3.1等比数列.docx

等比数列
一、 学情分析：
从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。
现阶段的高二学生，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，此阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。
多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。
二、教学目标：
从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标：
1理解等比数列的概念 ，掌握等比数列的通项公式及公式的推导
2在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力
3通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识。
三、教学重点与难点：
重点：等比数列的定义及通项公式。
难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题。
四、教法与学法指导：
由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握数列的相关知识。因此，在教法和学法上可做如下考虑：
1、教法：采用问题启发与比较探究式相结合的教学方法
教法构思如下：提出问题引发认知冲突观察分析归纳概括得出结论总结提高。在教师的精心组织下，对学生各种能力进行培养，并以促进学生发展，又以学生的发展带动其学习。同时，它也能促进学生学会如何学习，因而特别有利于培养学生的探索能力。
2、学法指导：
学生学习的目的在于学会学习、思考，达到创新的目的，掌握科学有效的学习方法，可增强学生的学习信心，培养其学习兴趣，提高学习效率，从而激发强烈的学习积极性。我考虑从以下几方面来进行学法指导：
（1）把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导体现了从特殊到一般的方法。其通项公式是以n为字变量的函数，可利用函数思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。
（2）注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析、解答、总结，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。训练逻辑思维的严密性和深刻性的目的。
五、教学过程：
（一）、设计问题,创设情境
复习等差数列的相关内容:定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表。通项公式:an=a1+(n-1)d,(n∈N*).
问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三个数列
1,2,4,8,…; 1,1,…; -1,1,-1,1,…
思考:这三个数列是等差数列吗?各个数列的各项之间有什么关系?
（二）、信息交流,揭示规律
与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗?是什么?
1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0). 
2.数学表达式:an=a1qn-1(n∈N*) 
从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么?也就是这个公式在什么条件下成立?
结论:等比数列各项均不为零,公比q≠0.
3.通项公式:
（1）公式推导：等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
a2=a1q,
a3=a2q=a1q2,
a4=a3q=a2q2=a1q3,
以此类推,可以得到an用a1和q表示的数学表达式吗?
归纳猜测得到:an=a1qn-1.（说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶段我们只承认它是正确的就可以了）
（2）公式的特征及结构分析：
①公式中有四个基本量：，可“知三求一”，体现方程思想。
②的下标与的上标之和，恰是的下标，即的指数比项数少1。
（三）、运用规律,解决问题
例1：判断下列数列是否为等比数列:
(1)1,1,1,1,1;
(2)0,1,2,4,8;
(3)
解:(1)数列的首项为1,公比为1,所以是等比数列;
(2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列;
(3)数列的首项为1,公比为,所以是等比数列.
例2：某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?
解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是an,那么:
经过1年,剩留量为a1=1×0.84=0.84,
经过2年,剩留量为a2=0.84a1=0.84×0.84=0.842,
经过3年,剩留量为a3=0.84a2=0.84×0.842=0.843,
……
经过n年,剩留量为an=0.84an-1.
因此an构成一个等比数列{an},其中a1=0.84,q=0.84.
设an=0.5,则0.84n=0.5两边取对数,得lg0.84n=lg0.5,
于是nlg0.84=lg0.5,n=
用计算器算得n≈4.
答:这种物质的半衰期大约为4年.
例3：(1)一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项;
(2)一个等比数列的第9项是,公比是-,求它的第1项。
详解过程见课件
（四）、变式训练,深化提高（此部分为备选题目，选择其中的1或2完成）
1:已知等比数列{an}中an+1>an,且a3+a7=3,a2·a8=2,则等于 。
2:已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2,a2=1,则a1等于 。
3:在等比数列{an}中,a5=-16,a8=8,则a11等于 。
（五）、反思小结,观点提炼
1、等比数列的定义，即
2、等比数列的通项公式及推导过程。
（六）、课后作业
1、已知数列是等比数列，，求的值。
2、已知数列为等比数列，，求的值。
3、已知数列为等比数列，且，求
六、教学评价与反思：
现数学教学观念要求学生从学会到会学转变，因此，我根据教材内容，高二学生的心理特点，遵循因材施教原则和启发性教学思想。本节课的教学策略方法，我采用规则学习和问题解决策略及案例公式，应用案例为浅层次要求，使学生有概括的印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点，集中推导讲解，便于突破，应用为综合要求，多角度多情景中消化，巩固所学，反馈验证，本节课教学目标的落实在教学过程。让学生能主动去观察，猜想，发现，验证，积极动手，动口动脑，使学生在学知识的同时形成方法，本节课的教学设计主要有以下特点：
1、整个设计依据来建构主义理论，符合学生的认知规律；
2、坚持以学生为主题，体现学生是课堂中学习的主体；
3、用探究的活动形式突破难点；
4、教师以引路人的身份，引导学生去探究问题，发生发展的过程，把主体地位交还学生；
5、学生积极主动地参与探索问题的情景中。