第七单元-数学广角.doc

第七单元　数学广角——植树问题

,　　本册的数学广角的内容是植树问题。解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。在“数学广角——植树问题”的教学中，教师要引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会解决植树问题的思想方法(模型思想)，培养学生从实际问题中探索解决问题有效方法的能力。在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。)

第1课时　两端都栽的植树问题
)(这是边文，请据需要手工删加)

教材第106页的内容。

1．建立并理解在线段上植树(两端都栽)的情况中“棵数＝间隔数＋1”的数学模型。
2．利用线段图理解“点数＝间隔数＋1”、“总长＝间隔数×间距”等间隔数、点数、总长、间距之间的关系，解决生活中的实际问题。

重点：建立并理解“点数＝间隔数＋1”的数学模型。
难点：培养用画线段图的方法解决问题的能力，并能熟练地掌握这种方法。

课件。

师：哪位同学知道植树节是在哪一天？(3月12日。)在这一天的植树活动中，有同学遇到了这样一个问题。(课件出示教材第106页例1。)
师：你能利用所学的知识解决这个问题吗？
生1：20棵，每隔5 m栽一棵，共栽100÷5＝20(棵)。
生2：我认为是21棵，因为题目中写着“两端要栽”，所以要再加1棵。
师：对于这个问题，同学们有不同的答案，那么哪一个结果是正确的呢？这节课我们一起来探讨这个问题。

1．师：可以用怎样的方法进行检验呢？(画线段图。)那我们可以在草稿本上试一试。你遇到了什么困难？
生：100 m太长了，不太好画。(追问：那我们该怎么办？)
生：可以先用简单的数试一试。
2．师：先看看20 m的距离，在两端都栽的情况下可以栽几棵树，在草稿本上画一画。
课件出示：
师：说说你是怎么想的？
生：20÷5＝4，20 m被平均分成4段，因为两端要栽，所以要栽5棵树。
)(这是边文，请据需要手工删加)
师：再画一画，25 m可以栽几棵树？(学生操作。)谁来说说你的想法？
生：25÷5＝5，就是把25 m平均分成了5段，因为两端都要栽，所以要栽6棵树。
3．师：你发现了什么规律？
生：棵数要比间隔数多1。(追问：可以用怎样的式子表示？)棵数＝间隔数＋1。
师：谁能说说为什么要“＋1”？(因为两端都要栽，所以栽树的棵数比间隔数多1。)你能用发现的规律解决例1的问题吗？(指名回答，分析讲解。)
生：间隔数＋1＝棵数，所以100÷5＝20(棵)，20＋1＝21(棵)。
归纳小结：在解决较复杂或数据较大的问题时，可以先从简单的数据出发得出规律，然后将规律运用于复杂问题进行解决。

1．教材第107页“做一做”第1题。
师：读完这个题目，你觉得有哪些地方需要特别引起注意？
生1：单位不统一，要先进行转化再计算。
生2：街道的两旁都要安装路灯。
师：你能通过画图的方法表示出“两旁”吗？在计算时该怎样体现？(先算出一边的路灯的数量，再乘以2。)
学生练习，指名回答。
师：2000÷50算的是什么？“间隔数＋1”说明了什么？(两端都要安装。)
2．教材第109页“练习二十四”第1题。
师：仔细读题，认真思考，说说你对这个题目的理解。
引导得出：要求一共栽多少棵银杏树，实际就是求梧桐树的间隔数。由“棵数＝间隔数＋1”可得“间隔数＝棵数－1”。
师：可以用怎样的方法验证结果是否正确？(可以先用比较简单的例子，通过画线段图的方法进行验证。)与这题有关的简单的例子，我们只要张开一只手。五个手指相当于题目中的什么？(梧桐树)每两个手指之间栽一棵(银杏树)，可以栽几棵？你还有其他的方法吗？

