基于正弦余弦的自适应教与学优化算法.pdf

教与学优化算法（Teaching-Learning-BasedOptimization，TLBO）是由 Rao 等1模拟班级教学过程提出一种新型群体智能优化算法。教与学优化算法与其它群智能优化算法类似，都是基于种群的元启发式随机优化算法，具有算法原理简单、参数少、寻优性能好、易于实现等优点，目前已经在函数优化、多目标优化、工程参数优化等领域得到了广泛的应用2-4。然而，TLBO 算法在（商洛学院 数学与计算机应用学院，陕西商洛 726000）基于正弦余弦的自适应教与学优化算法李会荣，任春年，魏倩茹收稿日期：2023-02-10基金项目：陕西省自然科学基金项目（2020JM-630）；商洛学院应用数学科研创新团队项目（19SCX02）；陕西省大学生创新创业训练计划项目（S202211396052）作者简介：李会荣，男，陕西洛南人，博士，教授doi:10.13440/j.slxy.1674-0033.2023.04.004第 37 卷 第 4 期23 年 8 月商洛学院学报 Vol37 ug.23?摘 要：为了克服教与学优化算法求解精度低、早熟收敛问题，提出了一种新的基于正弦余弦的自适应改进教与学优化算法（ASCTLBO）。该算法在教学阶段，提出新的自适应教学因子，引入自适应惯性权重，使得当前个体向全局最优个体学习，增强了算法的局部搜索能力。在学习阶段利用正弦余弦函数的震荡变化性质对学习者个体位置进行自适应更新，维持种群的多样性，增强算法全局搜索能力。数值试验表明，提出的新算法是有效的，具有较好的收敛速度和求解精度。关键词：教与学优化；自适应教学因子；正弦余弦函数；惯性权重中图分类号：TP301.6文献标识码：文章编号：1674-0033(2023)0-0023-08引用格式：李会荣,任春年,魏倩茹.基于正弦余弦的自适应教与学优化算法J.商洛学院学报,2023,37(4):23-30.Adaptive Teaching-Learning-Based OptimizationAlgorithm with the Sine Cosine FunctionLI Hui-rong,REN Chun-nian,WEI Qian-ru(School of Mathematics and Computer Application,Shangluo University,Shangluo 726000,Shaanxi)Abstract:In order to overcome the problems of low solving accuracy and precocious convergence of theTeaching-Learning-Based Optimization(TLBO),a new adaptive Teaching-Learning-Based Optimizationalgorithm with the sine cosine function(ASCTLBO)is proposed.In the teaching stage,ASCTLBO enablesthe current individual to learn from the globally optimal individual by introducing the new adaptiveteaching factor and adaptive inertia weight,which enhances the local search ability of ASCTLBO.In thelearning stage,the oscillation variation characteristics of the sine cosine function are used to adjust theindividual position of learners,which maintain the diversity of the population and enhance the globalsearch ability.Numerical experiments show that the proposed algorithm is effective and has goodconvergence speed and accuracy.Key words:teaching-learning-basedoptimization;adaptiveteachingfactor;sinecosinefunction；inertiaweight求解高维复杂优化问题时会出现早熟收敛、收敛速度较慢等问题，通常不能收敛到全局最优5。