西城区学习探究诊断_第二十八章__锐角三角函数.doc

第二十八章 锐角三角函数1 锐角三角函数定义一、填空题1如图所示，B、B是MAN的AN边上的任意两点，BCAM于C点，BCAM于C点，则BAC_，从而，又可得_，即在RtABC中(C90)，当A确定时，它的_与_的比是一个_值；_，即在RtABC中(C90)，当A确定时，它的_与_的比也是一个_；_，即在RtABC中(C90)，当A确定时，它的_与_的比还是一个_第1题图2如图所示，在RtABC中，C90第2题图_，_；_，_；_，_3因为对于锐角a 的每一个确定的值，sina 、cosa 、tana 分别都有_与它_，所以sina 、cosa 、tana 都是_又称为a 的_4在RtABC中，C90，若a9，b12，则c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_5在RtABC中，C90，若a1，b3，则c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_6在RtABC中，B90，若a16，c30，则b_，sinA_，cosA_，tanA_，sinC_，cosC_，tanC_7在RtABC中，C90，若A30，则B_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_二、解答题8已知：如图，RtTNM中，TMN90，MRTN于R点，TN4，MN3求：sinTMR、cosTMR、tanTMR9已知RtABC中，求AC、AB和cosB综合、运用、诊断10已知：如图，RtABC中，C90D是AC边上一点，DEAB于E点DEAE12求：sinB、cosB、tanB11已知：如图，O的半径OA16cm，OCAB于C点，求：AB及OC的长12已知：O中，OCAB于C点，AB16cm，(1)求O的半径OA的长及弦心距OC；(2)求cosAOC及tanAOC13已知：如图，ABC中，AC12cm，AB16cm，(1)求AB边上的高CD；(2)求ABC的面积S；(3)求tanB14已知：如图，ABC中，AB9，BC6，ABC的面积等于9，求sinB拓展、探究、思考15已知：如图，RtABC中，C90，按要求填空：(1)_；(2)b_，c_；(3)a_，b_；(4)_，_；(5) _，_；(6)3，_，_16已知：如图，在直角坐标系xOy中，射线OM为第一象限中的一条射线，A点的坐标为(1，0)，以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交y轴于B点，交OM于P点，作CAx轴交OM于C点设XOMa 求：P点和C点的坐标(用a 的三角函数表示)17已知：如图，ABC中，B30，P为AB边上一点，PDBC于D(1)当BPPA21时，求sin1、cos1、tan1；(2)当BPPA12时，求sin1、cos1、tan1测试2 锐角三角函数学习要求1掌握特殊角(30，45，60)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角2初步了解锐角三角函数的一些性质课堂学习检测一、填空题1填表锐角a304560sinacosatana二、解答题2求下列各式的值(1)(2)tan30sin60sin30(3)cos453tan30cos302sin602tan45(4)3求适合下列条件的锐角a (1)(2)(3)(4)4用计算器求三角函数值(精确到0.001)(1)sin23_；(2)tan545340_5用计算器求锐角a (精确到1)(1)若cosa 0.6536，则a _；(2)若tan(2a 10317)1.7515，则a _综合、运用、诊断6已知：如图，在菱形ABCD中，DEAB于E，BE16cm，求此菱形的周长7已知：如图，在ABC中，BAC120，AB10，AC5求：sinACB的值8已知：如图，RtABC中，C90，BAC30，延长CA至D点，使ADAB求：(1)D及DBC；(2)tanD及tanDBC；(3)请用类似的方法，求tan22.59已知：如图，RtABC中，C90，作DAC30，AD交CB于D点，求：(1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD和tanBAD10已知：如图ABC中，D为BC中点，且BAD90，求：sinCAD、cosCAD、tanCAD拓展、探究、思考11已知：如图，AOB90，AOOB，C、D是上的两点，AODAOC，求证：(1)0sinAOCsinAOD1；(2)1cosAOCcosAOD0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而_；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而_12已知：如图，CAAO，E、F是AC上的两点，AOFAOE(1)求证：tanAOFtanAOE；(2)锐角的正切函数值随角度的增大而_13已知：如图，RtABC中，C90，求证：(1)sin2Acos2A1；(2)14化简：(其中0a 90)15(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：sin30_2sin15cos15；sin36_2sin18cos18；sin45_2sin22.5cos22.5；sin60_2sin30cos30；sin80_2sin40cos40；sin90_2sin45cos45猜想：若0a 45，则sin2a _2sina cosa (2)已知：如图，ABC中，ABAC1，BAC2a 请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论16已知：如图，在ABC中，ABAC，ADBC于D，BEAC于E，交AD于H点在底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，ABC和HBC的面积的积SABCSHBC的值是否随着变化?