第15章电路方程的矩阵形式.doc

第十五章 电路方程的矩阵形式
重点：
1． 关联矩阵、基本回路矩阵及基本割集矩阵等基本概念
2． 熟练掌握几种基本矩阵的列写及其相互间关系
3． 熟练掌握基于矩阵的大规模电路分析方法的原理及应用前景
难点：
1． 掌握各种电路分析方法的矩阵应用
2． 理解大规模电路分析方法对电路的计算机辅助分析与设计的作用
我们以前在学习支路电流法、支路电压法以及网孔分析法、节点分析法、割集分析法、回路分析法时，都是凭观察来列出所需的独立方程组。在求解方程时可以用手算，也可以使用电子计算机。对于含元件较少的电路，这种做法是行得通的。但是现代的电子电路可以包含数百个元件，特别是集成电路技术的飞越发展，电路日益复杂。对于这类“大规模（Large scale）电路”，不可能再凭观察来列写方程。需要有一种系统化的步骤来处理这类电路，使列写方程和求解的工作都能由电子计算机去完成。本章初步地介绍了这种分析方法。其中要用到上章所述图论的一些基本概念以及线性代数中的矩阵方法。
§15-1 电网络图论的基本概念
网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。
15.1.1 网络的图
1．网络图论——网络拓扑学
图论是数学中重要的分支，网络图论是图论在电路理论中的应用。主要通过电路的结构及其连接性质，对电路进行分析计算。
2．支路——Branch
每一个电路元件或多个电路元件的某种组合用一条线段代替，称为支路。
3．节点——node
每一个电路元件的端点，或多个电路元件相连接的点用一个圆点代替，称为节点。在电网络理论中，通常节点是指支路的汇集点，这一概念与数学图论中的“节点”概念略有不同。
4．网络的图——graph
节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。有向图——Oriented graph是指各个支路规定了参考方向的图反之，称为无向图。
5．路径——path
从图G的某一节点出发，沿着一些支路连续移动，从而达到一个指定的节点，这一系列支路构成图的一条路径。
6．连通图——connected graph
当图G 中的任意两个节点之间至少存在一条路径时，称为连通图。
7．回路——loop
如果一条路径的起点和终点重合所形成的闭合路径，称为回路。
8．网孔——mesh
一般是指内网孔。平面图中自然的“孔”，它所限定的区域不再有支路。
如下面电路的对应的图为左图所示。注意每一个二端元件为一条支路！！

例如：在下图中，支路数6，节点数4，网孔数3，回路数7

15.1.2 树、基本回路及基本割集
1．树的概念——tree
一个连通图G的树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点，但不含任何回路。树中的支路称为“树支”——tree branch，图G中不属于T 的其他支路称为“连支”——link，其集合称为“树余”。
一个连通图的树可能存在多种选择方法。
2．基本回路
只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。树一经选定，基本回路唯一地确定下来。

对于平面电路而言，其全部网孔是一组独立回路。
3．割集——cut set
一个连通图G的割集是指G的一个支路子集：
1） 将该支路子集中的全部支路移去（保留节点）后，余下的图彼此分离且各自连通；
2） 保留该支路子集中的任意一条支路时，图仍然连通；
u 基本割集
只含一条树支的割集称为单树支割集，它们的总和称为“基本割集”。树一经选定，基本割集唯一地确定下来。

15.1.3 关联矩阵与降阶关联矩阵A
给定一个定向图，各定向支路与各个节点之间的联接关系是十分清楚的，这种结构上的关系能否用代数的方法来表达呢？这对于企图用电子计算机来分析电路是个很重要的问题。运用矩阵可以解决这个问题。
一、关联矩阵Aa（又称增广关联矩阵）
1．定义
我们可以用定向图的各个节点组成矩阵的行，各定向支路组成矩阵的列，列表如下（其中…等表示编号为1,2,…的支路,等表示编号为1,2,…的节点）：以适当的数填入空档即可表明定向图中节点与支路的联接情况。这些数构成矩阵的元素。

即定义关联矩阵（augmented incidence matrix），其中，的行对应图的节点，列对应图的各个支路。
其中， 当节点i与支路bk无关联时，
当节点i与支路bk关联，且支路电流的参考方向离开节点时，
当节点i与支路bk关联，且支路电流的参考方向指向节点时，
在一般情况下，对一个具有条支路和个节点的定向图来说，其增广关联矩阵为一个行和列的矩阵：
例如：

