ANSYS_轴对称问题.doc

关于 ANSYS 轴对称应力问题

1. 什么是轴对称应力问题
弹性力学中将廻转体对称于转轴而变形的问题定义为轴对称问题。根据 铁摩辛柯 《弹性理论》 一书，公式 (169)(P.322) 与 (178) (P.360)可以看到，在轴对称情况，只有径向和轴向位移，不能有周向位移。
轴对称分析要求，除了结构是轴对称的外，载荷和约束也必须是轴对称的。由上面的说明可见，在轴对称分析中不能有周向变形，因而也不能有周向的载荷。即不能有扭矩之类的载荷和扭转变形。
对于轴对称结构，如果承受轴对称约束，而载荷是非轴对称的，但该载荷可以分解为旋转角θ的三角函数，可以使用 “轴对称谐波单元 – Plane25，Shell61，Plane75，Plane78，Plane83，Shell208, Shell209 等” 进行求解，不过本文不涉及。

2. ANSYS 对轴对称模型的基本要求
在 ANSYS 中分析轴对称问题时，要求：
(1) 分析模型 (轴对称) 必须位于整体坐标系的 X-Y 平面中，Y 轴为旋转轴，模型中的所有实体 (Keypoint,Line,Area,Volume,Node, Element等) 都必须位于 X >= 0 的范围中。
(2) 所有的载荷、约束都必须是轴对称的。为此：
a. 只能施加 XY 平面内的载荷和约束，不能施加垂直于 XY 平面的载荷 (如扭矩，会产生法向的位移，对于轴对称单元不存在该位移，故不能施加)；
b. 根据轴对称理论，在旋转轴上 (X=0) 应该有 Ux ＝0，因此在旋转轴上不能施加非零的径向 (X 方向) 位移约束，也不能施加径向的载荷 (否则会破坏结构 Ux ＝0 的条件)。

3. ANSYS 中如何施加轴对称载荷
对于约束、面载荷、体载荷、Y 方向的加速度、X 方向的角速度等，定义方式与非轴对称结构相同；对集中力载荷则有所不同。对于集中力，要求输入载荷作用点处，360 度圆周上的合力。例如：在实际结构直径 d = 10 mm 的圆周上作用 p = 1500 N/mm 的 Y 向载荷，则应输入为 (见图 1)：
F,n,Y,-47214 ! n – 加载点的节点编号
其中： 47214 ＝ π * d * p = 3.1416 * 10 * 1500

图 1 轴对称结构施加集中力

同样，轴对称分析结果的表述方式也和载荷相同，即节点反力是该节点所在圆周上的全部反力的合力。
4. 几个轴对称算例
4.1 示例 1：受内压的厚壁圆筒 - 轴对称问题
问题描述： 一个厚壁圆筒，内径 10 mm，外径 20 mm，材料弹性模量为 207000 MPa，泊松比为 0.3，承受内压 1 MPa。
求圆筒中的应力分布：
为了比较，分别按照二维平面问题、三维问题和轴对称问题进行分析。考虑到三维实体模型和二维平面模型的对称性，对这两种情况都只对半个模型划分网格，然后在对称面上施加对称边界条件。
三种分析使用的模型如图 2。

图 2 三种分析模型的几何实体示意图

其中：
(1) 三维实体模型 – 一个空心圆柱体，使用 Solid95 单元划分网格；
(2) 平面应变模型 – 一个圆环面，空心圆柱体的横截面，使用 Plane82 单元(平面应变类型) 划分网格；
(3) 轴对称模型 – 一个矩形，圆柱体沿母线方向的截面，使用 Plane82 单元(轴对称类型) 划分网格。
三种模型的网格如图 3 所示：

图 3 三种分析模型的网格示意图

然后施加载荷和约束：
(1) 三维实体模型
载荷为内表面上压力 1 Mpa；约束条件为两端面 Uz = 0 和两个轴向截面的对称条件 (Uy = 0)；为了防止 x 方向的刚体位移，在 YOZ 平面上任选一个节点约束 Ux = 0。
(2) 二维平面应变模型
载荷为内表面 (半圆线段)上压力 1 Mpa；约束条件为半圆环的两根半径截线的对称条件 (Uy = 0)；为了防止 x 方向的刚体位移，在 1/4 圆周的半径上任选一个节点约束 Ux = 0。
(3) 轴对称模型
载荷为内表面 (直线段)上压力 1 Mpa；约束条件为矩形两个短边 (Uy = 0)。注意对轴对称情况，可以不施加对 Ux 的约束。
计算结果如下：
(1) 三维实体模型 (在圆柱坐标中显示结果)

图 4 三维实体的径向位移分布

图 5 三维实体的 Mises 应力分布
(2) 二维平面应变模型 (在圆柱坐标中显示结果)

