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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。不能作为科学依据。,4,曲线拟合最小二乘法,1,最小二乘法及其计算,在函数最正确平方迫近中 假如,只在一组离散点集 上给定，这就是科,学试验中经常见到试验数据,曲线拟合.,1/57,1,记误差,则 各分量分别为 个数据点上误差.,问题为利用 求出一个函数,与所给数据 拟合.,2/57,2,设 是 上线性无关函数族，,在 中找一函数 ，,使误差平方和,这里,3/57,3,这个问题称为最小二乘迫近，几何上称为曲线拟合,最小二乘法.,用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 形式.,确定 形式问题不但是数学问题,还与问题,实际背景相关.,通常要用问题运动规律及给定数据进行数据描图,确定 形式,然后经过实际计算选出很好结果.,4/57,4,为了使问题提法更有普通性，通常在最小二乘法中,考虑加权平方和,这里 是 上权函数，它表示不一样点,处数据比重不一样.,就是 次多项式.,若 是 次多项式，,普通表示式为线性形式.,5/57,5,这么，最小二乘问题就转化为求多元函数,极小点 问题.,用最小二乘法求拟合曲线问题，就是在,中求一函数 ，,由求多元函数极值必要条件，有,使误差取得最小.,6/57,6,若记,上式可改写为,这个方程称为,法方程,，,可写成矩阵形式,7/57,7,其中,要使法方程有唯一解，就要求矩阵 非奇异，,而 在 上线性无关不能推出,矩阵 非奇异，必须加上另外条件.,8/57,8,显然 在任意 个点上满足哈尔条件.,哈尔条件，则法方程,系数矩阵,非奇异，,假如 在 上满足,函数 最小二乘解为,定义10,设 任意线,性组合在点集 上至多只有 个,不一样零点，,则称 在点集,上满足,哈尔,(,Haar,),条件,.,方程存在唯一解,从而得到,于是,9/57,9,这么得到 ，,对任何,都有,故 确是所求最小二乘解.,10/57,10,普通可取 ，但这么做当 时，,通常对 简单情形都可经过求法方程得到,给定 离散数据 ，,求解法方程时将出现系数矩阵 为病态问题，,我们在下面考虑,用正交多项式方法处理。,11/57,11,例1,已知一组试验数据以下，求它拟合曲线.,12/57,12,解,从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，,将所给数据在坐标纸上标出，见图3-4.,图3-4,13/57,13,令,这里,故,14/57,14,解得,可得方程组,于是所求拟合曲线为,15/57,15,关于多项式拟合，,Matlab,中有现成程序,其中输入参数 为要拟合数据，为拟合多项式次数，,输出参数 为拟合多项式系数.,利用下面程序，可在,Matlab,中完成上例多项式拟合.,16/57,16,x=1 1 2 3 3 3 4 5;,f=4 4 4.5 6 6 6 8 8.5;,aa=poly(x,f,1);,y=polyval(aa,x);,plot(x,f,r+,x,y,k),xlabel(x);,ylabel(y);,gtext(y=s1(x)）,17/57,17,结果以下：,18/57,18,有时依据给定数据图形，其拟合函数 表面上不是,线性模型形式，但经过变换仍可化为线性模型.,比如，,若两边取对数得,此时，若令,这么就变成了线性模型.,19/57,19,例2,设数据 由表3-1给出，,用最小二乘法确定 及 .,解,表中第4行为,经过描点能够看出数学模型为,它不是线性形式.,用给定数据描图可确定拟合曲线方程为,两边取对数得,20/57,20,若令,先将 转化为,为确定 ，,依据最小二乘法，取,则得,数据表见表3-1.,得,21/57,21,故有法方程,解得,于是得最小二乘拟合曲线为,22/57,22,利用下面程序，可在,Matlab,中完成曲线拟合.,x=1.00 1.25 1.50 1.75 2.00;,y=5.10 5.79 6.53 7.45 8.46;,y1=log(y);,aa=poly(x,y1,1);,a=aa(1);b=exp(aa(2);,y2=b*exp(a*x);,plot(x,y,r+,x,y2,k),xlabel(x);,ylabel(y);,gtext(y=a*exp(bx);,23/57,23,结果以下：,24/57,24,2,用正交多项式做最小二乘拟合,假如 是关于点集,用最小二乘法得到法方程组，其系数矩阵,是病态.,带权 正交,函数族，即,（5.6）,25/57,25,则方程解为,且平方误差为,26/57,26,接下来依据给定节点 及权函数,结构带权 正交多项式 .,注意 ，用递推公式表示 ，即,这里 是首项系数为1 