式15-1 图15-1 定向图一例
二、Aa的性质
由于每一支路都恰好与两个节点相关联，关联矩阵Aa中每一列都恰好有两个非零的元素，其一为+1，另一为-1。
把一个矩阵中的两行相加，就是把同一列中的元素相加。以（15-1）式所示矩阵为例，若矩阵中的第1行和第2行分别记为和，则
（15-2）
如果把（15-1）式所示矩阵的各行相加，可得

由此可见，增广关联矩阵的各行线性相关，这就是说，该矩阵中的任一行是其余各行的线性组合。
三、降阶关联矩阵A
由于增广关联矩阵的各行线性相关，即矩阵中的任一行是其余各行的线性组合。——也就是说，总可以通过矩阵的代数变换，使得其中某一行全为零元素——因此，除去增广关联矩阵中的任一行，矩阵仍具有同样的信息，足以表征定向图中节点对支路的关系。我们把这种矩阵称为降阶（reduced）关联矩阵或径称为关联矩阵，记为。
在关联矩阵中有些列具有两个非零的元素（+1及-1），有些列只有一个非零元素。仍以图15-1所示定向图为例，若除去第2行，则
（15-3）
再如：
l 问题：根据关联矩阵是否能够得到唯一的图？？
四、矩阵A的作用与KCL定律及节点电压方程的矩阵表达式
1．关联矩阵A与KCL定律
电路的独立KCL方程组可以用关联矩阵表示为向量方程。以上图为例，如果把节点2选为参考节点，则由其余的4个节点可得独立的KCL方程组如下：
节点1
节点3
节点4 （15-4）
或写为
（15-5）
试把（15-5）式和（15-3）式加以比较，我们立即就可发现（15-5）式左端的系数矩阵与（15-3）式所示的矩阵完全相同。如设

并称为支路电流向量，则（15-5）式
（15-6）
虽然，这一方程是由图15-1所示的定向图得出的，但对任何定向图都可得出这一结果。
2．关联矩阵与支路电压、节点电压（——KVL）
仍然以上图为例，设各个支路电压分别为，，…，，而以节点2为参考点的各个节点电压分别为，，，

可以推广之，设各个支路电压分别为，，…，，用列相量表示

而以节点2为参考点的各个节点电压分别为，，…，，用列相量表示

则：
15.1.4 回路矩阵及割集矩阵
一、增广回路矩阵B
1．定义
表明图中支路与回路之间的关系的矩阵。定义为：
设给定的定向图有条支路，个回路。为每一回路规定一方向后，我们可以定义一个增广回路矩阵。它是一个矩阵，记为，
（15-7）
它的第个元素确定如下：
+1 如果支路在回路内，且它们的参考方向一致；
-1 如果支路在回路内，且它们的参考方向不一致；
0 如果支路不在回路之内。
例如，图15-2所示定向图，具有六条支路和三个回路，如图中所示：

图15-2 定向图一例
设三个回路的方向均为顺时针方向。这定向图的增广回路矩阵为
（15-8）
显然可见，这矩阵的各行线性相关。
2．用Ba表示的KVL方程矩阵表达式
如定义支路电压向量

则
（15-9）
将表示该定向图所有回路的KVL方程。
3．用Ba表示的KVL方程矩阵表达式
设各个支路电流分别为，，…，，用列相量表示

而各个回路电流分别为，，…，，用列相量表示

则：
二、基本回路矩阵B
1．定义
由§2-5可知：独立回路数为个，因此在增广回路矩阵的行中只有个是线性无关的。为了能直接获得独立的KVL方程组，我们将运用§2-5所述的基本回路的概念，并定义一个基本回路矩阵，它是一个矩阵：
（15-10）
它的第个元素与矩阵元素是一样的。
例如，对图15-3所示的定向图，选树如粗线所示，由连支确定基本回路，并选定其方向后，对应于该树的基本回路矩阵为
（15-11）
2．用B表示的KVL方程矩阵表达式
电路的独立KVL方程组可以用基本回路矩阵表示为向量方程。仍以图15-3的定向图为例，根据选定的基本回路，可得独立的KVL方程组如下：
回路：
回路：
回路： （15-12）
回路：

图15-3 选定树后，定向图的基本回路
或写为
（15-13）
由（15-11）式可知，上式可写为
（15-14）
其中
虽然，这一方程是由图15-3所示的定向图得出的，但对任何定向图都可得出这一结果。
3．用B表示的KCL方程矩阵表达式
设各个支路电流分别为，，…，，用列相量表示