为此，许多研究者对 TLBO 算法进行了改进，例如，Rao 等5将变异算子和精英策略融入到 TLBO 算法中，提出了一种精英教与学优化（ETLBO）算法。于坤杰等6提出了一种基于反馈的精英教与学优化（FETLBO）算法，该算法在 ETLBO 算法中融入反馈机制，可以增加教师与学困生之间的反馈交流，有效增强了算法的局部搜索能力。李会荣等7提出了一种自适应教学因子，将差分变异策略融入到 TLBO 算法中，提出了一种融合差分变异的教-学优化算法，增强了算法的寻优性能。李丽荣等8在教学阶段引入非线性动态学习因子和动态随机搜索策略，提出了一种具有动态自适应学习机制的教与学优化算法。欧阳城添等9利用 Tent 映射反向学习策略初始化种群。在教学阶段，对教师个体执行天牛须搜索算法；在学习阶段，对学生个体进行混合变异，提出了一种新的融合改进天牛须搜索的教与学优化算法。王培崇等10利用Chebyshev 混沌映射初始化种群，利用动态学习因子维持种群的多样性，对教师个体将执行共轭梯度搜索，对种群内适应度较差的学生个体利用反向学习和高斯学习进行了二次学习优化，提出了一种改进的混合混沌共轭梯度法教与学优化算法。黎延海等11引入随机交叉策略和“自学”策略来提高算法的全局寻优能力，提出了一种基于随机交叉-自学策略的教与学优化算法。上述这些改进算法虽然能够较好地提高 TLBO 算法的性能，但往往需要引入额外算子或者算法后期会出现早熟收敛现象。为了改善TLBO 算法求解高维复杂问题的能力，本文结合正弦余弦算法，提出一种基于正弦余弦的自适应改进的教与学优化（ASCTLBO）算法。该算法在教学阶段引入自适应教学因子和非线性惯性权重，增强算法局部搜索能力。在学习阶段通过正弦余弦算法维持种群的多样性，提高算法的全局搜索能力。1基本教与学优化算法（TLBO）基本 TLBO 算法通过利用教师知识水平与班级学生学习的平均水平之间的差异来促进学生之间相互学习，以此来提高班级的整体学习水平12。在基本 TLBO 算法中，班级学生总人数为种群规模，学生的学习成绩即为适应度值，教师表示整个种群学习成绩最好者。TLBO 算法分为教学与学习两个阶段，教学阶段是学生向教师学习，学习阶段是学生之间互相学习。假设种群规模为 N，空间维数为 n，每个学生表示为 Xi=Xi1，Xi2，Xin，用适应度函数 f(Xi)表示第 i 个学生的学习水平。1.1教学阶段在教学阶段，教师通过向学生传授知识提高班级的整体学习水平，希望班级的平均学习水平Xm向自身 Xi靠近。因此教学阶段的迭代方程为：Xi，new=Xi+rand(Xt-TFXm)(1)其中，Xi和 Xi,new分别表示第 i 个学生学习前和学习后的知识水平，Xm=1Ni=1移Xi表示班级全体学生的平均知识水平，Xt表示教师的知识水平，rand 是区间0,1的随机数；TF 是教学因子，反映教师对班级整体学习水平的影响，一般取值为 1或 2，即表示为：TF=round1+rand(0,1)(2)利用学生个体学习水平（即目标函数值）来衡量学习者个体的优劣，如果适应度函数 f(Xi，new)f(Xi)，接受 Xi，new，即 XiXi，new，否则 Xi保持不变。1.2学习阶段学习阶段主要依靠学生个体之间相互学习而提高班级整体学习水平。学生 Xi随机向学生Xj进行差异性学习，迭代方程为：Xi，new=Xi+rand (Xi-Xj)，f(Xi)f(Xj)Xi+rand (Xj-Xi)，f(Xi)f(Xjj)(3)如果适应度函数 f(Xi，new)f(Xi)，接受 Xi，new，即Xi=Xi，new，否则 Xi保持不变。2基于正弦余弦的自适应教学优化算法（ASCTLBO）2.1自适应教学因子在基本 TLBO 算法中，教学因子影响着班级平均学习水平的变化。由式(2)可知，取值为 1 或2，表示在学习过程中学生没有学到任何知识，或者学到了教师所传授的全部知识。但是在实际教学过程中，由于教学任务、教学重难点及学生接受知识能力不同等因素影响，导致面对简单知识点学生接受能力较强，面对重难点时学生接受能力较弱。在 TLBO 算法中，TF 越小表示搜索步长越小，搜索能力较弱，收敛速度较慢。而TF 越大表示搜索步长较大，搜索能力较强，收敛速度较快。为此，将教学因子 TF 随迭代次数自适应调整为：23 年 8 月商洛学院学报24TF=1?t(tT)t+T-tT+TFmin(4)其中，TFmin表示最小教学因子，t 表示当前迭代的次数，T 表示最大的迭代次数。