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单击此处编辑母版标题样式,离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT),第,章,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,第3章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT),3.1学习关键点与主要公式,3.2频率域采样,3.3循环卷积和线性卷积快速计算以及信号频谱分析,3.4例题,3.5教材第3章习题与上机题解答,3.6教材第4章习题与上机题解答,1/157,3.1 学习关键点与主要公式,3.1.1 学习关键点,（1）DFT定义和物理意义，DFT和FT、ZT之间关系；,（2）DFT主要性质和定理：隐含周期性、循环移位性质、共轭对称性、实序列,DFT特点、循环卷积定理、离散巴塞伐尔定理；,（3）频率域采样定理；,（4）FFT基本原理及其应用。,2/157,3.1.2 主要公式,1）定义,k,=0,1,N,1,k,=0,1,N,1,2）隐含周期性,3/157,3）线性性质,若,，则,4）时域循环移位性质,5)频域循环移位性质,4/157,6）循环卷积定理,循环卷积：,L,x,(,n,),循环卷积矩阵表示：,5/157,循环卷积定理：若,y,c,(,n,)=,h,(,n,),L x,(,n,),则,Y,c,(,k,)=DFT,y,c,(,n,),L,=,H,(,k,),X,(,k,),k,=0,1,2,L,1,其中,H,(,k,)=DFT,h,(,n,),L,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),L,6)离散巴塞伐尔定理,6/157,7）共轭对称性质,(1)长度为,N,共轭对称序列,x,ep,(,n,)与反共轭对称序列,x,op,(,n,):,序列,x,(,n,)共轭对称分量与共轭反对称分量：,7/157,（2）假如,x,(,n,)=,x,r,(,n,)+j,x,i,(,n,),且,X,(,k,)=,X,ep,(,k,)+,X,op,(,k,),则,X,ep,(,k,)=DFT,x,r,(,n,),X,op,(,k,)=DFTj,x,i,(,n,),（3）假如,x,(,n,)=,x,ep,(,n,)+,x,op,(,n,),且,X,(,k,)=,X,r,(,k,)+j,X,i,(,k,),则,X,r,(,k,)=DFT,x,ep,(,n,),j,X,i,(,k,)=DFT,x,op,(,n,),（4）实序列DFT及FT特点:假设,x,(,n,)是实序列，,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)，则,X,(,k,)=,X,*,(,N,k,),|,X,(,k,)|=|,X,(,N,k,)|,(,k,)=,(,N,k,),8/157,3.2 频 率 域 采 样,我们知道，时域采样和频域采样各有对应采样定理。频域采样定理包含以下内容:,（1）设,x,(,n,)是任意序列，,X,(e,j,)=FT,x,(,n,)，对,X,(e,j,)等间隔采样得到,k,=0，1，2，3，,N,1,则,9/157,(2)假如,x,(,n,)长度为,M,，只有当频域采样点数,N,M,时，,x,N,(,n,)=,x,(,n,)，不然,会发生时域混叠，,x,N,(,n,),x,(,n,)。,经过频率域采样得到频域离散序列,x,N,(,k,)，再对,x,N,(,k,)进行IDFT得到序列,x,N,(,n,)应是原序列,x,(,n,)以采样点数,N,为周期进行周期化后主值区序列，这一概念非常主要。,10/157,(3)假如在频率域采样点数满足频率域采样定理，即采样点数,N,大于等于序列长度,M,，则能够用频率采样得到离散函数,X,(,k,)恢复原序列Z变换,X,(,z,)，公式为,式中,上面第一式称为,z,域内插公式，第二式称为内插函数。,11/157,3.3 循环卷积和线性卷积快速计算,以及信号频谱分析,3.3.1 循环卷积快速计算,假如两个序列长度均不很长，能够直接采取循环卷积矩阵乘法计算其循环卷积；假如序列较长，能够采取快速算法。快速算法理论基础是循环卷积定理。设,h,(,n,)长度为,N,，,x,(,n,)长度为,M,计算,y,c,(,n,)=,h,(,n,),L x,(,n,)快速算法以下：,12/157,（1）计算,k,=0,1,2,3,，,L,1，,L,=max,N,M,（2）计算,Y,c,(,k,)=,H,(,k,),X,(,k,),k,=0,1,2,L,1,（3）计算,y,c,(,n,)=IDFT,Y,c,(,k,),L,n,=0,1,2,L,1,说明：如上计算过程中DFT和IDFT均采取FFT算法时，才称为快速算法，不然比直接在时域计算循环卷积运算量大3倍以上。