2014-2015学年第二学期初二数学期中复习《分式》单元.doc

分式第一课时：分式运算
知识考点：
分式运算是初中代数计算的综合运用，它与整式运算相比，步骤增多，符号变化复杂，方法比较灵活。了解分式的概念，熟练掌握分式的基本性质，并能灵活运用它进行分式的约分、通分及计算是解题的关键。
经典例题：
【例1】（1）当为何值时，分式有意义？（2）当为何值时，分式的值为零？
分析：①判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式；②在分式中，若B＝0，则分式无意义；若B≠0，则分式有意义；③分式的值为零的条件是A＝0且B≠0，两者缺一不可。
答案：（1）≠2且≠－1；（2）＝1
【例2】计算：（1）；（2）；（3）
分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或整式。
答案：（1）；（2）；（3）
【例3】计算：（1）；（2）。
分析：对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。（1）题可以将看作一个整体，然后用分配律进行计算；（2）题可采用逐步通分的方法，即先算，用其结果再与相加，依次类推。 答案：（1）；（2）
探索与创新：【问题】先阅读下列文字，再解答下列问题：初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较与的大小，可先求出与的差，再看这个差是正数、负数还是零。”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了。试问：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购粮用去100元。
（1）假设、分别表示两次购粮的单价（单位：元／千克）。试用含、的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款 元；乙两次共购买 千克的粮食；若甲两次购粮的平均单价为每千克元，乙两次购粮的平均单价为每千克元，则＝ ；＝ 。
（2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲乙两人的购粮方式哪一个更合算些？并说明理由。
解：（1）第一次购买粮食付款元，第二次购买粮食付款元，两次共付款元。乙第一次购买粮食千克，第二次购买粮食千克，故两次共购买粮食千克。∵平均单价＝∴＝＝；＝＝
（2）要判断谁更合算，就是判断、的大小，小的更合算些。
∵－＝－＝且≠，∴＞0而＞0
∴－＞0，故＞。∴乙的购粮方式更合算。
当堂训练：
一、填空题：
1、当 时，分式有意义；当 时，分式的值为零；
当 时，分式的值为负数；当 时，分式的值为－1。
2、计算：①＝ ；②＝ ；
③＝ ；④＝ 。
3、已知。则分式的值为 。
4、若＜0，则＝ 。5、若分式的值是整数，则整数的值是 。
6、请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求值： ＝ 。
二、选择题：
1、在代数式、、、、、中，分式的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、已知的值为零，则的值是（ ） A、－1或 B、1或 C、－1 D、1
3、甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（ ）A、 B、 C、 D、随所取盐水重量而定
三、计算题：
1、； 2、；

3、； 4、。

四、阅读下面题目的计算过程：
＝ ①
＝ ②
＝ ③
＝ ④
（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。
（2）错误原因是 。（3）本题的正确结论是 。
五、问题探索：
（1）已知一个正分数（＞＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论。（2）若正分数（＞＞0）中分子和分母同时增加2，3…（整数＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由。
分式第二课时：分式化简求值
知识考点：
分式的化简求值方法灵活多样，它是分式中的重点内容，也是中考的热点。熟练掌握分式的计算，灵活运用整体代换、因式分解等方法对分式进行适当的变形是解决此类题目的关键。
经典例题：
【例1】（1）已知，求的值；
（2）当、时，求 的值。
分析：分式的化简求值，应先分别把条件及所求式子化简，再把化简后的条件代入化简后的式子求值。
略解：（1）原式＝
∵ ∴ ∴ ∴ ∴原式＝
（2）∵，∴原式＝
【例2】（1）已知（≠0，≠0），求的值；
（2）已知，求的值。
分析：分式的化简求值，适当运用整体代换及因式分解可使问题简化。
略解：（1）原式＝ ∵，∴
∴或。当时，原式＝－3；当时，原式＝2。
（2）∵，≠0， ∴ ∴＝＝＝＝7
探索与创新：
【问题一】已知、、为实数，且满足，求的值。
解：由题设有，可解得＝2，，＝－2
∴＝＝＝4
【问题二】已知，求的值。
解：设
∴，即
①＋②＋③整理得：， ∴＝1或
当＝1时，原式＝＝8；当时，原式＝－1 ∴＝8或－1
当堂训练：
一、填空题：
1、已知，则＝ 。2、若，，则＝ 。
3、若，则＝ 。
4、若恒成立，则A＋B＝ 。
5、若，则＝ 。
6、已知，且＜0，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 。
二、选择题：
1、已知、满足等式，则用的代数式表示得【 】
A、 B、 C、 D、
2、已知，（），则的值为【 】
A、0 B、1 C、2 D、不能确定
3、（2014·浙江金华，第5题4分）在式子中，x可以取2和3的是【 】A． B． C． D．
4、已知是整数，且为整数，则所有符合条件的的值的和为【 】 A、12 B、15 C、18 D、20
三、化简求值：当时，求的值。
四、已知，求的值。
五、学校用一笔钱买奖品，若以一支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品，若以一支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品，问这笔钱全部用来买钢笔或笔记本，可买多少？

