函数的最大小值与导数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3.3.3,函数的最大（小）值与导数,课前自主学案,求函数,f,(,x,),的极值,首先解方程,f,(,x,),0.,当,f,(,x,0,),0,时，,(1),如果在,x,0,附近的左侧,_,，右侧,_,那么,f,(,x,0,),是函数的,_,；,(2),如果在,x,0,附近的左侧,_,，右侧,_,那么,f,(,x,0,),是函数的,_,f,(,x,0,),0,f,(,x,0,),0,极大值,f,(,x,0,),0,f,(,x,0,),0,极小值,观察图象，你能找出函数的极大值，极小值吗？,新 课 引 入,极值是一个,局部,概念，极值只是某个点的函数值与它,附近点,的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。,在某些问题中，往往关心的是函数在整个,定义域区间,上，哪个值,最大或最小,的问题，这就是我们通常所说的,最值,问题,.,观察以上两个函数图象，它们在 上有,最大值，最小值,吗？如果有，分别是什么？,一般地，设函数,y=f(x),的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足：,（,1,）对于任意的,x,I,，都有,f(x)M;,（,2,）存在,x,0,I,，使得,f(x,0,)=M,那么，称,M,是函数,y=f(x),的,最大值,一般地，设函数,y=f(x),的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足：,（,1,）对于任意的,x,I,，都有,f(x)M;,（,2,）存在,x0,I,，使得,f(x0)=M,那么，称,M,是函数,y=f(x),的,最小值,一,.,最值的概念,(,最大值与最小值,),观察下列图形,你能找出函数的最值吗？,x,o,y,a,x,1,b,y=f(x),x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,x,o,y,a,x,1,b,y=f(x),x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值,.,在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,因此：该函数没有最值。,f(x),max,=f(a),f(x),min,=f(x,3,),求函数的最值时,应注意以下几点,:,(1),函数的,极值,是一个,局部,概念,而函数的,最值,是对整个定义域而言,是一个,整体性,的概念,.,(2),闭区间,a,b,上的连续函数,一定有最值,.,开区间,(a,b),内的可导函数,不一定,有最值,(3),函数在其定义域上的最大值与最小值,至多各有一个。,观察右边一个定义在区间,a,b,上的函数,y=f(x),的图象：,发现图中,_,是极小值，,_,是极大值，在区间上的函数的最大值是,_,，最小值是,_,。,f(x,1,),、,f(x,3,),f(x,2,),f(b),f(x,3,),问题在于如果在,没有给出函数图象,的情况下，怎样才能判断出,f(x,3,),是最小值，而,f(b),是最大值呢？,x,X,2,o,a,X,3,b,x,1,y,y=f(x),求函数,y,=,f,(,x,),在,a,b,上的最大值与最小值的步骤如下,:,(1),求函数,y,=,f,(,x,),在,(,a,b,),内的极值,;,(2),将函数,y,=,f,(,x,),的,各极值点与端点处的函数值,f,(,a,),f,(,b,),比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,.,题型一：求函数的最大值和最小值,1,、求出所有导数为,0,的点；,2,、计算；,3,、比较确定最值。,例,2:,求函数,y=x,4,-2x,2,+5,在区间,-2,2,上的最大值与最小值,.,解,:,令,解得,x=-1,0,1.,当,x,变化时,的变化情况如下表,:,从上表可知,最大值是,13,最小值是,4.,练习：,函数,y,=,x,+3,x,9,x,在,4,4,上的最大值为,最小值为,.,分析,:,(1),由,f,(,x,)=3,x,+6,x,9=0,(2),区间,4,4,端点处的函数值为,f,(,4)=20,f,(4)=76,得,x,1,=,3,，,x,2,=1,函数值为,f,(,3)=27,f,(1)=,5,76,-5,当,x,变化时，,y,、,y,的变化情况如下表：,比较以上各函数值，可知函数在,4,4,上的最大值为,f,(4)=76,，最小值为,f,(1)=,5,例3,若,f,(,x,),ax,3,6,ax,2,b,(,a,0),，,x,1,2,的最大值为,3,，最小值是,29,，求,a,、,b,的值,【思路点拨】,可先对,f,(,x,),求导，确定,f,(,x,),在,1,2,上的单调性及最值，再建立方程从而求得,a,，,b,的值,【解】,f,(,x,),3,ax,2,12,ax,3,a,(,x,2,4,x,),令,f,(,x,),0,，得,x,0,，,x,4,，,x,1,2,，,x,0.,a,0,，,f,(,x,),，,f,(,x,),随,x,变化情况如下表：,已知函数的最值求参数,当,x,0,时，,f,(,x,),取最大值，,b,3.,又,f,(2),8,a,24,a,3,16,a,3,，,f,(,1),7,a,3,f,(2),，,当,x,2,时，,f,(,x,),取最小值，,16,a,3,29,，,a,2,，,a,2,，,b,3.,例4,【思路点拨】,把,m,f,(,x,),恒成立，转化为求,f,(,x,),在,1,2,上的最大值，只要,m,大于此最大值即可,.,与最值有关的恒成立问题,解,:,令 解得,所以函数的极大值为 ，极小值为,1,、已知函数,(1),求 的极值,(2),当 在什么范围内取值时，曲线,与 轴总有交点,当 变化时,的变化情况如下表,:,-,+,-,极小值,极大值,练习,曲线 与 轴总有交点,由（,1,）可知，函数在区间 上的极大值为 ，极小值为 ，又因 ，,(2),所以函数的最大值为 ，最小值为,2,、,解,令,解得,x,0,(0,),(,),+,-,+,0,0,(,),0,一、选择题,1,若函数,y,f,(,x,),是定义在,R,上的可导函数，则,f,(,x,),0,是,x,0,为函数,y,f,(,x,),的极值点的,(,),A,充分不必要条件,B,必要不充分条件,C,充要条件,D,既不充分也不必要条件,答案,B,解析,如,y,x,3,，,y,3,x,2,，,y,|,x,0,0,，但,x,0,不是函数,y,x,3,的极值点,答案,A,3,函数,y,x,3,1,的极大值是,(,),A,1,B,0,C,2 D,不存在,答案,D,解析,y,3,x,2,0,在,R,上恒成立，,函数,y,x,3,1,在,R,上是单调增函数，,函数,y,x,3,1,无极值,4,y,f,(,x,),2,x,3,3,x,2,a,的极大值是,6,，那么,a,等于,(,),A,6 B,0,C,5 D,1,答案,A,解析,f,(,x,),6,x,2,6,x,，令,f,(,x,),0,，得,6,x,2,6,x,0,，,解得,x,0,或,1.,且易知,x,0,是极大值点,f,(0),a,6.,答案,3,6,函数,y,x,e,x,的最小值为,_,应用,(2009,年天津（文）,21T),处的切线的斜率；,设函数 其中,（,1,）当 时，求曲线 在点,（,2,）求函数 的单调区间与极值。,答,:,（,1,）斜率为,1;,(2),（浙江文,21,）（本题满分,12,分）,已知,a,为实数，,（,）求导数 ；,（,）若 ，求 在,-2,，,2,上的最大值和最小值；,（,）若 在（,-,，,-2,和,2,，,+,）上都是递增的，求,a,的取值范围。,一,.,是利用函数性质,二,.,是利用不等式,三,.,是利用导数,求函数最值的一般方法,小结：,再见,