而各个回路电流（即连支电流）分别为，，…，，用列相量表示

则：
u 关于基本回路矩阵的说明
1） 由于基本回路为单连支回路，所以其参考方向取为连支参考方向。
2） 确定基本回路矩阵需要先选择一棵树
3） 列写时，将矩阵的列按树支与连支分开排列的方式

三、基本割集矩阵Q
1． 定义
基本割集矩阵的行对应基本割集，列对应图的各个支路。
其中， 当支路bk与基本割集无关联时，
当支路bk与基本割集关联，且支路电流与基本割集的参考方向一致时，
当支路bk与基本割集关联，且支路电流与基本割集的参考方向相反时，
2． 关于基本割集矩阵的说明
1） 由于基本割集为单树支回路，所以其参考方向取为树支参考方向。
2） 确定基本割集矩阵需要先选择一棵树
3） 列写时，将矩阵的列按树支与连支分开排列的方式
例如

再如图15-11所示定向图，对所示树来说

图15-11 对选定树的三个基本割集

3．用Q表示的KCL方程的矩阵表达式
对于每一个基本割集都应用一次KCL，就可得到联系着个支路电流的个线性独立方程组。这组方程可表示为
（KCL） （15-46）
4．用Q表示的KVL方程的矩阵表达式
对于每一个基本割集都应用一次KCL，就可得到联系着个支路电流的个线性独立方程组。这组方程可表示为
（KVL） （15-46）
15.1.5 独立的KCL方程和KVL方程
一个含有n个节点、b条支路的电路，其独立的KCL（电流方程）方程数为()个，与这些独立的KCL方程对应的节点称为独立节点；其独立的KVL（电压方程）方程数为 ()个。上述结论的具体说明与严格证明略去，有兴趣的同学可以在推荐的参考教材及有关的书籍中找到答案。一组独立回路就可对应一组独立的KVL方程，因此，可以运用图论的一些基本概念来帮助我们简化电路问题的求解。
§15-2 支路方程的矩阵形式
从以上两节中我们得到两个基本
（KCL）
（KCL）
它们反映了电路的拓扑约束。我们还必须掌握支路的约束关系，才能得到完整的网络描述。本节推导支路约束关系的矩阵形式。

设电路中的每条支路有一个电阻，一个独立电压源和一个独立电流源，其一般形式如图15-4所示。如果支路中没有电源，则令电压源电压和电流源电流为零即可。由图15-4可得
（15-15）
其中
为第条支路电流，为第条支路电压，为第条支路电导，为第条支路的独立电压源的电压，为第条支路的独立电流源的电流。
把（3-15）式写成矩阵形式便得整个电路的支路约束。为此，定义支路电导矩阵如下
（15-16）
它是一个矩阵。定义独立电压源向量为
（15-17）
定义独立电流源向量为
（15-18）
于是，（15-15）式可改为
（15-19）
这方程总括了网络中全部支路的约束关系。
支路方程也可用矩阵表示为
（15-20）
其中
（15-21）
称为支路电阻矩阵。
根据两个约束关系，给定（或）中的各元素值，我们就可求出电路中的各支路电流及支路电压。
§15-3 节点分析法
由第二章可知：在任何电路中必有一组电压是线性无关的，也必有一组电流是线性无关的。也就是说：电路中存在着一组独立电压变量，所有支路电压都可以表示为这组电压的线性组合；电路中存在着一组独立电流变量，所有支路电流都可以表示为这组电流的线性组合。
在第二章中我们已指出：电路中的个节点电压是一组独立电压变量。若定义节点电压向量
（15-22）
支路电压向量为
(15-23)
则这两向量间的关系可表为
(15-24)
其中为关联矩阵的转置。我们来证明这一关系。
设图3-5中所示为定向图中任一支路，联在节点与节点之间。任设支路电压的极性如图中所示，则显然