请说明你的理由测试3 解直角三角形(一)学习要求理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型课堂学习检测一、填空题1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在RtABC中，C90，ACb，BCa，ABc，第1题图三边之间的等量关系：_两锐角之间的关系：_边与角之间的关系：_；_；_；_直角三角形中成比例的线段(如图所示)第小题图在RtABC中，C90，CDAB于DCD2_；AC2_；BC2_；ACBC_直角三角形的主要线段(如图所示)第小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的_，斜边的中点是_若r是RtABC(C90)的内切圆半径，则r_直角三角形的面积公式在RtABC中，C90，SABC_(答案不唯一)2关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_(其中至少_)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_或斜边和_)及已知一边和一个锐角(_和一个锐角或_和一个锐角)3填写下表：已知条件解法一条边和斜边c和锐角AB_，a_，b_一个锐角直角边a和锐角AB_，b_，c_两条边两条直角边a和bc_，由_求A，B_直角边a和斜边cb_，由_求A，B_二、解答题4在RtABC中，C90(1)已知：a35，求A、B，b；(2)已知：，求A、B，c；(3)已知：，求a、b；(4)已知：求a、c；(5)已知：A60，ABC的面积求a、b、c及B综合、运用、诊断5已知：如图，在半径为R的O中，AOB2a ，OCAB于C点(1)求弦AB的长及弦心距；(2)求O的内接正n边形的边长an及边心距rn6如图所示，图中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图中AB、BC两段)，其中CCBB3.2m结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)(参考数据：sin300.50，cos300.87，sin350.57，cos350.82)7如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)拓展、探究、思考8如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?9王英同学从A地沿北偏西60方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离?10已知：如图，在高2m，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)测试4 解直角三角形(二)学习要求能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形课堂学习检测1已知：如图，ABC中，A30，B60，AC10cm求AB及BC的长2已知：如图，RtABC中，D90，B45，ACD60BC10cm求AD的长3已知：如图，ABC中，A30，B135，AC10cm求AB及BC的长4已知：如图，RtABC中，A30，C90，BDC60，BC6cm求AD的长综合、运用、诊断5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30，测得岸边点D的俯角为45，又知河宽CD为50m现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)6已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，)7已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点已知BAC60，DAE45点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC8已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC20m，斜坡坡面上的影长CD8m，太阳光线AD与水平地面成26角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30，求旗杆AB的高度(精确到1m)10已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m问路灯高度为多少米?11已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60方向走了500到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m，到达目的地C点求(1)A、C两地之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向?拓展、探究、思考13已知：如图，在ABC中，ABc，ACb，锐角Aa (1)BC的长；(2)ABC的面积15已知：如图，在RtADC中，D90，Aa ，CBDb ，ABa用含a及a 、b 的三角函数的式子表示CD的长16已知：ABC中，A30，AC10，求AB的长测试5 综合测试1计算(1)(2)2已知：如图，ABC中，ACB90，CDAB于D，AB32，BC12求：sinACD及AD的长4已知：如图，矩形ABCD中，AB3，BC6，BE2EC，DMAE于M点求DM的长5已知：如图，四边形ABCD中，A45，C90，ABD75，DBC30，AB2a求BC的长6已知：如图，四边形ABCD中，AC90，D60，AB3，求BC的长答案与提示第二十八章 锐角三角函数测试11BAC，AB，AC，对边，斜边，固定；，邻边，斜边，固定值；，对边，邻边，固定值2A的对边，B的对边，A的邻边，B的邻边，A的对边，B的邻边，3唯一确定的值，对应，a 的函数，锐角三角函数4567891011AB2AC2AOsinAOC24cm，1213(1)CDACsinA4cm；(2)(3)1415(1)(2)(3)(4)(5)(6)16P(cosa ，sina )，C(1，tana )提示：作PDx轴于D点17(1)(2)提示：作AEBC于E，设AP2测试21锐角a304560sinacosatana12(1)0； (2) (3) (4)3(1)a 60；(2)a 30；(3)22.5；(4)464(1)0.391；(2)1.4235(1)491111；(2)2452446104cm提示：设DE12xcm，则得AD13xcm，AE5xcm利用BE16cm列方程8x16解得x27提示：作BDCA延长线于D点8(1)D15，DBC75；(2) (3)9(1)15；(2)10提示：作DEBA，交AC于E点，或延长AD至F，使DFAD，连结CF11提示：作CEOA于E，作DFOA于F (3)增大， (4)减小12(2)增大13提示：利用锐角三角函数定义证14原式15(1)略sin2a 