从式(4)可以看出，随着算法的迭代次数增加，TF 从 1+TFmin线性递减到 TFmin。当算法开始迭代时，教学因子 TF 为 1+TFmin，表示学生学习知识的能力较强，同时算法的全局搜索能力增强。随着迭代次数的增加，教学因子逐渐趋于TFmin，表示在学习过程中，学习难度增强，学生接受知识的能力降低，同时算法的局部搜索能力增强（本文中取 TFmin=1）。2.2自适应惯性权重在教学阶段，教师通过“教”阶段提高班级的整体学习水平。从式(1)可以看出，学生要么学习到教师传授的所有知识，要么没有学习到任何知识，与班级学生学习实际情况并不符合，忽视了不同学生的学习差异。为此，引入自适应惯性权重，将迭代方程式(1)更新为：Xi，new=Xi+rand(Xt-TFXm)(5)=(?tT)(6)其中，0，1为惯性权重，本文取，如图 1所示。由式(5)可得，在算法早期，学生主要是向教师学习，随着迭代次数的增加，逐渐增大，学生维持自身学习的能力逐渐增强，对教师的依赖性逐渐减弱。这种机制和生活中的实际教学情况一致，早期学生主要是向教师学习，学习效率高。随着班级平均水平不断增长，教学难度变化，学生学习效率开始下降，因此，学生会选择性地学习教师讲授的知识，从而增强了算法的局部搜索能力。2.3正弦余弦算法在学习阶段，学生选择的教师非常重要，影响整个班级的学习水平。考虑到班级内学生个体选择的最优教师可能不同，学生最终学习情况也会不相同。如果学生找到局部最优教师时，大量学生个体会向寻找到的局部最优教师学习，从而使得整个种群停滞不前，种群的多样性减弱，容易出现早熟收敛现象。针对此现象，本文在“学”阶段引入正弦余弦算法13，通过利用正弦余弦算法的震荡变化性质，保持种群的多样性，使得算法的全局搜索能力提高。针对正弦余弦算法中的步长因子r1=a (1-?tT)（a 为常数）是线性递减，为了加强算法的搜索能力，对步长因子 r改进为：r(?tT)(7)其中，为调节系数，本文取，r在迭代前期递减速度慢，所以 r在前期权重较大，有利于提高算法在全局的搜索能力，迭代次数大于1/3时，曲线转折幅度较大，之后进入局部寻优，随着迭代次数增加，r逐渐减为 0，有利于算法前期在全局搜索能力增强，后期局部搜索能力增强14。图 2 为步长因子 r、r随迭代次数变化曲线图。由于 TLBO 算法在整个寻优过程中，个体更新会受到自身的影响，引入非线性权重，使得个体在更新过程中自身的影响呈非线性变化，如图 3 所示，在算法初期，值较小，个体更新时受到自身的影响较小，全局搜索能力增强。在算法后期，值较大，个体受到自身影响较大，增强局图1迭代次数对惯性权重的影响迭代次数/次1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10惯性权重 的变化0100200300400500图2迭代次数对步长因子r、r的影响迭代次数/次1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10步长因子的变化0100200300400500r1r李会荣，任春年，魏倩茹：基于正弦余弦的自适应教与学优化算法25第 4 期?tTe部搜索能加强算法的收敛速度。因此将学习阶段式(3)表示为：=?tTe-1e-1(8)Xi，new=Xi+r sin(r2)r3 Xt-Xj，r40.5(9)其中，r20，2 决定学生个体学习的位置，r0，2决定教师对学生个体的影响，r40，1的随机数，控制算法使用正弦函数还是余弦函数。综上，提出 ASCTLBO 算法的实现步骤为：步骤 1 设置种群规模 N，空间维数 n，最大迭代次数 T，当前迭代次数 t=1。步骤 2 初始化种群 X=X1，X2，Xm，计算适应度函数 f(Xi)。步骤 3 教学阶段按式(4)式(6)更新个体，保留最优个体。步骤 4 学习阶段根据正弦余弦算法，按式(4)、式(8)、式(9)更新个体。步骤 5 令 t=t+1，返回到步骤 3，直到满足停止条件或达到最大迭代次数，迭代停止，输出最优解。3结果与分析3.1测试函数为验证提出 ASCTLBO 算法的性能，选取 9个标准测试函数进行数值试验15，测试函数的表达式如表 1 所示（n 表示空间的维数），并与TLBO1、ITLBO16、DSLTLBO8、CMDEATLBO17进行比较。在表 中，函数的最优值均为，其中f1f5为单峰函数，ff为多峰函数。表1测试函数参数设置为：种群规模 N=30，最大迭代次数T=500，教学因子最小值 TFmin=1。其它参数：=3，=2。