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带电粒子在电磁场中运动的对称美赏析
文／朱　欣
大自然奇妙而又神秘的对称美普遍存在于各种物理现象、物理过程和物理规律中．从某种意义上讲，物理学的每一次重大突破都有美学思想在其中的体现．用对称性思想去审题，从对称性角度去分析和解决问题，将给人耳目一新的感觉．本文通过对带电粒子在电磁场中的运动问题的分析，体会其中的美学思想和对称美的感受．
　一、一片绿叶
　　例1　如图1所示，在ｘＯｙ平面内有很多质量为ｍ、电量为ｅ的电子，从坐标原点O不断以相同的速率ｖ０沿不同方向平行ｘＯｙ平面射入第Ⅰ象限．现加一垂直ｘＯｙ平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于ｘ轴且沿ｘ轴正方向运动．求符合条件的磁场的最小面积．（不考虑电子之间的相互作用）

　 解析　如图2所示，电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为Ｒ＝ｍｖ０／ｅＢ．在由O点射入第Ⅰ象限的所有电子中，沿ｙ轴正方向射出的电子转过1／4圆周，速度变为沿ｘ轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界．下面确定磁场区域的下边界．

　 设某电子做匀速圆周运动的圆心Ｏ′和Ｏ点的连线与ｙ轴正方向夹角为θ，若离开磁场时电子速度变为沿ｘ轴正方向，其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（ｘ、ｙ）．由图中几何关系可得
ｘ＝Ｒｓｉｎθ，ｙ＝Ｒ－Ｒｃｏｓθ，
消去参数θ可知磁场区域的下边界满足的方程为
ｘ２＋（Ｒ－ｙ）２＝Ｒ２（ｘ＞0，ｙ＞0）．
　　这是一个圆的方程，圆心在（0，Ｒ）处．磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积．磁场的最小面积为
　　Ｓ＝2×（（1／4）πＲ２－（1／2）Ｒ２）＝（π－2）ｍ２ｖ０２／（2ｅ２Ｂ２）．
　　欣赏　由两条圆弧所围的磁场区域像一片嫩绿的树叶，青翠欲滴!
　　二、一朵梅花
　　例2　如图3所示，两个共轴的圆筒形金属电极，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝ａ、ｂ、ｃ和ｄ，外筒的外半径为ｒ．在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度大小为Ｂ．在两极间加上电压，使两筒之间的区域内有沿半径向外的电场．一质量为ｍ、带电量＋ｑ的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝ａ的Ｓ点出发，初速度为零．如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两极之间的电压U应是多少?（不计重力，整个装置在真空中）

　 解析　如图4所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿出狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动．粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝ｄ．只要穿过了ｄ，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经ｄ重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过ｃ、ｂ，再经回到S点．设粒子进入磁场区的速度大小为ｖ，根据动能定理，有

 ｑＵ＝（1／2）ｍｖ２．
　　 设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有ｑｖＢ＝ｍｖ２／Ｒ．
　　由前面的分析可知，要回到S点，粒子从ａ到ｄ必经过3／4圆周，所以半径R必定等于筒的外半径ｒ，即Ｒ＝ｒ．由以上各式解得：Ｕ＝ｑＢ２ｒ２／2ｍ．
　　欣赏　粒子的运动轨迹构成了一朵怒放的梅花，香气迎风而来!
　　三、一滴水珠
　例3　如图5所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为ｍ、电量为ｑ、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程．求：

（1）中间磁场区域的宽度ｄ；
　（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点的所用时间t．
解析　（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得 　　　ｑＥＬ＝（1／2）ｍｖ２，
带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得 　　　　　　ｑｖＢ＝ｍｖ２／Ｒ，
由以上两式，可得　　　　Ｒ＝（1／Ｂ）
可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图6所示，三段圆弧的圆心组成的三角形△Ｏ１Ｏ２Ｏ３是等边三角形，其边长为2Ｒ．所以中间磁场区域的宽度为