师：通过这一节的学习，你有什么收获？跟大家交流一下。
根据学生回答，强调：
1．解决两端都要栽的植树问题的数学模型：棵数＝间隔数＋1。
2．当遇到较为复杂的数学问题时，可以先从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。

直接出示例题的情境，通过学生的尝试解答，使学生经历分析思考的整个过程，感受“猜测——验证”的学习方法。在实际操作中发现问题有助于激发学生的思考，从而深刻地体会“从简单事例中发现规律，并利用此规律解决较复杂问题”的数学思想。 “画示意图——抽象出线段图——不画图”的教学过程，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的设计理念，也正是在这一进程中，通过积极有效的教学活动，使学生建立起“一条线段两端都栽”这类植树问题的数学模型。
第2课时　两端都不栽的植树问题

教材第107页的内容。

1．建立并理解在线段上植树(两端都不栽)的情况中“棵数＝间隔数－1”的数学模型。
2．通过画线段图初步培养学生探索解决问题的有效方法的能力，尝试用植树问题的模型解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识。
)(这是边文，请据需要手工删加)

重点：建立并理解“棵数＝间隔数－1”的数学模型。
难点：培养学生探索解决问题的有效方法的能力。

课件。

师：上节课，我们学习了植树问题中两端都栽的情况，谁能说一说是用怎样的数学模型解决这类问题的？(棵数＝间隔数＋1。)你能快速地完成下面这道题吗？
准备题：绿化队要在相距60 m的小路一边植树(两端都栽)，相邻两棵树之间的距离是3 m。一共要栽多少棵树？
指名回答：60÷3＋1＝21(棵)
师：再来看看这一题(课件出示教材第107页例2)。认真思考，这两个题目有什么不同？例2又该如何解答呢？这节课我们来研究另一种植树问题。

1．师：准备题和例2有什么不同？
同桌之间可以互相交流。(指名汇报。)
生1：准备题是一边，例2是小路两旁。(追问：在图上该如何表示？)就是有两条线段。(怎么计算？)只要先算出一边的树木数量，再“×2”就可以了。
生2：准备题是两端都栽，例2是两端不栽。(追问：你能通过示意图说说为什么吗？)因为小路的两端都是场馆。
2．师：例2该如何解决呢？你想到了什么方法？(可以先从简单的事例中发现规律。)请你在草稿本上试一试。
指名回答，过程预设：
(1)先画一个简单的线段图看看，以20 m长的线段为例，在两端都栽的情况下“棵数＝间隔数＋1”，需要栽5棵树。
(2)同样长的线段，在两端都不栽的情况下只需要栽3棵树，也就是说栽的棵数比间隔数少1。(教师追问：可以用怎样的数学模型表示？)棵数＝间隔数－1。
3．师：你能用不同的方法试一试，对这一数学模型进行验证吗？(学生操作，交流发现。)运用这一模型，例2可以怎样解答？
生：60÷3－1＝19(棵)，19×2＝38(棵)。
教师追问：为什么要“×2”？(因为小路两旁都要栽树。)
4．教师小结：我们一起来回顾一下这个题目的解决过程。通过与例1中“两端都栽”的植树问题相比较，采用同样的方法得出了“两端都不栽”的植树问题的数学模型，即棵数＝间隔数－1。

1．教材第109页第6题。
生：32÷4－1＝7(盆)
师：如果改为两端都放，该怎么算？
生：32÷4＋1＝9(盆)
师：这两种不同的摆法相差几盆？(2盆)为什么？(两端都放时，盆数＝间隔数＋1；两端都不放时，盆数＝间隔数－1。)
2．一根木头长10 m，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完这根木头一共要花多少分钟？
师：这个问题和我们学习的植树问题有关联吗？属于植树问题中的哪一种情况？可以先用画图的方法试一试。
学生练习，分析讲评。
10÷5－1＝4(次)　　　8×4＝32(分钟)
答：锯完这根木头一共要花32分钟。

