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平面应力问题
平面域A内的基本方程:
平衡微分方程（在A内） 几何方程（在A内）

物理方程（在A内）

即:

S上边界条件:

应力边界条件在 上）

位移边界条件（在 上）

平面应变问题

常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解

二、 基本假设
1、连续性假定
假定物体是连续的。因此，各物理量可用连续函数表示。
2、完全弹性假定
a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。
b.线性弹性—应力与应变成正比。即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。
3、均匀性假定
假定物体由同种材料组成,因此， E、
μ等与位置 无关。
4、各向同性假定
假定物体各向同性。E、μ与方向无关。由3、4知E、μ等为常数符合1-4假定的称为理想弹性体。
5、小变形假定
假定位移和形变为很小。a.位移＜＜物体尺寸， 例：梁的挠度v＜＜梁高h。
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1,
＜＜1弧度。
小变形假定的应用：
a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。
b.简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去
等项,使几何方程成为线性方程。
弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。
第二节 有限元方法概述
1分析思路是：
将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。
2离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但要满足变形协调条件，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。
3弹性力学的基本概念①体力：分布在物体体积内的力，如常见的重力、惯性力
②、面力是指分布在物体表面的力，如流体的压力和接触力 。P5,6
例题1：试分析AB薄层中的应力状态
因表面无任何面力，

故表面上，有：

在近表面很薄一层内

故接近平面应力问题
例2
由 ,两边对x积分，
由 ,两边对y积分

代入第三式

分开变量，

因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，右均应=常数 ，由此解出 。可得

物理意义：
－－表示x，y向的刚体平移
，－－表示物体绕原点的刚体转动。
例3 列出边界条件：

例4 列出边界条件：

显然，边界条件要求在 上， 也成抛物线分布。
3、 混合边界条件：
⑴ 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；
⑵ 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。
例4 列出 的边界条件：

例5 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用， 。试用位移法求解。
解：为了简化，设
位移
按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。
代入式(b),

将几何方程、物理方程代入平衡微分方程，按位移求解平面应力问题的微分方程为(b)

位移边界条件（c）

用位移表示的应力边界条件（d）

第一式自然满足，第二式成为

解出

均属于位移边界条件，代入
得

得

例6三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在 D点共点（连续），变形后三连杆在 点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。
因此在常体力情况下，按应力求解平面问题可归纳为
求解一个应函数，在区域内满足相容性方程，在边界
上满足应力边界条件，在多连体中还应该满足位移单
值条件。由相容性方程求解出应力函数，然求解出应力
分量，再由物理方程和几何方程即可求解应变分量和位
移分量。

例7 试列出图中的边界条件

解:
(a)在主要边界 应精确满足下列边界条件：

在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时

在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。
(b) 在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界条件：

(b)

在小边界y = 0，列出3个积分的边界条件，当板厚 时，

注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。 对于y = h的小边界可以不必校核
例8 厚度 悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是

试检查此组位移是否是图示问题的解答

解：
此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:
(1) 区域内用位移表示的平衡微分方程
(2) 应力边界条件，在所有受面力的边界 上。其中在小边界上可以应用圣维南原理，用3个积分的边界条件来代替。
(3) 位移边界条件。本题在x = l的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使3个积分的应力边界条件已经满足。
(4) 应变协调方程
例9 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在

解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即
（a）相容；
（b）须满足B = 0, 2A=C ；
（c）不相容，只有C = 0 。
例10 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：

解：弹性体中的应力，在单连体中必须
满足：
（1）平衡微分方程；
（2）相容方程；
（3）应力边界条件（当 ）。
（a） 此组应力满足平衡方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F, D=-E.此外，还应满足应力边界条件。
（b） 为了满足相容方程，其系数必须满足A + B = 0。
为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A = B =-C/2。

上两式是矛盾的，因此此组应力分量 不可能存在。
例11 若 是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程
试证明函数
都满足重调和方程

因而都可以作为应力函数使用。
解：
上述函数作为应力函数，均能满足相容方程（重调和方程）
例12 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，

(a)

解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足
（1）平衡微分方程；
（2）相容方程 ;
（3）应力边界条件（在 上）。
将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足
再校核边界条件，在主要边界上

再将式（b）表达式代入次要边界条件，

其主矢量为

而主矩为

其主矢量为

其主矢量为0，
而主矩为

由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。
例13在材料力学中，当矩形截面梁（宽度 ）
受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为
（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出
切应力 和挤压应力 的公式。
（提示：注意关系式
积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）
（b）当q为常数时，试检验应力分量是否
满足相容方程，试在 中加上一项对平衡没有影响的函数f (y)，再由相容方程确定f (y),并校核梁的左右边界条件。
解：本题引用材料力学的弯应力 的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足
（1）平衡微分方程；
（2）相容方程；
（3）应力边界条件（在 上）。
（a）不计体力，将 代入平衡微分方程第一式，