这就是说，每一支路电压可表示为节点电压的线性组合。其一般形式应为
（15-25）

图15-5 借助于节点电压计算支路电压
其中为+1，-1或0。这就是说，支路电压向量与节点电压向量可表为
（15-26）
其中为矩阵
（15-27）
它的第个元素确定如下：
+1 如果支路与节点相关联，且离开该节点；
-1 如果支路与节点相关联，且进入该节点；
0 如果支路与节点无关联。
上述的定义与关联矩阵中元素的定义完全相同，故得
对所有的和 （15-28）
这表明
（15-29）
于是（15-24）式得到了证明。
借助于个节点电压来表示个支路电压，实际上是表达KVL加于支路电压约束的一种方法。（15-24）式（KVL）连同（15-6）式（KCL）构成节点分析的两个基本方程。把它们和反映网络支路约束关系的（15-19）式相结合，就可得到具有个未知量的个方程。为此，要进行消去支路变量的工作，其过程如下所示：
KCL （15-6）
KVL （15-24）
VAR （15-19）
以矩阵左乘方程（15-19）式，用代替，并应用（15-6）式，可得
（15-30）
或 （15-31）
在上式中，是一个方阵，而和都是维列向量。令
（15-32a）
(15-32b)
则（15-31）式成为
（15-33）
方程组（15-33）式通常称为节点方程；称为节点电导矩阵，称为节点电流源向量。
在这个节点方程中，和是可以根据给定的电路结构、元件的参数和电源的电压以及电流算得的。由定向图能确定关联矩阵，由各支路的电导根据（15-16）式可确定支路电导矩阵，因而节点电导矩阵就可由（15-32a）式确定。同样，由于电源向量和是已知的，所以节点电流源向量可按（15-32b）式确定。因此，向量方程（15-33）式把未知的维列向量同已知的矩阵和维列向量相联系。由此可解得。一旦求得，由（15-24）式可确定个支路电压，再由支路（15-19）可确定个支路电流。
节点方程（15-33）式是由个以节点电压作未知量的线性代数方程组。（15-33）式是第二章（2-9）式的矩阵表示形式。我们过去是用视察法直接由电路列出这组方程的，并用任何一中方法求得解答。本节所述内容，可为节点分析法提供了一个严格的系统步骤，在任何情况下都适用。这种系统的方法在为运用计算机而编制程序时是必需的。
例15-1 电路如图15-6（a）所示，试列出编写节点方程和解出各支路变量的详细步骤。
解：（1）作该电路的图如图（b）所示。任选一参考节点，如节点5，其余节点分别标以1、2、3、4。节点电压为。
（2）对支路1、2、3、4、5、6、7、8加以编号，并指定每一支路的参考方向。以变量表示第支路的电导。
(3)建立关联矩阵

（a） (b)
图15-6 例15-1
（4）建立支路电导矩阵，由于电路具有8条支路，该矩阵为阶，且为对角线矩阵。

（5）根据计算节点电导矩阵。

故得

（6）确定独立电压源向量和独立电流源向量

注意，电压、电流的符号均根据图3-4，一般电阻支路所规定的方向与图3-6中支路的实际选定方向作比较而确定。
（7）根据确定节点电流源向量

计算得
；
故得

（8）得节点方程

（9）我们可以通过逆矩阵来求解节点电压

解得

（10）求得各节点电压后，支路电压可由求得。

解得

（11）由求各支路电流。得

上例的建立方程和求解的工作可以由计算机完成。为此，我们应把计算程序以及网络的拓扑结构、元件的参数值输入计算机。计算结果由计算机的输出设备（例如行式打印机）获得。
一种输入数据的方式是：先输入节点数和支路数，以图3-6电路为例，输入数据的第一行为 5，8
“通知”计算机电路有5个节点，8条支路。其第二行为 1，1，2，1，0，0
其中第一位为支路编号，第二位为该支路的起始节点编号，第三位为该支路的终止节点编号，第四位为电阻值，第五位为电压源值，第六位为电流源值。
因此，图3-6电路的全部输入数据为
5，8
1，1，2，1，0，0
2，2，4，1，0，-3 （与支路方向不一致）
3，3，4，7，0，0
4，3，1，5，-10，0 （与支路方向不一致）
5，5，1，2，0，0
6，2，5，5，0，0
7，5，4，3，0，0
8，3，5，2，0，0
根据这些数据，计算机即可形成及等矩阵。
计算机根据程序由形成，即可算出及等矩阵。在算出后，即可算出，进而算出，并把结果打印出来。
§15-4 回路分析法
在前面我们已指出：选定树后，电路中的基本回路电流是一组独立电流变量，其个数为，所有支路电流都可以表示为这组电流的线性组合。设基本回路电流向量为
（15 -34）
这一向量与支路电流向量的关系可表示为
（15-35）
其中为基本回路矩阵的转置。我们来证明这一关系。
每一支路电流可表示为基本回路电流的线性组合。第条支路的电流可表示为
（15-36）
其中可为+1，-1或0。例如在图15-8所示定向图中，

写为一般形式，即为
（15-37）
其中为矩阵：
（15-38）
它的第个元素确定如下：
+1 如果支路在回路内，且它们的参考方向一致；
-1 如果支路在回路内，且它们的参考方向不一致；
0 如果支路不在回路内。

