞－2)上的函数f(x)＝(x2－3x＋3)ex.
(1)当t＞1时，求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)设m＝f(－2)，n＝f(t)，试证明m＜n.
10．(2013·广州质检)广州市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k＞0)．现已知相距36 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．
(1)试将y表示为x的函数；
(2)若a＝1时，y在x＝6处取得最小值，试求b的值．
11．已知函数f(x)＝2x3＋tx2－3t2x＋，x∈R，其中t∈R.
(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当t≠0时，求f(x)的单调区间；
(3)证明：对任意的t∈(0，2)，f(x)在区间(0，1)内均存在零点．
解析及答案
一、选择题
1．
【解析】 y′＝3(1－x)(1＋x)，由y′＝0，得x＝±1.
∴y极大＝2，y极小＝－2，∴－2＜m＜2.
【答案】 A
2．
【解析】 (1)当x∈(－∞，－1)和x∈(1，＋∞)时，f(x)是增函数，
∴f′(x)＞0，因此x＜0，
∴x·f′(x)＜0的范围是(－∞，－1)．
(2)当－1＜x＜1时，f(x)递减，∴f′(x)＜0.
由x·f′(x)＜0，得x＞0，∴0＜x＜1.
故x·f′(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．
【答案】 A
3．
【解析】 由已知，[f(x)－(2x＋4)]′＝f′(x)－2＞0，
∴g(x)＝f(x)－(2x＋4)单调递增，
又g(－1)＝0，∴f(x)＞2x＋4的解集是(－1，＋∞)．
【答案】 B
4．
【解析】 设t时刻水面高度为h，半径为r，则r＝h.
此时水的体积V＝πr2h＝πh3，又V＝9.3t，
所以πh3＝9.3t，且π≈3.1.
∴h＝3t，则h′＝t－，
故当t＝分钟时的瞬时变化率为()－＝9.
【答案】 B
5．
【解析】 ∵(x－)f′(x)>0，
当<x<π时，f′(x)>0；当0<x<时，f′(x)<0.
∴f(x)在(，π)上是增函数，在(0，)上是减函数．
设π≤x≤2π，则0≤2π－x≤π.
由f(x)是以2π为最小正周期的偶函数知f(2π－x)＝f(x)．
故π≤x≤2π时，0<f(x)<1.
依题意作出草图可知，y1＝f(x)与y2＝sin x在[－2π，2π]上有四个交点．
【答案】 B
二、填空题
6．【解析】 函数f(x)为偶函数，因此f(－3)＝f(3)．
又f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
当x∈(0，)时，f′(x)＞0；x∈(，π)时，f′(x)＜0.
∴f(x)在区间(，π)上是减函数，
∴f()＞f(2)＞f(3)＝f(－3)．
【答案】 f(－3)＜f(2)＜f()
7．
【解析】 由|f(x2)－f(x1)|＜|x2－x1|知||＜1，即|f′(x)|＜1.经验证：①③符合题意．
【答案】 ①③
8．【解析】 依题意知，x＞0，f′(x)＝，
令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)，
当－≤0时，g(0)＝1＞0恒成立，∴m≥0成立，
当－＞0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m＜0，
综上，m的取值范围是m≥－2.
【答案】 m≥－2
三、解答题
9．
【解】 (1)f′(x)＝(2x－3)ex＋ex(x2－3x＋3)
＝exx(x－1)．
由于t＞1，故当x∈(－2，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(1，t)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
综上，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－2，0)，(1，t)；单调递减区间为(0，1)．
(2)m＝f(－2)＝13e－2，n＝f(t)＝(t2－3t＋3)et，
设h(t)＝n－m＝(t2－3t＋3)et－13e－2，
h′(t)＝(2t－3)et＋et(t2－3t＋3)＝ett(t－1)(t＞－2)．
h(t)，h′(t)随t的变化情况如下表：
由上表可知h(t)的极小值为h(1)＝e－＝＞0，
又h(－2)＝0，
所以当t＞－2时，h(t)＞h(－2)＝0，即h(t)＞0，
因此，n－m＞0，即m＜n.
10．
【解】 (1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k＞0.
从而点C处污染指数y＝＋(0＜x＜36)．
(2)因为a＝1，所以，y＝＋，
y′＝k[－＋]，
令y′＝0，得x＝，
当x∈(0，)时，函数单调递减；当x∈(，＋∞)时，函数单调递增．
∴当x＝时，函数取得最小值．
又此时x＝6，解得b＝25，经验证符合题意，
所以，污染源B的污染强度b的值为25.
11．
【解】 (1)当t＝1时，f(x)＝2x3＋x2－3x，
f(0)＝0，f′(x)＝6x2＋3x－3，k＝f′(0)＝－3，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－3x.
(2)f′(x)＝6x2＋3tx－3t2，
令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝.
因为t≠0，以下分两种情况讨论：
①若t＜0，则＜－t，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，)，(－t，＋∞)；
f(x)的单调递减区间是(，－t)．
②若t＞0，则－t＜，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，(，＋∞)；
f(x)的单调递减区间是(－t，)．
(3)证明 由(2)可知，当t＞0时，f(x)在(0，)内的单调递减，在(，＋∞)内单调递增，
因为0＜t＜2，f(x)在(0，)内单调递减，在(，1)内单调递增，以下分两种情况讨论：
若t∈(0，1]，f()＝－t3＋≤－t3＜0，
f(1)＝－3t2＋2t＋≥－3t＋2t＋＝－t＋＞0.
所以f(x)在(，1)内存在零点．
若t∈(1，2)，f()＝t3＋＜－t3＋＜0.
f(0)＝＞0，所以f(x)在(0，)内存在零点．
所以，对任意t∈(0，2)，f(x)在区间(0，1)内均存在零点．
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