得:

两边对y积分，得

再由上下的边界条件

将 代入平衡微分方程的第二式,

得
对y积分，得

由此得

上述解答 及式(c),(d)已经满足平衡微分方程及 的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界条件。
（b）若q为常数，则 ，得
代入相容方程

为了满足相容方程

此式 和式（c），（d）的一组应力分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，得

积分得

由次要边界条件

由此得

读者可检测，式（c），（d），（e）的一组应力已满足无体力，且q为常数情况下的平衡微分方程，相容方程，和应力边界条件（在x =0, l小边界上的剪力即为主矢量），因而是该问题之解。

一、 逆解法和半逆解法多项式解法

1当体力为常量，按应力函数 求解平面应力问题时， 应满足
⑴ A内相容方程
⑵ S = 上应力边界条件,

⑶ 多连体中的位移单值条件。 (c)
对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。
由 求应力的公式是

(d)

2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。步骤:
⑴ 先找出满足 的解
⑵ 代入(d), 求出

⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出各边界上的面力，

(e)

例14 一次式 对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减
一次式，不影响应力
例15 二次式 ，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示

例16设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考察应力函数 能解决什么样的受力问题？

解：按逆解法
1. 将 代入相容方程，可见 是满足的。 有可能成为该问题的解。
2. 由 求出应力分量

3. 由边界形状和应力分量反推边界上的面力。
在主要边界（大边界） 上

因此，在 的边界面上，无任何面力作用，即
在x = 0，l的次要边界（小边界）上，

在x = 0,l 小边界上的面力 如下图中(a) 所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。
由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在 x = 0 处受集中力F作用的问题。

3.半逆解法
步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况，边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的函数形式
⑶ 代入 ，解出 ；
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。

如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解
二、 矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。

本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解， 应满足相容方程及 上的应力边界条件
求解步骤：⑴ 由逆解法得出，可取 ，且满足
⑵ 求应力 (a)

⑶ 检验应力边界条件，原则是:
a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。
b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南 原理，用积分的应力边界条件代替
主要边界

从式(a)可见，边界条件(b)均满足。
次要边界 x=0, l(c)
满足。

的边界条件无法精确满足。
用两个积分的条件代替 ,

式(d)的第一式自然满足，由第二式得出
最终得应力解

当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。
三、 位移分量的求出 在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？
以纯弯曲问题为例，已知
试求解其位移
1. 由物理方程求形变

2. 代入几何方程求位移

⑴ 对式(a)两边乘 积分,

⑵ 对式(b)两边乘 积分 ,
⑶ 再代入(c) , 并分开变量，

上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都必须为同一常量
由此解出

得出位移为

3. 待定的刚体位移分量
须由边界约束条件来确定
归纳：从应力求位移步骤：1由物理方程求出形变
2.代入几何方程，积分求
3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量
纯弯曲问题的讨论1. 弯曲应 力与材料力学的解相同。
2. 铅直线的转角 故在任一截面x 处，平面截面假设成立
3.纵向纤维的曲率 同材料力学的结 果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力学解相同。
四、 简支梁受均布荷载
简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力

按半逆解法求解⑴ 假设应力分量。由材料力学
因为

所以，可假设
因为
所以，可假设

因为

所以，可假设 现采用此假设

⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。由
对 x 积分

对x再积分
⑶ 将 代入相容方程，求解 :

相容方程对于任何 均应满足,故
的系数均应等于0，由此得三个常微分方程
解出:(b)

将式(b)代入式(a)，即得 。
⑷ 由 求应力 在无体力下，应力公式如书中式( f ),(g),(h)所示。
对称性条件─由于结构和荷载对称于 轴，故 应为 的偶函数， 为
x的奇函数，故
⑸ 考察边界条件。
主要边界

次要边界
应用圣维南原理，列出三个积分条件

由此解出H，K.
另一次要边界(x= -l )的条件，自然满足
最后应力解答：

五、 楔形体受重力及液体压力
设有楔形体，左面垂直，顶角为α，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。

用半逆解法求解
（1）用量纲分析法因为应力 , 而应力的量纲只比假设应力:

高一次（L），
所以应力= (x , y 一次式）,
即可假设应力为x , y 的一次式。
（2）由应力~ 关系式， 应为x,y的三次式
(3) 满足相容方程
(4）由 求应力