师：植树问题在生活中的应用非常广泛，在解决这类问题时，应该先判断出属于哪一种情况，再根据题意列式解答。

例2是在例1的基础上教学的，对已学知识的复习是为了找准知识迁移的“原点”，通过比较分析，使学生更为深刻地理解题意，通过教师的引导，促使学生自主探索，引导“用画图的方法表示出来”， 经历了问题解决的整个过程，对数学思想的渗透也在知识的迁移和转化过程中得到了体现，对于培养学生良好的审题习惯具有非常重要的作用。教学时还重点突出了对“先从简单的事例中发现规律，再将规律应用于问题的解决”这一数学方法的迁移。第3课时　封闭曲线上的植树问题

教材第108页的内容。

1．运用转化的方法，使学生理解在一条首尾封闭的曲线上植树所需棵数与间隔数“一一对应”的数学模型。
2．进一步培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力以及抽取数学模型的能力。

重点：理解在一条首尾相接的封闭曲线上植树的基本数学模型。
难点：培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。

课件。
)(这是边文，请据需要手工删加)

师：在前面两节课中，我们共同探讨了在一条线段上植树的问题，还运用发现的规律解决了许多生活中的实际问题。那么，谁来帮助大家一起回顾这些知识？
生：在一条线段上植树可以分成三种情况：两端都栽时，棵数比间隔数多1；两端都不栽时，棵数比间隔数少1；一端栽一端不栽时，棵数和间隔数相等。
师：在解决复杂问题时，我们是怎么做的？
生：可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以从简单的事例中发现规律，再应用找到的规律来解决原来的问题。
)(这是边文，请据需要手工删加)
师：同学们对已学知识掌握得很好！今天这节课，我们要一起来研究植树问题中的另一种情况。

1．课件出示教材第108页例3。
师：这道题与前面学习的植树问题相比，有什么相同点和不同点？
生：不同之处在于前面学习的是在线段上植树的问题，这道题是在一个圆形周围植树。(教师追问：线段是怎样的？圆形又是怎样的？)线段是直的，圆形是一条曲线。(教师追问：圆形是一条什么样的曲线？)
逐步引导得出：图形是一条首尾相接的封闭曲线。
生：相同之处都是已知长度和间隔距离。
2．师：你能联系已经学过的知识，自主解决“一共要栽多少棵树”这个问题吗？
学生独立思考，讨论汇报。
师：大家想到了用什么方法来解决问题？(画图。)120 m的长度太长了，怎么办？(先用简单的数据试一试。)
生：以周长为40 m的圆为例，通过画图得知，能栽4棵树。
师：如果把圆拉直成线段，你能发现什么？
生：相当于在线段上植树的问题中“一端栽一端不栽”的情况。
师：利用发现的规律，你能解决例3的问题吗？
生：120÷10＝12(棵)。
3．师：谁能完整地概括一下刚才的发现？
总结：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于在线段上植树问题中的“一端栽一端不栽”的情况。

1．教材第108页“做一做”。
师：你能利用题目中的数据编出一道在线段上植树(一端栽一端不栽)的问题吗？
学生练习，交流汇报。
2．一条项链长60 cm，每隔5 cm有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？
师：这题与我们学习的植树问题的知识有关联吗？属于哪一种情况？(在一条首尾相接的封闭曲线上植树。)你能说说在这道题中谁与谁“一一对应”吗？(水晶的颗数与间隔数。)
60÷5＝12(颗)
答：这条项链上共有12颗水晶。

通过这一节课的学习，你有什么收获？跟大家交流一下。
根据学生的回答，强调：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数和间隔数“一一对应”，相当于在线段上植树的问题中“一端栽一端不栽”的情况。

学生已经有了“在线段上植树”的学习经验，在出示情境图引导学生比较相同点和不同点之后，教师放手让学生自主探究。在概括归纳的环节，注重模型的对比和沟通，通过两种不同的方式，自然地得出在一条首尾相接的曲线上植树所需棵数与间隔数“一一对应”的结论，相当于在线段上植树中“一端栽一端不栽”的情况。