高中物理奥赛几何光学训练题.doc

物理奥赛几何光学训练题
1. 两个焦距分别是和的薄透镜和，相距为，被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。

2．有一放在空气中的玻璃棒，折射率n＝1.5 ，中心轴线长Ｌ＝ 45cm，一端是半径为Ｒ1 ＝10cm的凸球面．1．要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？2．对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度φ１ 时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度φ２ ，求φ２／φ１（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）．

3．薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为和，则透镜两侧各有一个焦点（设为和），但、和透镜中心的距离不相等，其值分别为和。现有一个薄凸透镜，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图所示。
1．试求出此时物距，像距，焦距、四者之间的关系式。
2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为，则与之相应的出射线与主轴的夹角多大？
3．，，，四者之间有何关系？

4．如图所示，一半径为、折射率为的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．为以球心为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．

5.目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．
z
L
S1
S3
P
a
a
S2
a
h
h
如图，S1、S2、S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为a =arctan的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h、半径为r =0.75 h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为 L = 12.0 h处的P点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．）
1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．
2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据．

S
v
R
xA
O
l
r
O2
O1
6.封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出．车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示．某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点．在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R（R >r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直．板的圆心O2 、S、、O1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上．由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况．不考虑光的衍射．试求：
1．车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．
2．地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．

参考答案
一、在图所示的光路图中，入射光AB经透镜折射后沿BC射向，经折射后沿CD出射。AB、BC、CD与透镜主轴的交点分别为P、和，如果P为物点，因由P沿主轴射的光线方向不变，由透镜性质可知，为P经过所成的像，为经所成的像，因而图中所示的、、、之间有下列关系：

当入射光线PB与出射光线平行时，图中的，利用相似三角形关系可求得

从而求得 （4）
联立方程式（1）、（2）、（3）、（4），消去、、，可得
（5）
具体运算过程如下；
由（1）式可得 （a）
由（2）式可得 （b）
由（4）式可得 （d）
由（a）、（b）、（d）式可得
以上式代入（3）式可得 （c）
以（c）式代入（1）式得 （5）
由于d 、、均已给定，所以为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在的左方与相距处。又由于与α无关，凡是通过该点射向的入射光线都和对应的出射光线相互平行。

2．由所得结果（5）式可以看出，当d ＞时，＞0，此情况下的光路图就是图复解16 – 2 – 1 所示。
当d = 时，→∞，α= 0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图复解16 – 2 – 2所示。
当d ＜时，＜0，这表明P点在右方，对来说，它是虚物。由（1）式可知，此时＞ 0，由可知＞0，又由＜0可知＜0，所以此时的光路图如图复解16 – 2 – 3 。

评分标准 本题25分。第1问17分，其中（1）、（2）、（3）式各2分，（4）式分，（5）式3分，结论4分；第2问8分，其中图复解16 – 2 - 1，16 –2 - 3各给3分，图复解16 – 2 - 2给2分。

二．对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图18－2－6所示，图中Ｃ1为左端球面的球心．

图18－2－6
　由正弦定理、折射定律和小角度近似得
　（－Ｒ１）／Ｒ１＝ｓｉｎｒ１／ｓｉｎ（ｉ１－ｒ１）≈ｒ１／（ｉ１－ｒ１）
　　＝1／（（ｉ１／ｒ１）－1）≈1／（ｎ－1），　　　①
即　　（／Ｒ１）－1＝1／（ｎ－1）．　　　②
　光线ＰＦ１射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心Ｃ２一定在端面顶点Ｂ的左方，Ｃ２Ｂ等于球面的半径Ｒ２，如图18－2－6所示．
　仿照上面对左端球面上折射的关系可得
　（／Ｒ２）－1＝1／（ｎ－1），　　　③
又有＝Ｌ－，④
由②、③、④式并代入数值可得
　Ｒ２＝5ｃｍ．
　则右端为半径等于5ｃｍ的向外凸的球面．

