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中考大题 06 圆中的证明与计算问题中考数学中，圆的基本性质、与圆有关的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有通常选择填空题会出圆的基本性质，如弧长、弦长、半径、圆周角等的关系,基本都是基础应用，难度不大,个别会出选择题的压轴题，难度稍大.简答题部分，一般会把切线的问题和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，这是一般都是中等难度的问题.还有一些城市会把圆的基本性质等与其他动点问题综合考察,此时一般都是压轴题，难度很大，这时候就需要考生综合思考的点比较多.题型一：圆中的角度和线段计算问题1（2023浙江杭州中考真题）如图，在 中，直径垂直弦于点，连接,，作 于点，交线段于点（不与点,重合），连接 (1)若=1，求的长(2)求证：2=(3)若=，猜想的度数，并证明你的结论2（2023山东中考真题）如图，已知是 的直径，=，切 于点，过点作 交于点，若=2 (1)如图 1，连接，求证：；(2)如图 2，是上一点，在上取一点，使=60，连接请问：三条线段，有怎样的数量关系？并证明你的结论圆的基础定理:垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各自的特征，综合应用起来解决相关问题.垂径定理模型（知二得三）如图，可得AB 过圆心 ABCD CE=DE AC=ADBC=BD【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt，用勾股，求长度；AEDOBC 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.【利用圆周角定理解题思路】1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化.2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等1（2023河南商丘模拟预测）如图，过 外一点 P 作 的两条切线，切点分别为 A，B，过点 B 作交 于点 C，连接，(1)求证：=；(2)若=6，=4，求 的半径2（2023广东深圳模拟预测）如图，在Rt 中，=90，以为直径的半圆交于 D，过 D 作圆的切线交于 E 求证：(1)=；(2)=42题型二：求弓形面积或不规则图形面积 1（2023江苏南通中考真题）如图，等腰三角形的顶角=120，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，(1)求证：四边形是菱形；(2)若 的半径为 2，求图中阴影部分的面积2（2023江苏宿迁中考真题）（1）如图，是 的直径，与 交于点 F，弦平分，点 E在上，连接、，_求证：_ 从与 相切；中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程（2）在（1）的前提下，若=6，=30，求阴影部分的面积设O 的半径为 R，n圆心角所对弧长为，n 为弧所对的圆心角的度数，则扇形弧长公式=180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且 n 表示 1的圆心角的倍数，n 和 180 都不要带单位）扇形面积公式S扇形=2360=12R 圆锥侧面积公式S圆锥侧=rl（其中 l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的底面半径）nlhrnlRO 圆锥全面积公式S圆锥全=rl+r2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）圆锥的高 h，圆锥的底面半径 r2+2=l2【阴影部分面积求解问题解题思路】求阴影部分面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积常用的方法有：1（22-23 九年级上江苏扬州期末）如图，是 的直径，点在 上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且=(1)求证：是 的切线；(2)若线段与 的交点是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积2（2023江苏常州一模）如图 1，将一个三角形纸板 绕点逆时针旋转到达 的位置，那么可以得到：=，=，=，=，=，=（_）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键故数学就是一门哲学 (1)上述问题情境中“（_）”处应填理由：_；(2)如图 2，将一个半径为4cm，圆心角为60的扇形纸板绕点逆时针旋转90到达扇形纸板的位置请在图中作出点；如果=6cm，则在旋转过程中，点经过的路径长为_cm；(3)如果将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止此时，两个纸板重叠部分的面积是多少(如图3)？题型三：正多边形与圆（2021湖北随州中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷（1）在直角三角形中，两直角边长分别为 3 和 4，则该直角三角形斜边上的高的长为_，其内切圆的半径长为_；（2）如图 1，是边长为的正 内任意一点，点为 的中心，设点到 各边距离分别 为1，2，3，连接，由等面积法，易知12(1+2+3)=3，可得1+2+3=_；（结果用含的式子表示）如图 2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为1，2，3，4，5，参照的探索过程，试用含的式子表示1+2+3+4+5的值（参考数据：tan36 811，tan54 118）（3）如图 3，已知 的半径为 2，点为 外一点，=4，切 于点，弦/，连接，则图中阴影部分的面积为_；（结果保留）如图 4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由正多边形的常用公式边长=（Rn为正多边形外接圆的半径）周长Pn=nan外角/中心角度数360面积Sn=12anrnn对角线条数(3)2边心距rn=Rncos内角和（n-2）180.内角度数（n 2）180n 边形的边数（内角和180）2、的关系2=2+24（an、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解.）