甘肃省兰州一中2013年高考数学冲刺模拟试题(一)理(含解析).doc

甘肃省兰州一中2013高考冲刺模拟(一)
数学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集,，则图中阴影部分表示的集合
A. B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知：阴影部分表示集合，因为，因为，所以=。
2.已知，为虚数单位，且，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，所以。
3.如果执行如右图所示的程序框图，则输出的S值为
A． B．
C．2 D．
【答案】C
【解析】开始，进入循环，
第一次循环：，满足，再次循环；
第二次循环：，满足，再次循环；
第三次循环：，满足，再次循环；
第四次循环：，不满足，结束循环，此时输出的S值为2。
4.设函数的最小正周期为，且则
A. 在单调递增 B. 在单调递增
C. 在单调递减 D. 在单调递减
【答案】D
【解析】，因为最小正周期为，所以，又因为，所以，所以 即，所以，因此选D。
5.一艘轮船从O点的正东方向10km处出发，沿直线向O点的正北方向10km处的港口航行，某台风中心在点O，距中心不超过km的位置都会受其影响，且是区间内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以原点为圆心，r为半径作圆，易知当时，轮船会遭受台风影响，所以。
6.已知四棱锥的三视图如右图所示，则四棱锥的四个侧面中的最大面积是
A． B．
C． D.
【答案】A
【解析】四棱锥如图所示：，，所以四棱锥的四个侧面中的最大面积是6.

7.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，所以直线与直线垂直，且直线过圆心，所以。
8.已知等比数列满足，且，则当时，

A． 　 B． C． D．
【答案】C
【解析】
。

9.如图，所在的平面 和四边形所在的平面互相垂直，且 ，， ，,若，则点在平面内的轨迹是
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】B
【解析】由题意可得，即，又因P、A、B三点不共线，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分，故选 B．
10.椭圆上有两个动点、，，，则·的最小值为
A. 6 B. C. 9 D.
【答案】A
【解析】设P点坐标为，则，所以，因为，所以的最小值为。所以·，所以·的最小值为6.
11.若曲线f（x，y）= 0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）= 0的“自公切线”.下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】B
【解析】函数的图象如下左图显然满足要求；
函数的一条自公切线为y=5；
为等轴双曲线，不存在自公切线；
而对于方程，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求。

12.将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种?
A．150 B．114 C．100 D．72
【答案】C
【解析】先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1或者3，1，1，所以共有种分组方法。因为甲不能去北大，所以有甲的那组只有交大和浙大两个选择，剩下的两组无约束，一共4种排列，所以不同的保送方案共有种。
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用（万元）
3
4
5
6
销售额（万元）
25
30
40
45
根据上表可得回归方程中的为7.据此模型预报广告费用为10万元时销售额为 （万元）.
【答案】73.5
【解析】易知：，因为=7，把点代入回归方程，得，所以，当x=10时，。
14.设的展开式中的常数项等于 .
【答案】-160
【解析】，，由，所以，所以展开式中的常数项等于-160.
15.已知实数、满足则的最小值为 .
【答案】
【解析】做出约束条件表示的可行域，如图中的三角形，三角形内（包括边）到圆心的最短距离即为r的值，所以r的最小值为圆心到直线y=x 的距离，所以的最小值为。

16.设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的，成等差数列，设数列的前项和为，且，若对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，总有．则的最小值为 .
【答案】2 .
【解析】根据题意，对于任意，总有成等差数列，则对于n∈N*，总有………………①；所以（n≥2）……………………②
① --②得；
因为均为正数，所以（n≥2），所以数列是公差为1的等差数列，
又n=1时，，解得，所以。
对任意的实数，有0＜lnx＜1，对于任意正整数n，总有，所以

又对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，总有，所以的最小值为2.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若，求a＋b的最大值.

18.（本小题满分12分）
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回的随机抽取两张卡片，记第一次抽取卡片的标号为，第二次抽取卡片的标号为.设为坐标原点，点的坐标为记.
（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB//CD，AD＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点.
(Ⅰ)求证：CD⊥平面BEF；
(Ⅱ)设PA＝k·AB，且二面角E－BD－C大于30°，求k的取值范围.

20. (本小题满分12分)
椭圆的左、右焦点分别为、, 过的直线与椭圆交于A、B两点.
（Ⅰ）如果点A在圆（为椭圆的半焦距）上,且,求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若函数的图象，无论为何值时恒过定点，
求的取值范围.

21.(本小题满分12分)
已知函数，（其中）．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：当时，．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，半圆O的直径AB的长为4，点C平分弧AE，过C作AB的垂线交AB于D，
交AE于F．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若AE是的角平分线，求CD的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数，）．在极坐标系（以坐标原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）把曲线和的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求曲线的直角坐标方程．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式存在实数解，求实数的取值范围．
甘肃省兰州一中2013高考冲刺模拟(一)
数学（理）参考答案及评分标准
一． 选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D C D D A A C B A B C
二． 填空题
13 73.5 ； 14 -160 ； 15 ； 16 2 .
三. 解答题
17. 解：（Ⅰ）由及正弦定理，
得（），
∴，∵△ABC是锐角三角形， ∴ …………………………6分
（Ⅱ）∵，，由余弦定理，，
即 ………………………………………………………8分
∴，即，
∴，当且仅当取“=”，故的最大值是4．……………12分
18.

19. 解：以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则A(0，0，0)，P(0，0，k)，B(1，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2,0)，

E(1，1，)，F(1，2，0)，…………………………2分
(1)∵(0，1，)，(0，2，0)，(-2，0，0)，∴，，
∴CD⊥BE，CD⊥BF，∴CD⊥面BEF ………………………………6分
(2)设面BCD的法向量为，则(0，0，1)，设面BDE的法向量为(x，y，z),
∵(-1，2，0)，(0，1，)，
∴，∴(2，1，)， ……………………………………8分
∵二面角E-BD-C大于30°，∴cos， ……………10分
∴，即，∴ ………………………………12分
20. 解：（1）∵点A在圆，

由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，
……………………5分
（2）∵函数
∴
点F1（－1，0），F2（1，0），
① ，
∴ ……………………7分
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）
由…………（*）
方程（*）有两个不同的实根.
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根

…………………………11分
由①②知 …………………………………………………12分
21. 解： （Ⅰ），
∴（，），
由，得，由，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值． 3分
（Ⅱ）函数，
则，
令，∵，解得，或（舍去），
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
函数在区间内有两个零点，
只需即∴
故实数a的取值范围是． 7分
（Ⅲ）问题等价于．由（Ⅰ）知的最小值为．
设，得在上单调递增，在上单调递减．
∴，
∵=，
∴，∴，故当时，． 12分
22.解：

23．解：

24．解：

14