ｄ＝Ｒｓｉｎ60°＝（1／2Ｂ）．
　（2）在电场中 ｔ１＝2ｖ／ａ＝2ｍｖ／ｑＥ＝2，
在中间磁场中ｔ２＝2×（1／6）Ｔ＝2πｍ／3ｑＢ，
在右侧磁场中ｔ３＝（5／6）Ｔ＝5πｍ／3ｑＢ，
则粒子第一次回到O点的所用时间为 ｔ＝ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＝2＋7πｍ／3ｑＢ．
　欣赏　粒子在两磁场区的运动轨迹形成了一滴水珠，晶莹明亮!
　　四、一条波浪
　例4　如图7（甲）所示，ｘ≥0的区域内有如图7（乙）所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场，磁场方向垂直纸面向外时为正方向．现有一个质量为ｍ、电量为ｑ的带正电的粒子，在ｔ＝0时刻从坐标原点O以速度ｖ沿着与ｘ轴正方向成75°角射入．粒子运动一段时间后到达P点，P点的坐标为（ａ，ａ），此时粒子的速度方向与OP延长线的夹角为30°．粒子只受磁场力作用．

（1）若Ｂ０＝Ｂ１为已知量，试求带电粒子在磁场中运动的轨道半径R和周期Ｔ０的表达式；
　（2）说明粒子在OP间运动的时间跟所加磁场变化周期T之间应有什么样关系才能使粒子完成上述运动；
　（3）若Ｂ０为未知量，那么所加磁场的变化周期T、磁感应强度Ｂ０的大小各应满足什么条件，才能使粒子完成上述运动?（写出Ｔ、Ｂ０应满足条件的表达式）
　　解析　（1）由牛顿第二定律，可得 　　　　ｑｖＢ１＝ｍｖ２／Ｒ，Ｒ＝ｍｖ／ｑＢ１，
粒子运动的周期　Ｔ０＝2πＲ／ｖ＝2πｍ／ｑＢ１．
　　（2）根据粒子经过O点和P点的速度方向和磁场的方向可判断：粒子由O点到P点运动过程可能在磁场变化的半个周期之内完成；当磁场方向改变时，粒子绕行方向也改变，磁场方向变化具有周期性，粒子绕行方向也具有周期性，因此粒子由O点到P点的运动过程也可能在磁场变化的半个周期的奇数倍时间完成．
　　（3）若粒子由O点到P点的运动过程在磁场变化的半个周期之内完成，则磁场变化周期与粒子运动周期应满足：Ｔ／2≥Ｔ０／6，由图8可知粒子运动的半径为 　　Ｒ＝ＯＰ＝ａ，又　　Ｒ＝ｍｖ／ｑＢ０，　Ｔ０＝2πｍ／ｑＢ０，
所以Ｔ、Ｂ０分别满足：
　　　　Ｂ０＝ｍｖ／ｑ×ａ＝ｍｖ／2ｑａ，
　　　Ｔ≥2πｍ／3ｑＢ０＝2πａ／3ｖ．
　　若粒子由O点到P点的运动过程在磁场变化的半个周期的奇数倍时间完成，则磁场变化周期与粒子运动周期应满足

（2ｋ－1）Ｔ／2＝（2ｋ－1）Ｔ０／6，ｋ＝2，3，……
由图8可知 　　　　　　ＯＰ＝ａ＝（2ｋ－1）Ｒ，
又　　　　 Ｒ＝ｍｖ／ｑＢ０，Ｔ０＝2πｍ／ｑＢ０．
所以Ｔ、Ｂ０分别满足
　　Ｂ０＝（2ｋ－1）ｍｖ／2ｑａ，　　　　Ｔ≥2πａ／3（2ｋ－1）ｖ．其中ｋ＝2，3，……
欣赏　带电粒子在磁场中周期性的运动像一条缓缓前行的波浪，浪花点点!
　　五、一颗明星
　例5　如图9所示，一个质量为ｍ、电量为ｑ的正离子，从A点正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中．圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．要使带电粒子与圆筒内壁碰撞两次后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间ｔ．设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力．