【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正 n 边形的外接圆半径和边心距把正 n 边形分成2n 个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正 n 边形各元素间的关系，故可以把正 n 边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算1（2024辽宁鞍山三模）【发现问题】蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图 1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图 2 所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化 【提出问题】在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数 y 与第一层正六边形模具的个数 x 之间有怎样的函数关系?【分析问题】同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据第一层正六边形模具的个数 x1234拼接图案中所需正六边形模具的总个数 y171937然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图 3，同学们根据图 3 中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分 为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图 4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如 图 5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出 y 与 x 之间的关系式【解决问题】(1)直接写出 y 与 x 的关系式；(2)若同学按图 2 的方式拼接图案，共用了 169 个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；(3)如图 6，作正六边形模具的外接圆，圆心为 O，A，B 为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为23cm，现有一张长 100cm，宽 80cm 的长方形桌子，若按图 2 的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（3 1.732）2（2023河北邯郸二模）摩天轮（如图 1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图 2），大圆绕着圆心 O 匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点 P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线 l (1)=_(2)若=16，的半径为 10，小圆的半径都为 1：在旋转一周的过程中，圆心 M 与 l 的最大距离为_；当圆心 H 到 l 的距离等于时，求的长；求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值题型四：切线的性质与判定1（2023黑龙江大庆中考真题）如图，是 的直径，点是圆上的一点，于点，交 于点，连接，若平分，过点作 于点，交于点，延长，交于点 (1)求证：是 的切线；(2)求证：=；(3)若sin=45，求的值2（2023湖北恩施中考真题）如图，是等腰直角三角形，=90，点 O 为的中点，连接交 于点 E，与相切于点 D(1)求证：是 的切线；(2)延长交 于点 G，连接交 于点 F，若=4 2，求的长圆的切线垂直于过切点的半径（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线）性质解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.3)判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”1（2023广西梧州二模）如图，在 中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作 交的延长线于点，且=(1)求证：为 的切线；(2)若=10，sin=45，求的长2（22-23 九年级上河北保定期中）如图，在Rt 中，=90，平分，交于点，是边上的点，经过点，的 交于点(1)求证：是 的切线；(2)若=30，=3求的长；求阴影部分的面积 题型五：四点共圆1（2023山东日照中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆请应用此结论解决以下问题：如图 1，中，=，=（60 180）点 D 是边上的一动点（点 D 不与 B，C 重合），将线段绕点 A 顺时针旋转到线段，连接 (1)求证：A，E，B，D 四点共圆；(2)如图 2，当=时，是四边形的外接圆，求证：是 的切线；(3)已知=120，=6，点 M 是边的中点，此时 是四边形的外接圆，直接写出圆心 P 与点 M距离的最小值2（2023广东中考真题）综合运用如图 1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点 A 在轴的正半轴上，如图 2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为(0 )，对角线，相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接 (1)求证：；(2)以点为圆心，为半径作圆如图 2，与相切，求证：=3；如图 3，与相切，=1，求 的面积2（2022上海中考真题）平行四边形，若为中点，交于点，连接(1)若=，证明为菱形；若=5，=3，求的长(2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且=2 若在直线上，求的值1（23-24 九年级上江苏淮安期中）在矩形中，已知=6，连接，=30，点 O 是边上的一动点，的半径为定值 