,13/157,3.3.2 线性卷积快速计算快速卷积法,序列,h,(,n,)和,x,(,n,)长度分别为,N,和,M,，,L,=,N,+,M,1，求,y,(,n,)=,h,(,n,)*,x,(,n,)方法以下：,（1）在,h,(,n,)尾部加,L,N,个零点，在,x,(,n,)尾部加,L,M,个零点；,（2）计算,L,点,H,(,k,)=FFT,h,(,n,)和,L,点,X,(,k,)=FFT,x,(,n,);,（3）计算,Y,(,k,)=,H,(,k,),X,(,k,)；,（4）计算,Y,(,n,)=IFFT,Y,(,k,)，,n,=0，1，2，3，,L-,1。,但当,h,(,n,)和,x,(,n,)中任一个长度很长或者无限长时，需用书上介绍重合相加法和重合保留法。,14/157,3.3.3 用DFT/FFT进行频谱分析,对序列进行,N,点DFT/FFT就是对序列频域N点离散采样，采样点频率为,k,=2,k,/,N,k,=0,1,2,N,1。对信号进行频谱分析要关心三个问题：频谱分辨率、频谱分析范围和分析误差。DFT分辨率指是频域采样间隔2/,N,，用DFT/FFT进行频谱分析时，在相邻采点之间频谱是不知道，所以频率分辨率是一个主要指标，希望分辨率高，即2/,N,要小，DFT变换区间,N,要大。,15/157,当然，截取信号长度要足够长。但假如截取长度不够长，而依靠在所截取序列尾部加零点，增加变换区间长度，也不会提升分辨率。比如，分析周期序列频谱，只观察了一个周期1/4长度，用这些数据进行DFT，再经过尾部增加零点，加大DFT变换区间,N,，也不能分辨出是周期序列，更不能得到周期序列准确频率。,用DFT/FFT对序列进行频谱分析，频谱分析范围为;用DFT/FFT对模拟信号进行频谱分析，频谱分析范围为采样频率二分之一，即0.5,F,s,。,用DFT/FFT对信号进行谱分析误差表现在三个方面，即混叠现象、栅栏效应和截断效应。截断效应包含泄漏和谱间干扰。,16/157,3.4 例 题,例3.4.1,设,x,(,n,)为存在傅里叶变换任意序列，其Z变换为,X,(,z,)，,X,(,k,)是对,X,(,z,)在单位圆上,N,点等间隔采样，即,求,X,(,k,),N,点离散傅里叶逆变换（记为,x,N,(,n,)）与,x,(,n,)关系式。,解,:由题意知,17/157,即,X,(,k,)是对,X,(e,j,)在0,2上,N,点等间隔采样。因为,X,(e,j,)是以2为周期，所以采样序列,即以,N,为周期。所以它必定与一周期序列相对应，为DFS系数。,18/157,为了导出与,x,(,n,)之间关系，应将上式中,用,x,(,n,)表示：,所以,19/157,因为,所以,即是,x,(,n,)周期延拓序列，由DFT与DFS关系可得出,20/157,x,N,(,n,)=IDFT,X,(,k,)为,x,(,n,)周期延拓序列（以,N,为延拓周期）主值序列。以后这一结论能够直接引用。,例3.4.2,已知,x,(,n,)=,R,8,(,n,),X,(e,j,)=FT,x,(,n,),对,X,(e,j,)采样得到,X,(,k,)，,求,21/157,解,：直接依据频域采样概念得到,例3.4.3,令,X,(,k,)表示,x,(,n,),N,点DFT，分别证实：（1）假如,x,(,n,)满足关系式,x,(,n,)=,x,(,N,1,n,),则,X,(0)=0,（2）当N为偶数时，假如,x,(,n,)=,x,(,N,1n),则,22/157,证 （1）直接按DFT定义即可得证。因为,所以,令,n,=,N,1,m,，则,式+式得,23/157,所以,X,(0)=0,（2）因为,x,(,n,)=,x,(,N,1,n,)，所以,令,m,=,N,1,n,，则上式可写成,24/157,当时（,N,为偶数），,因为,所以,所以证得,25/157,例3.4.4,有限时宽序列,N,点离散傅里叶变换相当于其Z变换在单位圆上,N,点等间隔采样。我们希望求出,X,(,z,)在半径为,r,圆上,N,点等间隔采样，即,试给出一个用DFT计算得到算法。,解,:因为,26/157,所以,由此可见，先对,x,(,n,)乘以指数序列,r,n,，然后再进行,N,点DFT，即可得到题中所要求复频域采样。,27/157,例3.4.5,长度为,N,一个有限长序列,x,(,n,),N,点DFT为,X,(,k,)。另一个长度为2,N,序列,y,(,n,)定义为,试用,X,(,k,)表示,y,(,n,)2,N,点离散傅里叶变换,Y,(,k,)。