常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2023/5/24,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2023/5/24,*,拉普拉斯变换法,/LaplaceTransform/,2023/5/24,1,拉普拉斯变换,含义：,简称拉氏变换,从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换,用途与优点,对一个,实变量,函数,作拉氏变换，并在,复数,域中进行运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得,实数域,中的相应结果，往往比直接在实数域计算容易得多。,应用：,求解线性微分方程,在,经典控制理论,中，对控制系统的分析和综合,2023/5/24,2,拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路：,对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解,再反变换获取原方程的解,问题：,1.,什么是拉氏变换,2.,拉氏变换的基本性质,3.,什么是拉氏逆变换,4.,如何用拉氏变换求解微分方程,2023/5/24,3,若,1,拉普拉斯变换定义,(,简称拉氏变换,),对于在,上有定义的函数,对于已给的,S,（一般为复数）存在，则称,为函数,的拉普拉斯变换，记为,f,(,t,),称为,Laplace Transform,的原函数，,F,(,s,),称为,f,(,t,),的,象函数,.,2023/5/24,4,拉普拉斯变换法,存在性,是分段连续的,并且 常数,假若函数,在,的每一个有限区间上,使对于所有的,都有,成立,则当,时,的,Laplace Transform,是存在的。,2023/5/24,5,例,1,当,即,拉普拉斯变换实例,2023/5/24,6,例,2,(,是给定的实数或复数,),2023/5/24,7,常用函数拉氏变换表,利用拉氏变换进行计算时，可直接查变换表得结果,2023/5/24,8,2,拉普拉斯变换的基本性质,1,线性性质,如果,是原函数,和,是任意两个常数,(,可以是复数,),，则有,2023/5/24,9,2,原函数的,微分性质,如果,都是原函数，则有,或,2023/5/24,10,3,象函数的微分性质,2023/5/24,11,3,拉普拉斯逆变换,已知象函数，求原函数,也具有线性性质,2023/5/24,12,由线性性质可得,如果,的拉普拉斯变换,可分解为,并假定 的拉普拉斯变换容易求得，即,则,2023/5/24,13,例,3,求 的,Laplace,反变换,解,拉普拉斯逆变换实例,2023/5/24,14,例,4,求,的,Laplace,反变换,解,2023/5/24,15,4,拉普拉斯变换法,(,求非齐次线性方程的特解,),步骤：,2023/5/24,16,4,拉普拉斯变换法,(,求非齐次线性方程的特解,),为常数,令,2023/5/24,17,给,(,4.32,),两端施行,Laplace Transform,2023/5/24,18,解,令,例,5,满足初始条件,求,的特解,用拉氏变换求微分方程实例,2023/5/24,19,令,例,6,求,满足初始条件,的特解,解,2023/5/24,20,2023/5/24,21,例,7,求,满足初始条件,的特解,令,解,2023/5/24,22,作业,求下列初值问题的解：,2023/5/24,23,