r(1)如下图，当 经过点 C 时，恰好与相切，求 的半径 r；(2)如下图，点 M 是 上的一动点，求三角形面积的最大值：(3)若 从 B 出发，沿 BC 方向以每秒一个单位长度向 C 点运动，同时，动点 E，F 分别从点 A，点 C 出发，其中点 E 沿着 AD 方向向点 D 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 F 沿着射线方向运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接，如下图所示，当 平移至点 C（圆心 O 与点 C 重合）时停止运动，点 E，F也随之停止运动设运动时间为 t（秒）在运动过程中，是否存在某一时间 t，使 与相切，若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由2（2023重庆大渡口三模）如图，在正方形中，点 P 为延长线上一点，连接(1)如图 1，连接，若=60，=4，求tan的值；(2)如图 2，点 F 在上，连接作的平分线交于点 E，连接、，若=60，且平分求证：+=3；(3)如图 3，在（2）的条件下，点 Q 为的中点，点 M 为平面内一动点，且=，连接，以为边长作等边 ，若=2，直接写出的最小值1（2023浙江宁波一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第 85 页的部分内容先观察下图，直线 l1l2，点 A，B 在直线 l2上，点 C1，C2，C3，C4在直线 l1上ABC1，ABC2，ABC3，ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。【基础巩固】如图 1，正方形内接于 ，直径，求阴影面积与圆面积的比值；【尝试应用】如图 2，在半径为 5 的 中，2，用含 x 的代数式表示；【拓展提高】如图 3，是 的直径，点 P 是上一点，过点 P 作弦 于点 P，点 F 是 上的 点，且满足，连接交于点 E，若8，=10 2，求 的半径2（2023陕西西安模拟预测）在中，点 E 在边上，连接 (1)如图 1，交于点 G，若平分，且=30，=4，请求出四边形的面积；(2)如图 2，点 F 在对角线上，且=，连接，过点 F 作 于点 H，连接，求证：+2=；(3)如图 3，线段在线段上运动，点 R 在上，连接，若平分，=30，=3，=2=3，=4求线段+的和的最小值3（2024福建龙岩二模）已知 ，=90，=6 2 探究一：如图（1），点 D 在上（点 D 不与点 B，C 重合），且=连接，当=4时，=_在的条件下，若以点 A 为旋转中心把线段逆时针旋转(0 360)，旋转后点 B 的对应点为点 ，连接，设为最大值为 a，的最小值为 b，则 =_如图（2），若把线段绕点 A 逆时针旋转90得线段，连接交于点 F，求的最大值探究二：建立如图（3）所示的平面直角坐标系，把线段绕点 A 逆时针旋转45得线段，再把线段逆时针旋转90得线段，交于点 P，与的延长线交于点 Q，请判断射线是否经过点 Q4（2024湖南邵阳一模）如图，以边 的边为直径作圆 O，交于 D，E 在弧上，连接、，若=(1)求证：为 切线；(2)求证：2=；(3)若点 E 是弧的中点，与交于点 F，当=5，=4时，求的长5（2024陕西西安二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法如图 1，正方形中，、分别在边、上，且=45，连接，试探究、之间的数量关系解决这个问题可将 绕点逆时针旋转90到 的位置（易得出点在的延长线上），进一步证明 与 全等，即可解决问题(1)如图 1，正方形中，=45,=3,=2，则=_；(2)如图 2，正方形中，若=30，过点作 交于点，请计算+与的比值，写出解答过程；(3)如图 3，若=60，正方形的边长=8，试探究 面积的最小值 1（2023山东潍坊中考真题）如图，正方形内接于 ，在上取一点 E，连接，过点 A作 ，交 于点 G，交于点 F，连接，(1)求证：；(2)若=2，=30，求阴影部分的面积2（2021湖南湘潭中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”如图，点 C 把线段分成两部分，如果=5 12 0.618，那么称点 C 为线段的黄金分割点（1）特例感知：在图中，若=100，求的长；（2）知识探究：如图，作O 的内接正五边形：作两条相互垂直的直径、；作的中点 P，以 P 为圆心，为半径画弧交于点 Q；以点 A 为圆心，为半径，在O 上连续截取等弧，使弦=，连接；则五边形为正五边形在该正五边形作法中，点 Q 是否为线段的黄金分割点？请说明理由（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系延长题（2）中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图，点 E 是线段的黄金分 割点，请利用题中的条件，求cos72的值3（2023四川雅安中考真题）如图，在Rt 中，=90，以为直径的 与交于点 D，点是的中点，连接，(1)求证：是 的切线；(2)若=2，tan=12，求的长；(3)在（2）的条件下，点 P 是 上一动点，求+的最大值4（2023吉林长春中考真题）【感知】如图，点 A、B、P 均在 上，=90，则锐角的大小为_度 【探究】小明遇到这样一个问题：如图，是等边三角形的外接圆，点 P 在上（点 P 不与点A、C 重合），连结、求证：=+小明发现，延长至点 E，使=，连结，通过证明 ，可推得是等边三角形，进而得证下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点 E，使=，连结，四边形是 的内接四边形，+=180 +=180，=是等边三角形 =，(SAS)请你补全余下的证明过程【应用】如图，是 的外接圆，=90，=，点 P 在 上，且点 P 与点 B 在的两侧，连结、若=2 2，则的值为_5（2023黑龙江哈尔滨中考真题）已知 内接于 ，为 的直径，N 为的中点，连接交于点 H (1)如图，求证=2；(2)如图，点 D 在 上，连接，交于点 E，若=，求证 ；(3)如图，在（2）的条件下，点 F 在上，过点 F 作 ，交于点 G=，过点 F 作 ，垂足为 R，连接，:=3:2，点 T 在的延长线上，连接，过点 T 作 ，交的延长线于点 M，若=，=4 2，求的长
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