得到的最优值（Opt）和最优值的方差（SD）如表 2 所示，最优值加粗表示。本文采用的测 试 环 境 为：Intel(R)Core(TM)i7-9750H2.60GHz CPU，16GB 内存；Windows11 操作系统；MATLAB R2020a 软件。3.2收敛精度分析数据维数分别为 30 维、50 维、100 维下进行试验，每次试验独立运行 30 次，试验结果如表 2和表 3 所示，其中 Opt、SD 分别表示每组试验运行 30 次的最优值与方差。从表 2 可以看出，提出 ASCTLBO 算法、CMDEATLBO 算法在单峰函数 f1f4中均达到最优值，方差均为 0，但是在单峰函数 f5中，提出ASCTLBO 算法的性能明显优于其余四种相比较的算法，从而表明提出 ASCTLBO 算法在单峰函数上具有明显优势。由表 3 可知，提出 ASCTLBO算法在多峰函数 f6、f7和 f9均取到理论最优值 0，而在 f8上，ITLBO、DSLTLBO、CMDEATLB 和提出 ASCTLBO 算法取得最优值为 8.8810-16，但是在测试函数 f8、f9中，提出 ASCTLBO 算法的方差?tTe函数名函数表达式f9Si=x2i+x2i+1姨f9=1n-1n-1i=1移(si姨(sin(50.0s0.2i)+1)2f1f1=ni=1移x2if8f8=20-20exp(-0.21nni=1移x2i姨)-exp(1nni=1移cos(2xi)+ef2f2=ni=1移xi+n?i=1仪xif3f3=x21+106n?i=2仪x2if4f4=ni=1移x2i+(ni=1移0.5xi)2+(ni=1移0.5xi)4f5f5=ni=1移ix4i+random0,1)f6f6=ni=1移x2i-10cos(2xi)+10f7f=ni=1移x2i-n?i=仪cos(xii姨)+1图3迭代次数对非线性权重的影响迭代次数/次1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10非线性权重 的变化010020030040050023 年 8 月商洛学院学报263.3收敛曲线分析为了分析提出 ASCTLBO 算法的收敛速度，图 4 和图 5 给出在 50 维数下 f1f9的最优值随着迭代次数的收敛曲线图，其中横坐标为迭代次数，纵坐标为取常用对数。由图 4 和图 5 可以看出，提出的ASCTLBO 算法在收敛速度与精度上均优于其他四个算法，说明了自适应惯性权重和正弦余弦算法在前期有着较强的全局搜索能力，加快了收敛速度。其中ASCTLBO 算法在 f1、f2、f3、f4收敛曲线下降速度最快，只有 f2收敛曲线在后期稍微变慢，在迭代 350 次时与DSLTLOB 算法交叉，说明 ASCTLBO 算法引入正明显优于其他算法。从表 2 和表 3 可以看出，无论在单峰函数还是多峰函数，无论是低维还是高维，提出 ASCTLBO 算法在最优值、标准差方面的性能都优于其他算法。表2单峰测试函数结果对比f维数TLBOITLBODSLTLBOCMDEATLBOASCTLBOOptSDOptSDOptSDOptSDOptSD?307.9610-922.4210-902.4410-218?503.7310-881.6310-869.1710-219f2?301.1310-466.5910-463.5810-1109.9210-1041.5010-200?505.6210-454.8010-442.6110-1071.1010-1045.0910-195f3?304.6410-901.0210-876.6010-219?502.2910-854.5610-833.6210-218f4?304.7310-901.0310-873.1010-217?501.6910-854.8910-831.3910-216f5?303.591045.011042.7710-59.2810-53.6710-72.6610-51.781041.09102?505.641044.631043.3110-58.3810-55.6010-74.4110-53.121041.741021006.391045.711048.5610-67.9510-51.5010-54.2210-51.521041.021021002.0110-841.2810-825.8410-2161002.9310-432.1310-427.1710-1082.0210-1045.2310-1901006.6510-813.1710-796.9110-2201001.8010-811.0210-797.9910-219f1表3多峰测试函数结果对比f维数TLBOITLBODSLTLBOCMDEATLBOASCTLBOOptSDOptSDOptSDOptSDOptSD?30?50f7?30?50f8?30 