次多项式，,依据,正交性，得,27/57,27,下面用归纳法证实这么给出 是正交.,28/57,28,假定 对 及,要证 对 均成立.,有,由 表示式，有,均成立，,29/57,29,而 ，,当 时，,另外，是首项系数为1 次多项式，它可由,由归纳法假定，,当 时,线性组合表示.,由归纳法假定又有,30/57,30,由假定有,再考虑,利用 表示式及以上结果，得,31/57,31,至此已证实了此多项式,组成一个关于点集 正交系.,用正交多项式 线性组合作最小二乘曲线拟合，,只要依据公逐步求 同时，,对应计算出系数,最终，由 和 表示式（5.11）有,32/57,32,并逐步把 累加到 中去，最终就可得到所求,用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式，并,且当迫近次数增加一次时，只要把程序中循环数加1，其余,不用改变.,这里 可事先给定或在计算过程中依据误差确定.,拟合曲线,33/57,33,以上述例1为例 先求正交系,34/57,34,例3,设,X,=1.00,1.25,1.50,1.75,2.00,在,X,上定义内积,5,(f,g)=,x,i,f(x,i,)g(x,i,),i=1,1)在函数系 1,x,2,中求一个,X,上正交函数系.,2)用最小二乘法求一个形如y=a+bx,2,经验公式，使它与以下数据拟合.,x,i,1.00 1.25 1.50 1.75 2.00,y,i,3.00 4.50 5.50 7.00 9.00,35/57,35,36/57,36,37/57,37,5,最正确一致迫近多项式,1.,基本概念及其理论,设,在 中求多项式,这就是最正确一致迫近或切比雪夫迫近问题.,使其误差,38/57,38,使误差,对连续函数 ，它不能用有限个线性无关,函数表示，故 是无限维，但它任一元素,均可用有限维 迫近，,(为任给小正数)，,这就是著名魏尔斯特拉斯定理.,39/57,39,使,定理1,总存在一,设 ，,则对任何 ，,个代数多项式 ，,在 上一致成立.,伯恩斯坦19给出证实是一个结构性证实.,他依据函数整体迫近特征结构出伯恩斯坦多项式,40/57,40,为二项式展开系数，并证实了,在 上一致成立；,若 在 上 阶导数连续，则,其中,这个结果不但证实了定理1，而且给出了,一个迫近多项式.,41/57,41,定理2(最正确一致迫近存在性）,设f(x)在a,b上连续，则存在p,n,*(x)H,n,使,下面研究求p,n,*(x),方法,定义：设f(x)Ca,b,p(x)H,n,若x=x,0,时,则称x,0,为p(x)偏差点.,42/57,42,要证实是,这么点组称为,切比雪夫交织点组,.,证实,假定在 上有 个点使上式成立，,定理3,即有 个点 ，,“负”偏差点，,在 上最少有 个轮番为“正”、,是 最正确迫近多项式,充分必要条件是,使,是 在 上最正确迫近多项式.,只证充分性.,43/57,43,用反证法，,若存在 ，,因为,故 也在 个点上轮番取“+”、“-”号.,使,由连续函数性质，,它在 内有 个零点，但因,是不超出 次多项式，,不能超出 .,所以它零点个数,在点 上符号与,一致，,44/57,44,这说明假设不对，,故 就是所求最正确迫近多项式.,必要性证实略.,推论1,若 ，,充分性得证.,则在 中存在唯一最正确迫近,多项式.,45/57,45,零偏差最小问题,46/57,46,证实,且点 是 切比雪夫交织点组，,定理4,在区间 上全部最高次项系数为1 次多,项式中，,与零偏差最小，,其偏差为,因为,47/57,47,由定理3可知，,即 是与零偏差最小多项式.,区间 上 在 中最正确迫近多项式,为,定理得证.,48/57,48,由定理6可知，,多项式 与零偏差最小，,解,由题意，所求最正确迫近多项式 应满足,当,时，,故,例3,求 在 上最正确2次逼,近多项式.,49/57,49,就是 在 上最正确2次迫近多项式.,50/57,50,2,最正确一次迫近多项式,定理3给出了 特征，这里讨论详细求法.,先讨论 情形.,假定,且 在 内不变号，,依据定理3可知,最少有3个点,求最正确一次迫近多项式 .,我们要,51/57,51,即 .,因为 在 上不变号，,故 单调，,在 内只有一个零点，记为 ，,另外两个偏差点必是区间端点，,即 且,由此得到,于是,满足,52/57,52,解出,代入得,这就得到最正确一次迫近多项式 ，其几何意义如图3-3.,53/57,53,直线 与弦,MN,平行，且经过,MQ,中点,D,，,图3-3,其方程为,54/57,54,由 可算出,例1,求 在 上最正确一次迫近多项式.,解,又 ,由 得,故,解得,55/57,55,即,误差限为,于是得 最正确一次迫近多项式为,56/57,56,在上式中若令,则,从而可得一个求根式公式,57/57,57,
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