（5） 考察边界条件--本题只有两个大边界，均应严格满足应力边界条件。
x=0 铅直面

解出

斜边界上

须按一般的应力边界条件来表示，有

其中

由式（b)解出a、b,最后的应力解答

水平截面上的应力分布如图所示

例题17 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计， 图3-5，试用应力函数 求解应力分量。

解
本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解
1. 将 代入相容方程，显然是满足的
2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量。

3考察边界条件：
主要边界 上应精确满足式(2-15)

在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方向，由此得

由(a),(b) 解出

最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核
代入应力公式，得

例题18 挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。

解用半逆解法求解
1假设应力分量的函数形式。

因为在 y=-b/2边界上， y=b/2 边界上， ，所以可
假设在区域内 沿x 向 也是一次式变化，即

2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式
所以

3. 由相容方程求应力函数。代入 得

要使上式在任意的x处都成立，必须

代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式
4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意 体力求得应力分量为

5考察边界条件：
主要边界 上,有

得

得

得

由上式得到

求解各系数，由

得

由此得

又有

代入A,得

在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件

由式(g),(h)解出

代入应力分量的表达式得最后的应力解答

例题19已知

试问它们能否作为平面问题的应力函数
解作为应力函数，必须首先满足相容方程

将 代入(a) 其中A= 0，才可能成为应力函数；

(b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。
例题20图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩 的作用，试用应力函数

求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零

解：应用应力函数求解：
(1) 校核 相容方程 ，满足

(2) 求应力分量 ，在无体力时，得

(3) 考察主要边界条件

均已满足
考察次要边界条件，在y=0上
满足

得

得

代入，得应力的解答

上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解
(4) 求应变分量，

(5) 求位移分量

将u,v代入几何方程的第三式

两边分离变量，并全都等于 常数，即

从上式分别积分，求出

代入u,v, 得

再由刚体约束条件

得

得
得

代入u,v,得到位移分量的解答

在顶点x=y=0

例题20 图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数

求解应力分量

解：应用上述应力函数求解
(1) 将 代入相容方程

由此

(2) 代入应力公式，在无体力下，得

(3) 考察主要边界条件

对于任意的x值，上式均满足，由此得
(a)

(b)

(c)

(d)
由(3)+(4)得

由(3)-(4)得 (e)

由(5)-(1)得

(4) 考察小边界上的边界条件(x=0),由

得
（f）
由式(2)和(6)解出

另两个积分的边界条件

显然是满足的
于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答

读者试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的

例题21矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数 求q解其应力分量

o
q

解：应用上述应力函数求解
(1) 代入相容方程

(2) 求应力分量，在无体力下

(3)考察边界条件，在主要边

在小边界（ x= 0）

再由(a),(b)式解出

代入，得应力解答，

例题22 试用应力函数 求解图中。所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题
解：应校核相容方程和边界条件，若这些
量均满足，则可以求出其应力分量
本题得出的应力解答是

例题23 试用应力函数

求解图中所示的半平面体在 的边界上受均布切力q的问题。

解：应校核相容方程和边界条件，若这些
量均满足，则可以求出其应力分量。
本题得出的应力解答是

第三节 用直角坐标法求解平面问题实例

第四节极坐标
直角坐标(x,y)与极坐标 比较
相同:两者都是正交坐标系。
区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有
固定的方向, x 和y 的量纲均为L。
极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标线（ =常数）在不同点有不同的方向
一、 极坐标中的平衡微分方程
在A内任一点（ ， ）取出一个微分体，考虑其平衡条件。微分体--由夹角为 的两径向线和距离 为 的两环向线围成
注意两 面不平行，夹角为 ；
两 面面积不等，分别为 ， 。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向
转动为正。
微分体上的作用力
有体力-- ， 以坐标正向为正。
应力-- 面， 面分别表示应力及其
增量：
应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，
反之为负
平衡条件应用假定:（1）连续性，（2）小变形。
考虑通过微分体形心 C 的 向及矩的平衡，列出3个平衡条件

:--通过形心C的 向合力为0，

其中可取

上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得

式(a)中1、2、4项与直角坐标的方向相似; 而

--通过形心C的 向合力为0

略去三阶微量，保留到二阶微量，得

式(b)中1、2、4项与直角坐标的方程相似，而

--是由于 面的面积大于 面引起的，

--是由于 面上的切应力 在C点的 向有投影

--通过形心C的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得

二、 极坐标中的几何方程及物理方程
几何方程--表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式 。
过任一点 作两个沿正标向的微分线段 ,

