山西省2013高考数学一轮单元复习测试-解三角形-新人教A版.doc

山西省2013届高考数学一轮单元复习测试：解三角形
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则角B
的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
2． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，若，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为 ( ）
A． B． C． D．
【答案】D
3． 在锐角中，若，则的范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4． 在中，已知且，则外接圆的面积是（ ）
A B C D
【答案】C
5．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
6． 在中，若，则是 ( ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
【答案】D
7． 在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么这座塔吊的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
8． 在中，已知且，则外接圆的面积是（ ）
A B C D
【答案】C
9． 给出四个命题 (1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC为正三角形 以上正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
10． 若△的三个内角满足，则△ ( ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C
11．在三角形ABC中“cosA＋sinA＝cosB＋sinB”是“C＝90°”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
12．在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则sinA的值是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若AB=2, AC=BC ，则的最大值
【答案】
14．已知△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，cosA=,若c-b=1,则a的值是_______.
【答案】5
15．在锐角△ABC中，BC=1,B=2A,则的值等于_______，AC的取值范围为_______.
【答案】2 ()
16．在△ABC中，AB=，点D是BC的中点，且AD=1，∠BAD=30°,则△ABC的面积为_______.
【答案】

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝，n＝(cos2A,2sinA)，且m∥n.
(1)求sinA的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a.
【答案】(1)∵m∥n，∴cos2A＝(1－sinA)·2sinA，
∴6(1－2sin2A)＝7sinA(1－sinA)⇒5sin2A＋7sinA－6＝0，
∴sinA＝或sinA＝－2(舍去)．
(2)由S△ABC＝bcsinA＝3，b＝2，sinA＝，得c＝5，
又cosA＝±＝±，
∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋25－2×2×5cosA＝29－20cosA，
当cosA＝时，a2＝13⇒a＝；
当cosA＝－时，a2＝45⇒a＝3．
18．已知函数．
(1)求函数的最小值和最小正周期；
(2)已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．
【答案】

①
又c=3，由余弦定理，得 ②
解方程组①②，得。
19．甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？

【答案】

答：此时,甲、乙两船相距最近
20．如图，有一块半径为的半圆形钢板，现将其裁剪为等腰梯形的形状。它的下底是圆的直径，上底的端点在圆周上。
(1）写出这个梯形的周长与腰长之间的函数关系式，并求出定义域；
(2）求的最大值。

【答案】连，过作于，

则，
∴， ，
故（）。
(2），在上单调递增，在单调递减，∴当时，。

21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，sinA＝．
(1)求sinB的值；
(2)若c－a＝5－，求△ABC的面积．
【答案】(1)因为C＝，sinA＝，
所以cosA＝＝，由已知得B＝－A.
所以sinB＝sin＝sincosA－cossinA＝×－×＝．
(2)由(1)知C＝，所以sinC＝且sinB＝．
由正弦定理得＝＝．
又因为c－a＝5－，
所以c＝5，a＝．
所以S△ABC＝acsinB＝××5×＝．
22．如图，矩形ABCD是机器人踢足球的场地，AB=170 cm,AD=80 cm,机器人先从AD的中点E进入场地到点F处，EF=40 cm,EF⊥AD.场地内有一小球从B点沿BA运动，机器人从F点出发去截小球，现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？

【答案】设该机器人最快可在点G处截住小球，点G在线段AB上.
设FG= x cm.根据题意，得BG=2x cm.
则AG=AB-BG=(170-2x)(cm).
连接AF,在△AEF中,EF=AE=40 cm,EF⊥AD,
所以∠EAF=45°,AF=40 cm.
于是∠FAG=45°.在△AFG中，由余弦定理，
得FG2=AF2+AG2-2AF·AGcos∠FAG.
所以x2=(40)2+(170-2x)2-2×40×(170-2x)cos45°.解得x1=50，.
所以AG=170-2x=70(cm),或AG= (cm)(不合题意，舍去).
答：该机器人最快可在线段AB上离A点70 cm处截住小球.

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用心 爱心 专心