4.4410-159.0110-166.4910-16?50 4.4410-151.8010-151.0810-156.4910-16f9?30 4.2410-52.231033.4410-108.4610-67.4310-144.7510-109.7510-172.9310-70?50 1.4310-62.3410-53.3810-073.0410-62.7210-132.3010-122.0710-218.6210-100100100100 4.4410-151.2310-159.0110-169.0110-161001.9210-82.6510-63.6910-103.5510-61.0210-117.1410-111.3410-258.4810-100f6李会荣，任春年，魏倩茹：基于正弦余弦的自适应教与学优化算法27第 4 期迭代次数/次（e）f9的最优值的收敛曲线图5 50维数下f5f9的最优值的收敛曲线TLBOITLBODSLTLBOCMDEATLBOASCTLBO适应度函数值101010010-1010-2010-3010-4010-500100200300400500适应度函数值10210010-210-40100200300400500迭代次数/次（a）f5的最优值的收敛曲线TLBOITLBODSLTLBOCMDEATLBOASCTLBO迭代次数/次（d）f8的最优值的收敛曲线0100200300400500TLBOITLBODSLTLBOCMDEATLBOASCTLBO适应度函数值10510010-510-1010-15迭代次数/次（c）f7的最优值的收敛曲线020406080100120140适应度函数值10510010-510-1010-1510-20TLBOITLBODSLTLBOCMDEATLBOASCTLBOTLBOITLBODSLTLBOCMDEATLBOASCTLBO迭代次数/次（d）f4的最优值的收敛曲线图4 50维数下f1f4的最优值的收敛曲线适应度函数值10010-10010-20010-3000100200300400500迭代次数/次（c）f3的最优值的收敛曲线0100200300400500TLBOITLBODSLTLBOCMDEATLBOASCTLBO适应度函数值10010-10010-20010-300迭代次数/次（b）f2的最优值的收敛曲线0100200300400500TLBOITLBODSLTLBOCMDEATLBOASCTLBO适应度函数值10010-10010-20010-3000100200300400500迭代次数/次（a）f1的最优值的收敛曲线TLBOITLBODSLTLBOCMDEATLBOASCTLBO适应度函数值10010-10010-20010-300迭代次数/次（b）f6的最优值的收敛曲线适应度函数值10510010-510-1010-150100200300400500TLBOITLBODSLTLBOCMDEATLBOASCTLBO弦余弦算法增强了全局搜索能力。f6、f7收敛曲线可以看出，ASCTLBO 算法收敛性能优于 TLBO、ITLBO、DSLTLBO和CMDEATLBO 算法，在运行20次内就找到全局最优值。只有 f5和 f8收敛曲线在迭代后期出现平缓现象，陷入局部最优，但是收敛速度和精度还是优于相比较的算法。f9收敛曲线图在迭代前 200 次内多次出现平缓趋势，最后趋于下降。进一步验证了引入的自适应惯性权重有着较强的局部搜索能力，避免算法陷入局部最优解。23 年 8 月商洛学院学报283.4算法复杂度分析算法的复杂度决定了算法运行所消耗的时间，时间越长，算法越复杂，运行效率就会降低。如表 4 所示，9 个测试函数在相同维数下，ASCTLBO 算法运行耗时均少于其他四种算法，且耗时低于 TLBO 算法。随着维数的增加，整体运行时间变长，但 ASCTLBO 算法耗时依旧是五种算法中最少的。说明引进的自适应惯性权重和正弦余弦算法并没有增加算法的复杂度，进一步显示出提出的 ASCTLBO 算法的优越性。