高三数学奥赛提升训练题(2).doc

高三数学奥赛提升训练题（2）
1.已知数列的前n项和为Sn，a1=1，Sn=4an+Sn－1－an－1（）.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn；
（3）若cn=，且数列{cn}中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围.
[解析]（1），
∴{an}是以为公比的等比数列 …………4分
（2）由（1）知，∴
∴ ∴
∴

∴ …………8分
（3）
由题意知 恒成立，
即 对任意自然数n恒成立。
∵t>0, ∴tn>0。
①若t>1，则lgt>0，且
，∴t>1 ……10分
②若t=1，lgt=0不合题意 …………11分
③若0<t<1时，lgt<0， 恒成立，
∴ …………13分
综上，0<t<或t>1. …………14分
2.已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；
（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。
解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，
∴；
（2），
=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），
（3），而，即，
，同理，，又

3.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（Ⅱ）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=的表达式；
（Ⅲ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）

解：（Ⅰ）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
，
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元，
（Ⅱ）当，

当
所以
（Ⅲ）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则

当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元.
4.已知函数.
（Ⅰ）当；
（Ⅱ）是否存在实数使得函数y=的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）解：∵
故上是减函数，而在上是增函数，
由
而
（Ⅱ）不存在这样的实数a，b.
假设存这样的实数a，b使得函数的定义域、值域是都是 [a，b]
①当0<a<b<1时，函数上是减函数，则，
即， 解得a=b与0<a<b<1矛盾，故此时不存在满足条件的实数a，b.
②当1<a<b时，函数上是增函数，则，
即， 此时实数a，b为方程的两根，但方程无实根，因此不存在满足条件的实数a，b.
③当0<a<1<b，此时显然有（这是因为a>0），
故此时不存在满足条件的实数a，b.
综合①②③可得满足条件的实数是不存在的.