图18－2－7
　2．设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示，令①过Ｃ１，②过Ａ，如图18－2－7所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点Ｍ，即为左端球面对此无限远物点成的像点．现在求Ｍ点的位置，在△ＡＣ１Ｍ中，有
　／ｓｉｎ（π－φ１）＝／ｓｉｎφ１＝Ｒ１／ｓｉｎ（φ１－φ１′），
又　　ｎｓｉｎφ１′＝ｓｉｎφ１，
已知φ１、φ１′均为小角度，则有
　／φ１＝Ｒ１／φ１（1－（1／ｎ））．
　与②式比较可知，≈，即Ｍ位于过Ｆ１垂直于主光轴的平面上．上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过Ｍ点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线．容易看出，从Ｍ射出Ｃ２的光线将沿原方向射出，这也就是过Ｍ点的任意光线（包括光线①、②）从玻璃棒射出的平行光线的方向，此方向与主光轴的夹角即为φ２，由图18－2－7可得
　2／φ１＝／＝（－Ｒ１）／（－Ｒ２），
　由②、③式可得（－Ｒ１）／（－Ｒ２）＝Ｒ１／Ｒ２，
　则φ２／φ１＝Ｒ１／Ｒ２＝2．
　
三．Q
Q¢
P¢
P
F1
F2
u
v
n1
n2
y
y¢
f1
f2
图复解 19-5-1
利用焦点的性质，用作图法可求得小物的像，如下图所示。

（1）用和分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得
（1）

简化后即得物像距公式，即，，，之间的关系式
（2）
（2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图复解19-5-2所示。图中为入射角，为与之相应的出射角，为平行板中的光线与法线的夹角。设透镜的折射率为，则由折射定律得
（3）
对傍轴光线，、≤1，得，，因而得
n1
n2
q1
q2
g
g
n
图复解 19-5-2
（4）
（3）由物点射向中心的入射线，经折射后，出射线应射向，如图复解19-5-3所示，
Q
Q¢
P
P¢
F1
F2
L
q2
u
vu
y
q1
y¢
n1
n2
图复解 19-5-3

在傍轴的条件下，有
（5）
二式相除并利用（4）式，得
（6）
用（1）式的代入（6）式，得

即 （7）
用（1）式的代入（6）式，得

即 （8）
从而得，，，之间关系式

四．图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为和，折射光线与坐标轴的交点在。令轴上的距离为，的距离为，根据折射定律，有
（1）

在中
（2）
（3）
由式（1）和式（2）得

再由式（3）得

设点到的距离为，有

得

（4）
解式（4）可得
（5）
为排除上式中应舍弃的解，令，则处应为玻璃半球在光轴上的傍轴焦点，由上式

由图可知，应有，故式（5）中应排除±号中的负号，所以应表示为
（6）
上式给出随变化的关系。
因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有，其中折射光线与轴交点最远处的坐标为
（7）
在轴上处，无光线通过。
随增大，球面上入射角增大，当大于临界角时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角相应的光线有

这光线的折射线与轴线的交点处于
（8）
在轴上处没有折射光线通过。
由以上分析可知，在轴上玻璃半球以右
（9）
的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。与就是所要求的分界点，如图复解20-4-2所示

评分标准：本题20分。
求得式（7）并指出在轴上处无光线通过，给10分；求得式（8）并指出在轴上处无光线通过，给6分；得到式（9）并指出上有光线段的位置，给4分。
r
R
l
L
S
五．1．相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度v趋向光源S运动．由S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大．若距S的距离为L处光束的横截面正好是半径为R的圆面，如图所示，则有

可得
(1)
设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出．当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住．此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L．在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为
(2)
故出现挡板完全遮住光束的时刻为
(3)
由（1）、（3）式得
(4)
2．相对于地面参考系，光源与车厢以速度v向挡板运动．光源与孔之间的距离缩短为
(5)
而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的距离即挡板完全遮光时距离应为
(6)
初始时，挡板离S的距离为xA，出现挡板完全遮住光束的时刻为
(7)
六．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中表示组合透镜的平面，、、为三个光束中心光线与该平面的交点． ＝ u就是物距．根据透镜成像公式
(1)
可解得

因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utana ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得
≈1.757h (2)
此解满足上面的条件．
分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有
(3)
即光心O1的位置应在之下与的距离为
(4)
同理，O3的位置应在之上与的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点．
2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜．
因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于＝＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．
图2画出了L1、L2放在平面内时相互交叠的情况（纸面为平面）．图中C1、C2表示L1、L2的边缘，、为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与O1O2的交点．
0.146h
0.854h
0.439h
0.439h
h
S1’
O2 (S2’)
O1
W1
W2
Q
Q’
N
N’
T
T’
C1
C2’
圆1
圆2
图2
x2
x1
K
为圆心的圆1和以（与O2重合）为圆心的圆2分别是光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为
(5)

根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知
(6)
故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．
下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线和．若沿位于和之间且与它们平行的任意直线对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．
现在计算和的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图2所示，则对任意一条切割线， x1、x2之和为
（7）
由于必须在和之间，从图2可看出，沿切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)，

代入r，r 和的值，得
(8)
代入(7)式，得
(9)
由图2可看出，沿切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)，

代入r和r 的值，得
(10)
（11）
由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同．

评分标准：
本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，
第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．
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