表4算法运行时间f维数TLBO/sITLBO/sDSLTLBO/sCMDEATLBO/sASCTLBO/sf1?3012.52411.58116.35814.236?5013.02611.94617.02914.669f2?3012.74511.81416.43913.590?5013.51712.57117.60114.503f3?3012.83611.78016.61414.350?5013.07712.25917.37914.949f4?3013.04012.07316.84614.652?5013.11112.13517.23614.95510014.08712.84818.81116.02710014.57613.20918.86715.71810014.30713.15319.30616.451f5?3016.47215.55323.48122.425?5018.77917.80527.67426.44510024.91523.70338.77036.614f6?3013.29911.44116.21415.249?5013.86311.86016.66615.76210014.50612.86918.22717.513f7?3013.66412.66318.30017.138?5014.39313.13319.05917.98710015.96514.33621.11220.022f8?3013.03412.0171708115.692?5013.61312.44117.50416.25310014.79713.42519.02917.778f?3028.63927.58245.91037.191?5036.40935.07758.44049.29310010014.20712.91819.16816.3393.5工程优化问题应用为验证提出 ACSTLBO 算法在工程设计优化中的性能，选取约束工程优化压缩弹簧设计问题18进行数值试验。首先利用罚函数法将其转化为无约束优化问题，再利用提出 ACSTLBO 算法进行求解。参数设置为：迭代次数,，。压缩弹簧设计是在一定的约束条件下寻找最小化的弹簧重量，其中约束条件主要有最小偏差（g1）、剪切应力（g）、震荡频率（g）、外径限制（g）、弹簧金属丝平均直径 d（x1）、弹簧圈平均直径 D（x2）和弹簧有效圈数 N（x3），则数学模型：目标函数：李会荣，任春年，魏倩茹：基于正弦余弦的自适应教与学优化算法29第 4 期算法x1x2xf(x)TLBOITLBODSLTLBOCMDEATLBOASCTLBO0.052 547 80.053 255 00.054 098 00.051 148 00.052 575 00.377 3410.395 0500.417 4300.340 3410.378 34810.199 49.374 08.468 113.097 410.129 90.012 7110.012 7440.012 7880.013 4420.012 685表5压缩弹簧设计问题比较minf(x)=x21x2(2+x3)(10)约束条件：g1(x)=1-x32x371785x41g2(x)4x22-x1x2(x2x31-x41)+15108x21g3(x)=1-140.45x1x22x3g4(x)=x1+x21.5-1?边界约束：.x1.x.(12)x?在压缩弹簧设计问题上试验结果如表 5 所示。由表 5 可以看出，与 TLBO、ITLBO、DSLTLBO及 CMDEATLBO 算法相比，提出的 ASCTLBO 算法性能最优，最小值为 0.012 685，从而表明ASCTLBO 算法在复杂工程优化问题的求解中是有效的。4结论针对基本 TLBO 算法的不足，提出一种基于正弦余弦的自适应教与学优化（ASCTLBO）算法。在教学阶段，引入非线性教学因子和自适应惯性权重，使得当前个体向全局最优个体学习，保证种群的多样性。在学习阶段，利用正弦余弦算法的震荡变化特性，有效保持了种群的多样性。数值试验表明，提出的 ASCTLBO 算法在全局搜索能力、收敛速度和收敛精度上都优于其比较的算法，同时提出 ASCTLBO 算法在解决压缩弹簧设计实际问题上具有明显的优越性。参考文献：1 RAO R V,SAVSANI V J,VAKHARIA D P.Teaching-learning-basedoptimization:anovelmethodforconstrained mechanical design optimization problemsJ.Computer-Aided Design,2011,43(3):303-315.2 RAO R V,SAVSANI 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