图15-8 表明基本回路电流与支路电流关系用图
上述的定义与基本回路矩阵中的元素的定义完全相同，故得
对所有的和 （15-39）
这表明
（15-40）
于是（15-35）式得到了证明。
借助于个回路电流来表示个支路电流，实际上是表达KCL加于支路电流约束的一种方法。（15-35）式（KCL）连同（3-34）式（KVL）构成回路分析的两个基本方程。把它们和反映网络支路约束条件的（15-20）式相结合，就可得到具有个未知量的个方程。为此，要进行消去支路变量的工作，其过程如下所示：
（KVL） （15-14）
（KCL） （15-35）
（VAR） （15-20）
以矩阵左乘方程（15-20）式，用代替，并考虑到（15-14）式，可得
（15-41）
在上式中，是一个方阵，亦即方阵，而和都是维向量。令
（15-42）
（3-43）
则（15-41）式成为
（15-44）
方程组（15-44）式通常称为回路方程；称为回路电阻矩阵，称为回路电压源向量。
以上所述内容，可为回路分析法提供一个严格的系统步骤，适宜于编制计算机程序。
例15-2 用回路分析法求解图15-6所示电路的支路电流。

图15-6 例15-2
解 作图15-6电路的定向图如图15-9所示，选树如图中粗线所示，基本回路为和

得回路方程

求支路电流：

§15-5 割集分析法
一、方法
以树支电流为变量，对用树支确定的基本割集列写KCL方程，从而分析计算电路的方法。
在选择树时，应尽量将电压源或受控压源所在的支路选为树支，这样可以不再对由纯压源树支所确定的基本割集列写方程，从而进一步减少方程的数量。
解题方法与解题步骤基本与节点法相同，可以应用于非平面电路，而且在某些电路结构下可以简化计算。
二、割集分析法的矩阵形式

其中：
u Gt——割集电导矩阵。其对角线上的元称为“自导”，其值为某一基本割集中联接的支路上的电导之和，符号为正；其他各元称为“互导”， 其值为某两个基本割集共有支路上的电导之和，符号由两个割集的参考方向决定，如果一致，为正；相反则为负。
注意：割集之间参考方向的是否一致要依据其公共支路来判定。
u Ut——树支电压向量。其元为各个树支的电压，为列向量。
u Jt——割集电流源向量。其元为与各个基本割集方向相反的电流源电流的代数和，为列向量。
三、例题
1．已知：如图所示

求：
解：选树如图所示，则只需要对2W、4W支路（树支）所决定的基本割集列写方程即可。

解得：
2．已知：如图所示

求：
解：选树如图所示，则只需要对2W、4W支路（树支）所决定的基本割集列写方程即可。

解得：
1． 已知：如图所示

求：Ux
解：选树如图。由于树支中有两个均为压源支路，所以只需对非压源支路（4W电阻支路）列写KCL方程即可。

解得：

我们知道：每一个支路电压可以表示为树支电压的线性组合。我们定义树支电压向量为
（15-47）
该向量与支路电压向量的关系为
（15-48）
其中为基本割集矩阵的转置。证明从略。
（15-48）式是KVL的一种表示形式。它连同（15-46）式（KCL）以及支路方程（15-19）式，便可得到以个树支电压为未知量的方程组。其推导过程如下：
由（15-19）式

以矩阵左乘，并以代替，并考虑到（15-46）式可得
（15-49）
或 （15-50）
称为割集电导矩阵，称为割集电流向量。（15-50）式称为割集方程。
例15-3 用割集分析法求解图15-6所示电路的支路电压。

图15-12 例15-3
解 选树如图15-12粗线所示。标出基本割集的方向，它们的方向分别与相对应的树支5、6、4、7的方向相同。

解
得

由

可得全部支路电压，除已如以上所示外，

以上三节我们分别介绍三种矩阵分析方法—节点法、回路法和割集法。从用计算机求解来看，节点法用得最广泛。这是因为回路法和割集法都需选择树以形成基本回路及基本割集矩阵，而用计算机选树是比较麻烦的事。从基本理论的角度上来看，这些方无非还是根据两类约束以及独立变量的概念来处理问题，只是引用了矩阵方法，使能得出普遍适用的系统步骤，但也可推广使用于正弦稳态分析。 我们在这里只是对这种系统方法提供一个概要，使能初步了解用计算机解题的基本情况。
对于较简单的电路，我们可以用第二章所述的方法列出电路方程。可以在计算机上运用求解线性代数方程组的计算程序求出解答（输入计算机的数据为方程个数以及方程的系数和方程右端的常数）。