2sina cosa (2)sin2a 2sina cosa 16不发生改变，设BAC2a ，BC2m，则测试31a2b2c2； AB90； ADBD，ADAB，BDBA，ABCD：一半，它的外心，(或)或(h为斜边上的高)或或或(r为内切圆半径)2两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边390A，sinA，cosA；4(1)A45，B45，b35；(2)A60，B30，c4；(3)(4)(5)5(1)AB2Rsina ，OCRcosa ；(2)6AB6.40米，BC5.61米，ABBC12.0米7约为222cm8(1)米(2)4层，提示：设甲楼应建x层则9106米测试412cm3提示：作CDAB延长线于D点4cm5山高6约为27.3海里78约为17m，提示：分别延长AD、BC，设交点为E，作DFCE于F点9约477.13m1010m11(1)AC1 000m；(2)C点在A点的北偏东30方向上12面积增加24m2，需用240 000m2土石13(1)提示：作CDAB于D点，则CDbsina ，ADbcosa 再利用BC2CD2DB2的关系，求出BC(2)14(1)ABbcosa acosb . 提示：作CDAB于D点(2)提示：由bsina CDasinb 可得bsina asinb ，从而15提示：ABADBDCD tan(90a )CD tan(90b )CDtan(90a )tan(90b )，或16或提示：AB边上的高CD的垂足D点可能在AB边上(这时AB，也可能在AB边的延长线上(这时)17测试51(1) (2)23(1)或 (2)45提示：作BEAD于E点6BC6提示：分别延长AB、DC，设它们交于E点7(1)提示：作O的直径BA，连结AC(2)提示：当A点在优弧BC上且AOBC时，ABC有面积的最大值8提示：第二十八章 锐角三角函数全章测试一、选择题1RtABC中，C90，若BC4，则AC的长为( )A6BCD2O的半径为R，若AOBa ，则弦AB的长为( )AB2Rsina CDRsina 3ABC中，若AB6，BC8，B120，则ABC的面积为( )AB12CD4若某人沿倾斜角为a 的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是( )AB100sina mCD100cosb m5铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为23，顶宽为3m，路基高为4m，则路基的下底宽应为( )A15mB12mC9mD7m6P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B点，若APB2a ，O的半径为R，则AB的长为( )ABCD7在RtABC中，AD是斜边BC上的高，若CBa，Bb ，则AD等于( )Aasin2b Bacos2b Casinb cosb Dasinb tanb 8已知：如图，AB是O的直径，弦AD、BC相交于P点，那么的值为( )AsinAPCBcosAPCCtanAPCD9如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB已知观测点C到旗杆的距离(CE的长度)为8m，测得旗杆的仰角ECA为30，旗杆底部的俯角ECB为45，那么，旗杆AB的高度是( ) 第9题图ABCD10如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l15.2m、l26.2m、l37.8m、l410m，四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用( )第10题图Al1Bl2Cl3Dl4二、填空题11在ABC中，C90，ABC60，若D是AC边中点，则tanDBC的值为_12在RtABC中，C90，a10，若ABC的面积为，则A_度13如图所示，四边形ABCD中，B90，AB2，CD8，ACCD，若则cosADC_第13题图14如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度，拱形的半径R30m，则拱形的弧长为_第14题图15如图所示，半径为r的圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当O的移动到与AC边相切时，OA的长为_第15题图三、解答题16已知：如图，AB52m，DAB43，CAB40，求大楼上的避雷针CD的长(精确到0.01m)17已知：如图，在距旗杆25m的A处，用测角仪测得旗杆顶点C的仰角为30，已知测角仪AB的高为1.5m，求旗杆CD的高(精确到0.1m)18已知：如图，ABC中，AC10，求AB19已知：如图，在O中，AC，求证：ABCD(利用三角函数证明)20已知：如图，P是矩形ABCD的CD边上一点，PEAC于E，PFBD于F，AC15，BC8，求PEPF21已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60方向，且在B的北偏西45方向问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港(精确到1小时)(该船在C岛停留半个小时)?22已知：如图，直线yx12分别交x轴、y轴于A、B点，将AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE(1)求AE的长及sinBEC的值；(2)求CDE的面积23已知：如图，斜坡PQ的坡度i1，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；(2)求此抛物线AMC的解析式；(3)求xCxB；(4)求B点与C点间的距离答案与提示第二十八章 锐角三角函数全章测试1B 2A 3A 4B 5A6C 7C 8B 9D 10B11 1260 13 1420pm 1516约4.86 m17约15.9m18AB24提示：作ADBC于D点19提示：作OEAB于E，OFCD于F设O半径为R，ACa 则AB2Rcosa ，CD2Rcosa ，ABCD20提示：设BDCDCAa PEPFPCsina PDsina CDsina 21约3小时，提示：作CDAB于D点设CDx海里22(1)提示：作CFBE于F点，设AECEx，则EF 由CE2CF2EF2得(2)提示：设ADy，则CDy，OD12y，由OC2OD2CD2可得23(1)A(0，1)，(2)(3)(4)