,解,:该题能够直接按DFT定义求解。,28/157,上面最终一步采取是,X,(,k,)以,N,为周期概念。,29/157,例3.4.6,用DFT对模拟信号进行谱分析，设模拟信号,x,a,(,t,)最高频率为200 Hz，以奈奎斯特频率采样得到时域离散序列,x,(,n,)=,x,a,(,nT,)，要求频率分辨率为10 Hz。假设模拟,信号频谱Xa(j,)如图3.4.1所表示，试画出,X,(e,j,)=FT,x,(,n,)和,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)谱线图，并标出每个k值对应数字频率,k,和模拟频率,f,k,取值。,30/157,图3.4.1,31/157,解,:因为最高频率,f,max,=200 Hz，频率分辨率,F,=10 Hz，所以采样频率,f,s,为,观察时间,采样点数,N,=,T,f,s,=0.1400=40个,所以，对,x,a,(,t,)进行采样得,x,(,n,)=,x,a,(,nT,),n,=0,1,39,32/157,X,a,(j,f,)、,X,(e,j,)及,X,(,k,),N,分别如图3.4.2（a）、（b）、（c）所表示。,33/157,图3.4.2,34/157,当,f,s,=2,f,max,时，,f,=,f,max,对应，,由 可求得 ；当,f,s,2,f,max,时，,f,max对应,数字频率,=2,f,max,T,。,X,a,(i,f,)与,X,(,k,)对应关系（由图3.4.2（a）、（c）可看出）为,35/157,该例题主要说明了模拟信号,x,a,(,t,)时域采样序列,x,(,n,),N,点离散傅里叶变换,X,(,k,)与,x,a,(,t,)频谱,X,a,(j,f,)之间对应关,系。只有搞清该关系，才能由,X,(,k,)看出,X,a,(j,f,)频谱特征。不然，即使计算出,X,(,k,)，也搞不清,X,(,k,)第,k,条谱线对应于,X,a,(j,f,)哪个频率点采样，这么就达不到谱分析目标。实际中，,X,(,k,)求出后，也能够将横坐标换算成模拟频率，换算公式为,f,k,=,kF,=,k,/(,NT,)。直接作,X,a,(,kF,)=,X,a,(,f,k,)=,TX,(,k,)谱线图。,36/157,例3.4.7,已知,x,(,n,)长度为,N,，,X,(,z,)=ZT,x,(,n,)。要求计算,X,(,z,)在单位圆上,M,个等间隔采样。假定,M,N,，试设计一个计算,M,个采样值方法，它只需计算一次,M,点DFT。,解,:这是一个经典频域采样理论应用问题。依据频域采样、时域周期延拓以及DFT惟一性概念，轻易解答该题。,由频域采样理论知道，假如,即,X,(,k,)是,X,(,z,)在单位圆上,M,点等间隔采样,则,37/157,当然,即首先将,x,(,n,)以,M,为周期进行周期延拓，取主值区序列,x,M,(,n,)，最终进行,M,点DFT则可得到,应该注意，,M,N,，所以周期延拓,x,(,n,)时，有重合区，,x,M,(,n,)在重合区上值等于重合在,n,点处全部序列值相加。,38/157,显然，因为频域采样点数,M,N,，不满足频域采样定理，所以，不能由,X,(,k,)恢复,x,(,n,)，即丢失了,x,(,n,)频谱信息。,例3.4.8,已知序列,x,(,n,)=,1,2,2,1,h,(,n,)=,3,2,1,1 （1）计算5点循环卷积,y,5,(,n,)=,x,(,n,),L,h,(,n,);（2）用计算循环卷积方法计算线性卷积,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)。解：(1)这里是2个短序列循环卷积计算，能够用矩阵相乘方法(即用教材第82页式(3.2.7)）计算，也能够用类似于线性卷积列表法。因为要求5点循环卷积，所以每个序列尾部加一个零值点，按照教材式(3.2.7)写出,39/157,得到,y,5,(,n,)=,4,9,9,6,2。注意上面矩阵方程右边第一个55矩阵称为,x,(,n,)循环矩阵，它第一行是,x,(,n,)5点循环倒相，第二行是第一行向右循环移一位，第三行是第二行向右循环移一位，依次类推。,40/157,用列表法能够省去写矩阵方程，下面用列表法解：,41/157,表中第一行是,h,(,n,)序列，第2、3、4、5、6行前五列即是x(n)循环矩阵对应行。一样得到,y,5,(,n,)=,9,9,6,2。,（2）我们知道只有当循环卷积长度大于等于线性卷积结果长度时，循环卷积结果才能等于线性卷积结果。该题目中线性卷积长度为,L,4+41=7，所以循环卷积长度可选,L,=7，这么两个序列尾部分别加3个零点后，进行7点循环卷积，其结果就是线性卷积结果。