2014年高考天津市数学(文)卷.doc

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
•如果事件，互斥，那么 •圆锥的体积公式.
其中表示圆锥的底面面积，
•圆柱的体积公式. 表示圆锥的高.
其中表示棱柱的底面面积，
表示棱柱的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）是虚数单位，复数（　　）
（A） （B）　 （C） （D）
解：，选A.
（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（　　）
（A）2　　 （B）3　 （C）4　　　 （D）5
解：作出可行域，如图
结合图象可知，当目标函数通过点时，取得最小值3，选B.
（3）已知命题：，总有，则为（　　）
（A），使得 （B），使得
（C），总有 （D），总有
解：依题意知为：，使得，选B.
（4）设，，，则（　　）
（A） （B） （C） （D）
解：因为，，，所以，选C.
（5）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则（　　）
（A）2　　（B）-2　　（C）　　 （D）
解：依题意得，所以，解得，选D.
（6）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（　　）
（A）　　 （B）
（C）　 　（D）
解：依题意得，所以，，选A.
（7）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④.
则所有正确结论的序号是（　　）
（A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④
解：由弦切角定理得，又，
所以∽，所以，即，排除A、C.
又，排除B，选D.
（8）已知函数，，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（　　）
（A）　　（B）　　（C）　　 （D）
解：因为，所以得，
所以或，.
因为相邻交点距离的最小值为，所以，，，选C.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
3．本卷共12小题，共100分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）
（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.
解：应从一年级抽取名.
（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______.
解：该几何体的体积为.
（11）阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为________.
解：时，；时，，所以输出的的值为-4.
（12）函数的单调递减区间值是________.
解：由复合函数的单调性知，的单调递减区间是.
（13）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，.若，则的值为_______.

解：因为，菱形的边长为2，所以.
因为，，
所以，解得.
（14）已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为__________.
解：作出的图象，如图
当直线与函数相切时，由可得，所以.

三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分13分）
某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：

一年级
二年级
三年级
男同学

女同学

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选中的可能性相同）.
（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；
（Ⅱ）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发表的概率.

（16）（本小题满分13分）
在中，内角的对边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.

（17）（本小题满分13分）
如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱，的中点.
（Ⅰ）证明 平面；
（Ⅱ）若二面角为，
（ⅰ）证明 平面平面；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

（18）（本小题满分13分）
设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切于点，，求椭圆的方程.
（Ⅰ）解：依题意得，所以，解得，.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知椭圆方程可化为.
因为，所以直线的斜率.
因为，所以直线的斜率，
直线的方程为.
设，则有，解得或（舍），所以.
因为线段的中点为，所以圆的方程为.
因为直线与该圆相切，且，所以，解得.
所以椭圆方程为.

（19）（本小题满分14分）
已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对于任意的，都存在，使得.求的取值范围.
（Ⅰ）解：因为，所以.
令得或.
因为当或时，单调递减，当时，单调递增，
所以，.
（Ⅱ）解：因为，所以.

（20）（本小题满分14分）
已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.
（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；
（Ⅱ）设，，，其中，. 证明：若，则.
（Ⅰ）解：当，时，，，
.
（Ⅱ）证明：因为，所以，所以，，.
所以

.