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[A组 基础演练·能力提升]
一、选择题
1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
解析：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．
答案：B新- 课-标- 第-一-网
2．若x，y∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A．log2(1＋2x2)>0 B．x2＋y2≥2(x－y－1)
C．x2＋3xy>2y2 D.<
解析：∵1＋2x2≥1，∴log2(1＋2x2)≥0，故A不正确；
x2＋y2－2(x－y－1)＝(x－1)2＋(y＋1)2≥0，故B正确；令x＝0，y＝1，则x2＋3xy<2y2，故C不正确；
令x＝3，y＝2，则>，故D不正确．
答案：B
3．(2014年张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证 ＜ a”索的因应是( )
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
证明： ＜ a
⇔b2－ac ＜ 3a2
⇔(a＋c)2－ac ＜ 3a2
⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0
⇔－2a2＋ac＋c2＜0
⇔2a2－ac－c2＞0
⇔(a－c)(2a＋c)＞0⇔(a－c)(a－b)＞0.
答案：C
4．已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有f<，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中为凹函数的是( )
A．y＝log2x B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x3
解析：可以根据图象直观观察，对于C证明如下：
欲证f<，即证2<，即证(x1＋x2)2<2x＋2x，即证(x1－x2)2>0，显然成立．故原不等式得证．
答案：C
5．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
解析：由已知条件，可得
由②③得代入①，得＋＝2b，
即x2＋y2＝2b2.
故x2，b2，y2成等差数列．
答案：B
6．(2014年潍坊质检)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0，故选A.
答案：A
二、填空题
7．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<.那么他的反设应该是________．
答案：“∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|则|f(x1)－f(x2)|≥”
8．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；
④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
解析：若a＝，b＝，则a＋b＞1，
但a＜1，b＜1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1 且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.[来源:学.科.网Z.X.X.K]
答案：③
9．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．
解析：∵a，b∈(0，＋∞)且＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝16，X|k | B| 1 . c |O |m
∴a＋b的最小值为16.
∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.
答案：(0,16]
三、解答题
10．已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，
则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，x k b 1
这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设错误．
所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
11．已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.
证明：(分析法)
∵m＞0，∴1＋m＞0.
∴要证原不等式成立，
只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，
即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立．
故原不等式得证．
12．(能力提升)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1≤a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明：(1)要证x＋y＋≤＋＋xy，
即证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
又[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
∵x≥1，y≥1，∴(xy－1)(x－1)(y－1)≥0成立，从而所证不等式成立．xKb 1. Com
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥
故由(1)可知所要证明的不等式成立．
[B组 因材施教·备选练习]
1．已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
证明：假设三个方程都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，
Δ2＝4c2－4ab≤0，
Δ3＝4a2－4bc≤0.
上述三个式子相加得：
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0.
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
由已知a，b，c是互不相等的非零实数．
∴上式“＝”不能同时成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，与事实不符，
∴假设不成立，原结论成立．
即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
2．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝，试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．
解析：A，B，C成等差数列．
证明如下：
∵＋＝
∴＋＝3，
∴＋＝1，
∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
∴b2＝a2＋c2－ac.[来源:Z#xx#k.Com]
在△ABC中，由余弦定理，得
cos B＝＝＝，
∵0°<B<180°，∴B＝60°.
∴A＋C＝2B＝120°，
∴A，B，C成等差数列．
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