　解析　由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，每次碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图10所示．每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为120°．由几何知识可知，离子运动的半径为

　ｒ＝Ｒｔａｎ60°＝Ｒ，
离子运动的周期为　Ｔ＝2πｍ／ｑＢ，又　ｑｖＢ＝ｍｖ２／Ｒ，
所以离子在磁场中运动的时间为 ｔ＝3×（1／6）Ｔ＝πＲ／3ｖ．
　　欣赏　离子运动的轨迹构成了一颗星星，闪闪发光!
　　六、一弯残月
　　例6　如图11（a）所示，有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直ｘＯｙ所在的纸面向外．某时刻在ｘ＝Ｌ０、ｙ＝0处，一质子沿ｙ轴的负方向进入磁场；同一时刻，在ｘ＝－Ｌ０、ｙ＝0处，一个α粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直．不考虑质子与α粒子间的相互作用，质子的质量为ｍ、电量为ｅ．

　（1）如果质子经过坐标原点O，它的速度为多大?
　　（2）如果α粒子与质子在坐标原点O相遇，α粒子的速度为多大?方向如何?
　　解析　（1）根据质子进入磁场的位置和速度方向可知，质子运动的圆心必在ｘ轴上，又因质子经过坐标原点，故其轨道半径Ｒｐ＝（1／2）Ｌ０，由　　　Ｒｐ＝ｍｖｐ／ｅＢ，得　　ｖｐ＝ｅＢＬ０／2ｍ．
　　（2）质子运动的周期Ｔｐ＝2πｍ／ｅＢ．α粒子的电量为2ｅ，质量为4ｍ，运动的周期Ｔα＝4πｍ／ｅＢ＝2Ｔｐ．质子在ｔ＝（1／2）Ｔｐ，（3／2）Ｔｐ，（5／2）Ｔｐ……时刻通过O点，若α粒子与质子在O点相遇，α粒子必在质子经过O点的同一时刻到达，这些时刻分别对应于ｔ＝（1／4）Ｔｐ，（3／4）Ｔｐ……
　　如果α粒子在时刻ｔ＝（1／4）Ｔｐ到达O点，它运行了（1／4）Ｔα圆周所对应的弦；如果α粒子在时刻ｔ＝（3／4）Ｔｐ到达O点，它运行了（3／4）Ｔα圆周所对应的弦，如图11（b）所示（ｔ＝（5／4）Ｔｐ等情况不必考虑）．由图可知，α粒子轨道半径Ｒα＝（／2）Ｌ０，由Ｒα＝4ｍｖα／2ｅＢ＝2ｍｖα／ｅＢ，得　　ｖα＝ＢＬ０／4ｍ，
方向有两个，即与x轴正方向夹角分别为　　θ１＝（1／4）π，　θ２＝（3／4）π．
　　欣赏　粒子的运动轨迹形成了一弯残月，令人浮想联翩!
　　七、一只蝴蝶
　　例7如图12（a）所示，在ｘＯｙ平面上－Ｈ＜ｙ＜Ｈ的范围内有一片稀疏的电子，从x轴的负半轴的远处以相同的速率ｖ０沿x轴正向平行地向y轴射来．试设计一个磁场区域，使得

