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[A组 基础演练·能力提升]
一、选择题
1．(2014年阜阳模拟)方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的范围是( )
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)∪(＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：由题意知，m2＋(－2)2－4×3>0.
∴m>2或m<－2.
答案：B
2．若圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l：ax＋4y－6＝0对称，则直线的斜率是( )
A．6 B. C．－ D．－
解析：依题意知，直线l过圆的圆心．
又圆心坐标为(3，－3)，代入直线方程得a＝6.
所以直线的斜率是－.
答案：D
3．已知圆C的圆心在直线3x－y＝0上，半径为1且与直线4x－3y＝0相切，则圆C的标准方程是( )
A．(x－3)2＋2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1或(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1
D.2＋(y－1)2＝1
解析：∵圆C的圆心在直线3x－y＝0上，
∴设C(m,3m)．
又圆C的半径为1，且与4x－3y＝0相切，
∴＝1，∴m＝±1，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1.故选C.
答案：C
4．(2014年昆明一模)方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：由题意得
即
或
故原方程表示两个半圆．
答案：Dw w w .x k b 1.c o m
5．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上，代入整理得：a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤，故选A.
答案：A
6．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是( )w w w .x k b 1.c o m
A. B．1
C. D.
解析：圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝.
答案：C
二、填空题
7．(2013年高考江西卷)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
解析：由已知可设圆心为(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2得b＝－，r2＝.故圆C的方程为(x－2)2＋2＝.
答案：(x－2)2＋2＝
8．已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
解析：设圆心M坐标为(x，y)，
则(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
即 (x－1)2＋(y＋1)2＝9.
答案： (x－1)2＋(y＋1)2＝9
9．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
解析：∵(1－2)2＋()2＝3<4，
∴点(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，)的连线垂直于直线l.
∵＝－，
∴所求直线l的斜率k＝.
答案：
三、解答题
10．已知一等腰三角形的顶点A(3,20)，一底角顶点B(3,5)，求另一底角顶点C(x，y)的轨迹．
解析：由|AB|＝|AC|得
＝，
整理得(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)，
故另一底角顶点C的轨迹是以点(3,20)为圆心，半径为15的圆，除去点(3,35)和(3,5)．
11．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程．
解析：因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6，
其方程为y＋1＝－6(x－4)，
即y＝－6x＋23.
又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－，即5x＋7y－50＝0上，则
解得圆心为(3,5)，w!w!w.!x!k!b!
所以半径为＝，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
12．(能力提升)(2014年大连模拟)已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解析：(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得：
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积
S＝S△PAM＋S△PBM
＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，
所以S＝2|PA|，
而|PA|＝w w w .x k b 1.c o m
＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为
S＝2＝2＝2.
[B组 因材施教·备选练习]
1．已知两点A(0，－3)、B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( )
A．6 B. C．8 D.
解析：如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，
这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为＋＝1，
即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为
d＝＝，
∴△ABP的面积的最小值为×5×＝.
答案：B
2．(2014年大理模拟)已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．
解析：作出可行域D及圆x2＋y2＝4如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为、，得tan α＝，tan β＝，tan θ＝tan (α＋β)＝＝1，得θ＝，得弧长l＝θ·R＝×2＝(R为圆的半径)．
答案：
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