六、先阅读下面一段文字，然后解答问题：
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款。现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用元，（为正整数，且＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用元。
（1）设初三年级共有名学生，则①的取值范围是 ；②铅笔的零售价每支应为 元；③批发价每支应为 元。（用含、的代数式表示）
（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少1元，试求初三年级共有多少学生？并确定的值。

七、已知，求的值。
参考答案
一、填空题： 1、≠±2，＝8，＞2，＝1或2；2、，，，；3、；
4、；5、2或0；6、略二、选择题：CDA
三、计算题：1、；2、；3、；4、
四、阅读题：（1）②；（2）去了分母；（3）

参考答案
一、填空题：
1、；2、；3、3；4、2；5、28；6、
二、选择题：CBCA 4题详解：

三、解：由已知得：， ∴原式＝＝
四、解：原式＝ ∵ ∴，即
∴ ∴原式＝
五、解：设钢笔元／支，笔记本元／本，则：

∴这笔钱全部用于买钢笔可买支；这笔钱全部用于买笔记本可买本。
③初三年级共有300名学生，＝11。
七、解：由得： ∴＝＝。
分式第三课时：分式方程及应用题
知识考点：会用化整法，换元法解分式方程，了解分式方程产生增根的原因并会验根，会用分式方程解决简单的应用问题。
精典例题：
【例1】解下列分式方程：
1、=1；2、；3、
分析：（1）基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）题用化整法；（3）题用换元法；设，解后勿忘检验。
答案：（1）去分母得：x（x﹣1）﹣4=x2﹣1，去括号得：x2﹣x﹣4=x2﹣1，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解；（2）（舍去）；（3），。
【例2】（2014年广东汕尾，第23题11分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣=4，
解得：x=50经检验x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设至少应安排甲队工作x天，根据题意得：0.4x+×0.25≤8，解得：x≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
点评：此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．
探索与创新：
【问题】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。
当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。
你认为哪种方案获利最多？为什么？
略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将吨蔬菜精加工，用时间列方程解得，故可算出其获利810 000元，所以应选择第三种方案。
当堂训练：
一、填空题：
1、若关于的方程有增根，则的值为 。
2、用换元法解方程，如果设，则原方程可变形为整式方程 。
3、分式方程有增根，则＝ 。
4、若，则＝ 或 。
二、选择题：
1、方程有（ ）
A、一解 B、两解 C、无解 D、无穷多个解
2、方程的根是（ ） A、－2 B、 C、－2， D、－2，1
3、用换元法解方程时，下列换元方法中最适宜的是设（ ）
A、 B、 C、 D、
4、用换元法解方程，通常会设（ ）
A、 B、 C、 D、
三、解下列方程：
1、； 2、； 3、；
4、； 5、﹣=0； 6、+=1．
四、已知，求的值。

五、（2014•济宁，第16题6分）已知x+y=xy，求代数式+﹣（1﹣x）（1﹣y）的值．

六、（2014•四川自贡，第21题10分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？
（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？

七、（2014年山东泰安，第25题）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
参考答案

二、选择题：ACCB
三、解下列方程：
1、＝10；2、＝5；3、＝－2；4、＝7；5、解：（2）去分母，得3x2﹣6x﹣x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=4，经检验：x=0是增根，故x=4是原方程的解；6、解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得3+x（x+3）=x2﹣9，3+x2+3x=x2﹣9 解得x=﹣4。检验：把x=﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，∴x=﹣4是原分式方程解．
四、57．
五、解：∵x+y=xy，∴+﹣（1﹣x）（1﹣y）=﹣（1﹣x﹣y+xy）=﹣1+x+y﹣xy=1﹣1+0=0。
六、解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，
由题意，得：20（+）+20×=1，解得：x=80，经检验得：x=80是原方程的根．
答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．
（2）设李老师要工作y分钟，由题意，得：（1﹣）÷≤30，解得：y≥25．
答：李老师至少要工作25分钟．
七、解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，由题意，得=2×+300，解得x=5，经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
（2）[+﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000=1500×9+4320﹣12000
=13500+4320﹣12000=5820（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
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