小学数学总结_旋转与轨迹.doc

第六讲 旋转与轨迹
本讲3单元的内容分别是：图形旋转，线动成面，面动成体。
图形旋转是解决几何题目的有效方法之一，在解决几何题目时，旋转的方法满足以下三个条件：(1)通过旋转将不规则图形转化为规则图形，(2)边相等，(3)角互补或互余。在看到满足这些条件的几何图形时，要能想到“旋转”，这是一种思路，也是一种境界。
轨迹：点动成线，线动成面，面动成体。

601、【第一单元1】如图所示的四边形的面积等于多少？
【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】此题不用旋转也能做，如图一，但是，要学好看到等边、直角，思考如何旋转。
如图二(△OAB绕O逆时针旋转90度)、图三(△OAC绕O顺时针旋转90度)。图三，12×12＝144。

【答案】144。

602、【第一单元2】如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，以AC为一边向△ABC外作正方形，中心为O，求阴影面积。
【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】不旋转也能做，×5×3+×()＝16。
但是，要学好旋转，△OAB绕O逆时针旋转90度，如图。
直角△OBB′为所求（BCB′在一条直线上，证明很简单）。
一个等腰直角三角形，斜边长度已知，面积是可求的。
5+3＝8，×8×4＝16。
【答案】16。

603、【第一单元3】如图，已知AB＝AE＝4cm，BC＝DC，∠BAE＝∠BCD＝90°，AC＝10cm，则＝___。
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】△ABC绕C逆时针旋转90度，△ABC绕A顺时针旋转90度，都转到AC的下方，在AC的下方形成正方形，如图。也可以都转到AC的上方形成正方形。
面积：10×10÷2＝50。
【答案】50。
604、【第一单元4】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内做直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O，已知AE、BE的长分别是3cm、5cm，求△OBE的面积。
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】提供两种解法。
解法一、悬空＝整体－空白，旋转
=[]
＝＝17；
△ABE好求，但△ADE不好求，将△ADE绕A点顺时针旋转90度，求变成了求直角梯形AEBE′的面积，(3+5)×3÷2＝12。
×(17－12)＝2.5。
解法二、弦图
看到了正方形、直角三角形，想到弦图，做出其他三个直角三角形。
△DBE底BE＝5，高等于弦图中心正方形的边长,5-3＝2。
＝×(×5×2)＝2.5。
【答案】2.5。

605、【学案1】下图△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE是正三角形，点D在BC边上，BD:DC＝2:3。当△ABC的面积是50时，△ADE的面积是多少？
【难度级别】★★★★☆
【解题思路】看到等腰，看到120°，想到旋转。
将△ABC、△ADE绕A点旋转2次（120°、240°），连接D、E、D′、E′、D″、E″构成正六边形。
＝50×3＝150。
，但是，正六边形有些点悬空，面积不好求，可以求△DD′D″的面积，＝，这样，＝。
＝＝＝＝42；＝×42＝14。
此处用到了鸟头模型，2×3：5×5。
本题中的正六边形是需要证明的：∠CAD′＝∠BAD，
∠EAD′＝∠EAC+∠CAD′＝∠EAC+∠BAD＝∠BAC－∠DAE
＝120°－60°＝60°，所以，△EAD′是正三角形。
【答案】14。

606、【补充1】如图，在长方形中，已知2个三角形的面积是2和3，求？处的面积。
【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】如图做辅助线。
第一步：求出来3（蝴蝶两翼）；
第二步：求出来4.5（面积比为2：3）；
第三步：长方形一半：3+4.5＝7.5，？＝7.5－2＝5.5。
【答案】5.5。

607、【第二单元3】直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，∠ABC＝60°，此时BC＝5厘米。以点B为中心，将△ABC顺时针旋转120°，点A、C到达E、D位置。求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积（取3）。
【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】线动成面。将△EBD逆时针旋转回来，阴影为2个扇形差。＝75＝75。
【答案】75平方厘米。

608、【第二单元4】如图，ABCD是一个长为4、宽为3、对角线长为5的长方形，它绕C点顺时针方向旋转90°，分别求出四边扫过图形的面积。
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】DC：＝4；
BC：＝2.25；
AD：(1)旋转到(2)，＝2.25；
AB：(3)旋转到(4)，＝4。
发现，对边扫过的面积相等。
【答案】AB：4，BC：2.25，CD：4，DA：2.25。

609、【学案2】如图△ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。现在以C点为圆心，把△ABC顺时针旋转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是_____平方米。
【难度级别】★★★★☆
【解题思路】此题，扫过的面积不太好想象。
顺时针旋转后，A点沿弧AA′转到A′点， B点沿弧BB′转到B′点，D点沿弧DD′转到D′点。因为CD是C点到AB的最短线段，所以AB扫过的面积就是图中的弧BAA′与BDD′A′之间的阴影图形。。
＝＝＝×1×1＝(平方米)。
＝＝＝。
＝－－()＝--＝-＝0.6775。
【答案】0.6775。

610、【学案3】三枚半径为1cm的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚同样大小的硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置，那么与原A点重合的点是____，硬币自己转动_____，硬币圆心的运动轨迹周长为_____。
【难度级别】★★★★☆
【解题思路】先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆。
＝6；
硬币周长：＝2；6÷2＝3，即为3周。
【答案】A点，3周，6厘米。

611、【作业3】如图所示的四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ABC＝105°,AB＝CD＝15厘米,连接对角线BD，∠ABD＝30°。求四边形ABCD的面积。
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】先将所有角的度数标记出来。

发现60°和30°，75°和105°。
将△BCD沿BD剪下，B、D两点翻转再粘上，形成图形如右。
面积就很好求了：
×15×15＝112.5(平方厘米)。
【答案】112.5平方厘米。

612、【作业5】如图，直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16，如果以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12，如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】设BC＝a，AC＝b，则

化简后得，此方程可解，两式相除得：，代入得 。
根据勾股定理，AB＝5，AB上的高为：＝2.4。
所求旋转体的体积为：＝9.6。
【答案】9.6。

613、【补充2】先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧，形成曲线三角形（如左图）。再准备两个这样的图形，把一个固定住（右图中的阴影），另一个围绕它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动。请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？（取3.14）
【难度级别】★★★★★
【解题思路】本题难度较大，圆心变换了6次。
滚动过程以及最终结果，如下图。

滚动经过的面积：3×[+]＝8＝25.12()
【答案】25.12。

Liqingzhou
2013.11.7

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