解析函数零点的孤立性及其唯一性定理.doc

§4（1） 解析函数零点的孤立性及其唯一性定理
一、教学目标或要求：
掌握解析函数的零点的级别 唯一性定理
二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
基本内容：解析函数的零点的孤立性 零点的级 唯一性定理
重点： 唯一性定理
难点: 唯一性定理
三、 教学手段与方法：
讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习：
8－11
1．解析函数零点的孤立性
定义4.7 设函数在点解析，若，则称点为的零点，若的零点满足，但则称点为函数的级（阶）零点。若 ，则称 为 的简单零点。
定理 4.17　点是不恒为零的解析函数的级零点的充分必要条件是其中 在点的邻域内解析，且。
证 “”由已知 解析且以 为 级零点知

显然,并且作为幂级数其收敛半径与 相同，故也在 内解析。
设，在 解析且 ，则由泰勒定理在 内有

故

于是 在 内解析。由泰勒展式的唯一性知
　　　　　　　　 ，
但 即为的 级零点。
例 求 的全部零点，并指出它们的级。
解 在 平面上解析，由 得

故 是 的二级零点。
定理4.18 若在内的解析函数不恒为零,为其零　　　　　　点，则必有的一个邻域，使 在其中无异于的零点，即不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。
注 在实变函数中，可微函数的零点不一定是孤立的。如

在 可微且以 的一个零点，但也是零点，并以为聚点，故 不是孤立的。
证 设为 的级零点，于是 。其中在内解析，且，从而在点连续，于是由连续函数的性质根据知，存在一个邻域 使 即得。
推论4.19 设 在邻域 内解析且存在使 ，则 在 内恒为零。
证 由在内解析知在 点连续，又 ，令则即 为的非孤立零点，因此 在 内恒为零。
注 为使用方便可用更强的条件“在 内某一子区域或一小段弧上等于0”来替代“在一收敛点列上等于0”。
2.唯一性定理
定理4.20 设(1)函数 和 在区域 内解析;(2)内有一个收敛于的点列,其上和等值，则 和在内恒等。
证 令，只须证在内恒等于零。用圆链法，在 内作折线连接，，令,在上依次取,使彼此间距离小于，考察圆链，

由于 ，又 ，根据零点孤立性定理的推论，在 内。同样的,在内,由上述推论也有,继续下去, 直到，同理可知上,于是 ,又由的任意性知在内 。
推论4.21 设在区域内解析的函数 和在内的某一　　　　　　子区域或一小段弧上相等,则它们必在区域内恒等。

解析函数的唯一性定理可以用来在复平面证明我们过去熟知的一些等式。
例 设均在区域 内解析，且试证或
证 若，则命题得证，若 ，则使 由连续性，存在 的某个邻域使，故在 内，由唯一性定理 。
推论4.22 一切在实轴上成立的恒等式在z平面上也成立，只要这个恒等式的两边在z平面上都是解析的。
例 试问点为函数的几级零点？
解 因为在点解析，且，所以点为的零点。 由在点解析可知，在内可写成幂级数，而在内有
从而有

于是有

其中在内解析，且，所以得知点为的15级零点。
例 在 内把 展开成 的幂级数（取主值支）。
解 令

则 ⑴ 在 内解析;　⑵ 在 上

由数学分析的结论知 上 ，故有唯一性定理上
　　 即 内 。