1. 只有径向位移 ，求形变
P,A,B变形后为 ，各点的位移如图
在小变形假定 下

PA线应变

所以切应变为

2. 只有环向位移 ,求形变
P,A,B变形后为 ，各点的位移如图

切应变为

3.当 和 同时存在时，几何方程为

三、 极坐标中的应力函数与相容方程
以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于
1、 物理量的转换;
2,,从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程

1. 从直角坐标系到极坐标系的变换
坐标变量的变换

反之
函数的变换：将式 或 代入
，
矢量的变换：位移

或

导数的变换
将对 的导数，变换为对 的导数
可看成是 ，而 又是 的函数，即 是通过中间变量 ，为 的复合函数

有:

而

代入，即得一阶导数的变换公式,

二阶导数的变换公式，可以从式(e) 导出。例如

展开即得

拉普拉斯算子的变换：由式（f）得

2. 极坐标中的相容方程

3. 极坐标中应力用应力函数 表示
可考虑几种导出方法
(1)从平衡微分方程直接导出（类似于直角坐标系中方法）
(2) 应用特殊关系式，即当x轴移动到与 轴重合时，有:
(3) 应用应力变换公式（下节）

代入式 ( f ) ，得出 的公式。
(4) 应用应力变换公式（下节）

而

比较两式的 的系数，便得出 的公式。

4.极坐标系中按应力函数 求解，应满足
(1) A 内相容方程
(2) 上的应力边界条件（设全部为应力边界条件）

(3) 多连体中的位移单值条件
四、 应力分量的坐标变换式
应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。
应力分量的坐标变换关系：
1已 知 ，求

取出一个包含x面y(含 )和 面
（含 ）的三角形微分体，厚度为1，如下图 A，考虑其平衡条件

得

同理，由 得

类似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形，微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件
得

2、已知 ，求
应用相似的方法，可得到

五、 轴对称应力和相应的位移
轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面
轴对称应力问题：
应力数值轴对称-- 仅为 ρ 的函数，
应力方向轴对称--
相应的应力函数 ，所以应力公式为：

1）相容方程

其中

相容方程成为常微分方程，积分4次得 的通解

(2) 应力通解：将式 (c) 代入式 (a）

（3）应变通解：将应力(d)代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变 也为轴对称。
(4)求对应的位移： 将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分

将 代入第三式

分开变量，两边均应等于同一常量F,

由两个常微分方程

代入 ，得轴对称应力对应的位移通解，

六、 圆环或圆筒受均布压圆环
(平面应力问题)和圆筒(平面应变问题)受内外均布压力，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的通解。力

边界条件是

式(b)中的 条件是自然满足的，而其余两个条件还不足以完全确定应力解答(a) 。
考察多连体中的位移单值条件
圆环或圆筒，是有两个连续边界的多连体。而在位移解答中

是一个多值函数：对于 和 是同一点，但式(c)却得出两个位移值。由于同一点的位移只能为单值，因此B = 0
由B=0 和边界条件 (b) ，便可得出拉梅解答，

解答（d）的应用：（1）只有内压力
（2）只有内压力 且 ，成为具有圆孔的无限大薄板（弹性体）
3）只有外压力
七、 压力隧洞
1.压力隧洞--圆筒埋在无限大弹性体中，受有均布内压力。圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为本题是两个圆筒的接触问题，两个均为轴对称问题（平面应变问题）

因为不符合均匀性假定，
必须分别采用两个轴对称解答：
圆筒

无限大弹性体

应考虑的条件：
（1） 位移单值条件
（2） 圆筒内边界条件：

（3） 无限远处条件，由圣维南原理,

（4） 的接触条件，当变形后两弹性体保持连续时，有

由（1）—（4）条件，解出解答（书中式（4 -16））。
2.一般的接触问题。
当两个弹性体 ，变形前在s上互相接触，变形后的接触条件可分为几种情况

(1) 完全接触：变形后两弹性体在s上仍然保持连续。这时的接触条件为：在s上

(2) 有摩阻力的滑动接触：变形后在S上法向保持连续，而切向产生有摩阻力的相对滑移，则在S上的接触条件为

其中C为凝聚力。
(3) 光滑接触：变形后法向保持连续，但切向产生无摩阻力的光滑移动，则在s上的接触条件为

(4) 局部脱离：变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成了自由面。在此部分脱开的边界上，有
3. 有限值条件 设图（a）中半径为r的圆盘受法向均布压力q作用，试求其解答。

图（a）

引用轴对称问题的解答，并考虑边界
上的条件，上述问题还是难以得出解答。这时，我们可以考虑所谓有限值条件，即了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值。而书中式(4-11)的应力表