图 6 二维平面应变实体的径向位移分布

图 7 二维平面应变实体的 Mises 应力分布
(3) 轴对称模型

图 8 轴对称模型的径向位移分布

图 9 轴对称模型的 Mises 应力分布

比较可见：以三维实体为准，另外两个模型的最大误差：位移 – 小于 1％；Mises 应力小于5％。即结果基本一致。
4.2 示例 2：厚壁圆筒的稳态温度场- 轴对称问题
问题描述： 一个厚壁圆筒，内径 10 mm，外径 20 mm。
材料弹性模量为 207000 MPa，泊松比为 0.3，导热率 80 W/(m*K) 或 80 t·mm/s3/K；密度 7.8E-9 t/mm3，比热 504E6 mm2/(s2·K)。
内壁温度 0，外壁温度 100。
求圆筒中的温度分布：
为了比较，分别按照二维平面问题、三维问题和轴对称问题进行分析。考虑到三维实体模型和二维平面模型的对称性，对这两种情况都只对半个模型划分网格，然后在对称面上施加对称边界条件。
三种分析使用的模型如前面图 2。
其中：
(1) 三维实体模型 – 一个空心圆柱体，使用 Solid90 单元划分网格；
(2) 平面应变模型 – 一个圆环面，空心圆柱体的横截面，使用 Plane77 单元(平面应变类型) 划分网格；
(3) 轴对称模型 – 一个矩形，圆柱体沿母线方向的截面，使用 Plane77 单元(轴对称类型) 划分网格。
三种模型的网格和前面图 3 相同：
然后施加载荷和约束：
(1) 三维实体模型
载荷为内表面上温度 100，外表面上温度 200；
(2) 二维平面应变模型
载荷为内表面上温度 100，外表面 (外部半圆线段)上温度 200；
(3) 轴对称模型
载荷为内表面 (内部直线段)上温度 100，外表面 (外部直线段)上温度 200。

计算结果如下：
(1) 三维实体模型

图 10 三维实体的温度分布

图 11 三维实体的温度梯度分布
(2) 二维平面模型

图 12 二维平面实体的温度分布

图 13 二维平面实体的温度梯度分布
(3) 轴对称模型

图 14 轴对称模型的温度分布

图 15 轴对称模型的温度梯度分布

比较可见：三个模型的最大误差均小于 1％。
4.3 示例 3 – 受内压的厚壁球 – 轴对称问题
问题描述： 一个厚壁圆球，内径 10 mm，外径 20 mm，材料弹性模量为 207000 MPa，泊松比为 0.3，承受内压 1 MPa。
求圆球中的应力分布：
为了比较，分别按照三维问题和轴对称问题进行分析。考虑到三维实体模型的对称性，只对 1/8 球体划分网格，然后在对称面上施加对称边界条件。
两种分析使用的模型如图 16。

图 16 两种分析模型的几何实体示意图

其中：
(1) 三维实体模型 – 1/8 空心圆球体，使用 Solid95 单元划分网格；
(2) 轴对称模型 – 1/4 圆环，圆柱体沿母线方向的截面，使用 Plane82 单元(轴对称类型) 划分网格。
两种模型的网格如图 17 所示：

图 17 两种分析模型的网格示意图

然后施加载荷和约束：
(1) 三维实体模型
载荷为内表面上压力 1 Mpa；约束条件为三个对称截面的对称条件 (Un = 0； n – 面的法向)。
(2) 轴对称模型
载荷为内表面 (圆弧段)上压力 1 Mpa；约束条件为平行 X 轴的对称面 (直线段)上的对称条件 (Uy = 0； y – 面的法向)。
轴线的对称边上可以施加 Ux = 0 的条件，也可以不施加，因为它是轴对称情况的默认条件。但是，如果在轴线上施加了非零的位移约束，虽然也能算出结果，但明显是错误的，因为这种条件意味着硬性要求模型从轴线处裂开。
计算结果如下：
(1) 三维实体模型

图 18 三维实体的径向位移分布

图 19 三维实体的 Mises 应力分布
(2) 轴对称模型

图 20 轴对称模型的径向位移分布

图 21 轴对称模型的 Mises 应力分布
比较可见：两个模型的最大误差：位移 – 小于 0.3％；Mises 应力小于3％。即结果基本一致。
4.4 轴对称壳体断面受集中力的情况
即前面图 1 提到的一个例子，如下图：

图 22 承受集中力的轴对称壳体

问题描述： 一个薄壁圆筒，中直径 10 mm，壁厚 1.0 mm，材料弹性模量为 207000 MPa，泊松比为 0.3，承受端面压力 1500 Mpa，换算为线分布载荷 1500 N/mm。
求圆筒中的变形和应力分布：
为了比较，分别按照三维问题和轴对称问题进行分析。考虑到三维实体模型的对称性，只对 1/2 圆筒划分网格，然后在对称面上施加对称边界条件。
两种情况分别采用 2D 壳体单元 (shell63) 和轴对称壳体单元(shell51)，所使用的几何模型如图 23。

图 23 两种分析模型的几何实体示意图

其中：
(1) 三维实体模型 – 1/2 圆筒，使用 Shell63 单元划分网格；
(2) 轴对称模型 - 直线段，使用 Shell208 单元划分网格。
两种模型的网格如图 24 所示：

图 17 两种分析模型的网格示意图
然后施加载荷和约束：
(1) 三维壳体模型
载荷为上端面上线分布压力 1500 N/mm；约束条件为：下端面处Uy = 0；两个对称截面 (直线段) 的对称条件 (Ux = 0； x – 该对称面的法向)，以及下端面 (半个圆周) 中间节点的 Uz = 0。
(2) 轴对称模型
载荷为上端面 (点) 承受集中力 Fy = -47124 N；约束条件为下端面 (点) Uy = 0。
计算结果如下：
(1) 三维壳体模型

图 18 三维壳体的合成位移分布

图 19 三维实体的 Mises 应力分布
(圆筒中应力为常数值 1500 MPa)
(2) 轴对称模型

图 20 轴对称模型的合成位移分布

图 21 轴对称模型的 Mises 应力分布

比较可见：两个模型的最大误差：无论位移和 Mises 应力均小于 0.5％。结果一致性很好。
注意集中力的施加方式！