　（1）所有电子都能在磁场力作用下通过原点O；
　　（2）这一片电子最后扩展到－2Ｈ＜ｙ＜2Ｈ范围内，继续沿x轴正向平行地以相同的速率ｖ０向远处射出．已知电子的电量为ｅ、质量为ｍ，不考虑电子间的相互作用．
解析　根据题意，电子在O点先会聚再发散，因此电子在第Ⅰ象限的运动情况可以依照例1来分析．即只有当磁场垂直纸面向里、沿y轴正方向射入的电子运动轨迹为磁场上边界（如图中实线1所示）、沿其它方向射入第Ⅰ象限磁场的电子均在实线2（磁场下边界）各对应点上才平行x轴射出磁场，这些点应满足ｘ２＋（ｙ－2Ｈ）２＝（2Ｈ）２．实线1、2的交集即为第Ⅰ象限内的磁场区域．由ｅｖ０Ｂ１＝ｍｖ２０／Ｒ，得　　Ｂ１＝ｍｖ０／2ｅＨ，
方向垂直ｘＯｙ平面向里．
　　显然，电子在第Ⅲ象限的运动过程，可以看成是第Ⅰ象限的逆过程．即只有当磁场垂直纸面向外，平行于ｘ轴向右且距x轴为H的入射电子运动轨迹则为磁场下边界（如图中实线1′所示）、沿与x轴平行方向入射的其他电子均在实线2′（磁场上边界）各对应点发生偏转并会聚于O点，这些点应满足 　　　　ｘ２＋（ｙ－Ｈ）２＝Ｈ２．
实线1′、2′的交集即为第Ⅲ象限内的磁场区域．所以Ｂ３＝ｍｖ０／ｅＨ，方向垂直ｘＯｙ平面向外．
　　同理，可在第Ⅱ、Ⅳ象限内画出分别与第Ⅰ、Ⅲ象限对称的磁场区域，其中Ｂ２＝ｍｖ０／ｅＨ，方向垂直ｘＯｙ平面向里；Ｂ４＝ｍｖ０／2ｅＨ，方向垂直ｘＯｙ平面向外．
欣赏　全部磁场区域的分布极像一只漂亮的蝴蝶，赏心悦目!
　　八、一幅窗帘
　　例8　如图13所示，正方形匀强磁场区边界长为a、由光滑绝缘壁围成，质量为m、电量为q的带正电的粒子垂直于磁场方向和边界，从下边界正中央的A孔射入磁场中．粒子碰撞时无能量和电量损失，不计重力和碰撞时间，磁感应强度的大小为B，粒子在磁场中运动的半径小于ａ．欲使粒子仍能从A孔处射出，粒子的入射速度应为多少?在磁场中运动时间是多少?

　解析　欲使粒子仍能从A孔处射出，粒子的运动轨迹可能是如图14甲、乙所示的两种情形．
　　对图14甲所示的情形，粒子运动的半径为R，则　　Ｒ＝ａ／2（2ｎ＋1），ｎ＝0，1……
又　ｑｖＢ＝ｍｖ２／Ｒ，　Ｔ＝2πｍ／ｑＢ，
所以　ｖ＝ｑＢａ／2（2ｎ＋1）ｍ，
　　　ｔ＝（4ｎ＋1）Ｔ＝2（2ｎ＋1）πｍ／ｑＢ，ｎ＝0，1，2，……
　　对图14乙所示情形，粒子运动的半径为Ｒ′，则

　Ｒ′＝ａ／4ｋ，ｋ＝1，2，……
又　　ｑｖ′Ｂ＝ｍｖ′２／Ｒ′， 所以　ｖ′＝ｑＢａ／4ｋｍ， ｔ′＝2ｋＴ＋2ａ／ｖ′＝4ｋ（π＋2）ｍ／ｑＢ，ｋ＝1，2，……
　　欣赏　粒子的运动轨迹组成了一幅美丽的窗帘，可谓巧夺天工!
　　物理学家温伯格说：“目前物理学中最有希望的探索方法就是透过现象世界与表层结构的迷雾去发现隐藏在事物深处的对称性”．由此可见，对称性思想在物理学中的应用是广泛的，也是很重要的，所以我们在平时的生活和学习中要逐渐培养美学思维能力．

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