资源描述
[A组 基础演练·能力提升]
一、选择题
1．设m>0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为( )[来源:学。科。网Z。X。X。K]
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
解析：圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，∵d－r＝－＝(m－2＋1)
＝(－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．
答案：C
2．(2013年高考安徽卷)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．1 B．2
C．4 D．4
解析：圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，
其圆心为C(1,2)，半径R＝.则圆心C到直线的距离d＝＝1.
∴弦长为2＝4. X|k |B| 1 . c|O |m
答案：C
3．(2014年黄山一模)已知M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a>0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相交
解析：因M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a>0)内异于圆心的一点，故x＋y<a2，圆心到直线x0x＋y0y＝a2的距离为d＝>＝a，故直线与圆相离．
答案：C
4．(2013年高考山东卷)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析：如图，圆心坐标为C(1,0)，易知A(1,1)．
又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，
∴kAB＝－2.
故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故选A.
答案：A
5．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )X k b 1 . c o m
A．3 B．2
C. D．1
解析：圆心到直线的距离d＝＝1，所以R2－d2＝2，即AB2＝4(R2－d2)＝4(4－1)＝12，
所以AB＝＝2，选B.
答案：B
6．(2013年高考重庆卷)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )X k b 1 . c o m
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
解析：圆C1，C2的图象如图所示．
设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C′1C2，与x轴交于点P，连接PC1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C′1C2|，则|PM|＋|PN|的最小值为5－4.选A.
答案：A
二、填空题
7．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0.当直线l被C截得的弦长为2时，a＝________.
解析：依题意，圆心(a,2)到直线l：x－y＋3＝0的距离d＝，于是有4－2＝()2，a＝－1或－－1(舍去)．
答案：－1
8．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．
解析：依题意得|OO1|＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△O O1A＝··|OO1|＝·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝＝＝4.
答案：4
9．(2013年高考湖北卷)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcos θ＋ysin θ＝1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.
解析：圆O的圆心(0,0)到直线l：xcos θ＋ysin θ＝1的距离d＝1，而圆的半径r＝，且r－d＝－1>1，∴圆O上在直线l的两侧各有两个点到直线l的距离等于1.
答案：4
三、解答题
10．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.x k b 1 . c o m
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
解析：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切．
则有＝2.解得a＝－.
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
11．设直线l的方程为y＝kx＋b(其中k的值与b无关)，圆M的方程为x2＋y2－2x－4＝0.
(1)如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；
(2)b＝1时，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
解析：圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝5，
∴圆心M的坐标为(1,0)，半径为r＝.
(1)∵不论k取何值，直线l总过点P(0，b)，
∴欲使l与圆M总有两个不同的交点，必须且只需点P在圆M的内部，
即|MP|<，即1＋b2<5，
∴－2<b<2.
取b的取值范围是(－2,2)．
(2)当l过圆心M时，|AB|的值最大，最大值为圆的直径长2，当l⊥MP时，
此时|MP|最大，|AB|的值最小，
|MP|2＝2
＝＝1＋w W w .x K b 1 .c o M
≤1＋＝2，
当且仅当k＝1时取等号．
最小值为2＝2＝2.
12．(能力提升)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值；
(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．
解析：(1)设圆心C(a，b)，则
解得.x k b1 . co m
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，
所以·的最小值为－4.
(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，
由，
得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0.
因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，所以可得xA＝.
同理：xB＝.
则kAB＝
＝
＝＝1＝kOP.
所以，直线AB和OP一定平行．
[B组 因材施教·备选练习]
1．若圆C: x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为.因为圆关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离为d＝
＝
＝＝.所以当a＝2时，d有最小值＝3，此时切线长最小，为＝＝4，所以选C. xK b1.Com
答案：C
2．(2014年济南模拟)若双曲线－＝1渐近线上的一个动点P总在平面区域(x－m)2＋y2≥16内，则实数m的取值范围是________．
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0.要使渐近线上的一个动点P总在平面区域(x－m)2＋y2≥16内，则有圆心(m,0)到渐近线的距离d≥4，即d＝＝≥4，解得|m|≥5，即m≥5或m≤－5，所以实数m的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
答案：(－∞，－5]∪[5，＋∞)
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