即,42/157,得到,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)=,3,8,9,6,2,1,1,43/157,例3.4.9已知实序列x(n)和y(n)DFT分别为X(k)和Y(k)，试给出一个计算一次IDFT就可得出x(n)和y(n)计算方法。（选自北京交通大学硕士硕士入学试题。）,解：令 w(n)=x(n)+jy(n),对其进行DFT，得到,W(k)=X(k)+jY(k),w(n)=IDFTW(k),因为x(n)和y(n)分别为实序列，所以,x(n)=Rew(n),y(n)=Imw(n),44/157,例,3.4.10,已知,x,(,n,)(,n,=0，1，2，1023)，,h,(,n,)(,n,=0，1，2，15)。在进行线性卷积时，每次只能进行16点线性卷积运算。试问为了得到,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)正确结果，原始数据应作怎样处理，并怎样进行运算。（选自1996年西安电子科技大学硕士硕士入学试题。）,解,：将,x,(,n,)进行分组后，采取书上介绍重合相加法。,x,(,n,)长度为1024点，按照16分组，共分64组，记为,x,i,(,n,),i,=0,1,2,63。即,45/157,式中，,y,i,(,n,)=,x,i,(,n,)*,h,(,n,),i,=0,1,2,63。能够用FFT计算16点线性卷积,y,i,(,n,)。最终结果,y,(,n,)长度为1024+1611039。,例3.4.11,x,(,n,)是一个长度,M,=142信号序列，即：,x,(,n,)=0，当,n,0或,n,M,时。现希望用,N,100DFT来分析频谱。试问：怎样经过一次,N,=100DFT求得,k,=0,1,2,99；这么进行频谱分析是否存在误差？,46/157,解,：经过频率域采样得到频域离散函数，再对其进行IDFT得到序列应是原序列,x,(,n,)以,N,为周期进行周期化后主值序列。按照这一概念，在频域02采样100点，那么对应时域应以100为周期进行延拓后截取主值区。该题要求用一次100点DFT求得，能够用下式计算：,式中,k,对应频率为。这么进行频谱分析存在误差，误差是因为时域混叠引发。,47/157,3.5 教材第3章习题与上机题解答,1 计算以下序列,N,点DFT，在变换区间0,n,N,1内，序列定义为,(1),x,(,n,)=1,(2),x,(,n,)=(,n,),(3),x,(,n,)=(,n,n,0,)0,n,0,N,(4),x,(,n,)=,R,m,(,n,)0,m,N,(5),(6),48/157,(7),x,(,n,)=e,j,0,n,R,N,(n),(8),x,(,n,)=sin(,0,n,),R,N,(,n,),(9),x,(,n,)=cos(,0,n,),R,N,(,N,),(10),x,(,n,)=,nR,N,(,n,),解,：,(1),49/157,（2）,（3）,(4),50/157,(5),0,k,N,1,51/157,(6),52/157,0,k,N,1,(7),53/157,或,（8）解法一 直接计算：,54/157,解法二,由DFT共轭对称性求解。,因为,所以,所以,55/157,即,结果与解法一所得结果相同。此题验证了共轭对称性。,(9)解法一 直接计算:,56/157,解法二,由DFT共轭对称性可得一样结果。,因为,57/157,（10）解法一,上式直接计算较难，可依据循环移位性质来求解,X,(,k,)。因为,x,(,n,)=,nR,N,(,n,)，所以,x,(,n,),x,(,n,1),N,R,N,(,n,)+,N,(,n,)=,R,N,(,n,),等式两边进行DFT，得到,X,(,k,),X,(,k,),W,k,N,+,N,=,N,(,k,),58/157,故,当,k,=0时，可直接计算得出,X,(0)为,这么，,X,(,k,)可写成以下形式：,59/157,解法二,k,=0时，,k,0时，,60/157,所以，,，即,2 已知以下,X,(,k,)，求,x,(,n,)=IDFT,X,(,k,),(1),61/157,(2),其中，,m,为正整数，0,m,N,/2,N,为变换区间长度。,62/157,解:（1）,n,=0,1,N,1,63/157,(2),n,=0,1,N,1,64/157,3 已知长度为,N,=10两个有限长序列：,做图表示,x,1,(,n,)、,x,2,(,n,)和,y,(,n,)=,x,1,(,n,)*,x,2,(,n,)，循环卷积区间长度,L,=10。,解,:,x,1,(,n,)、,x,2,(,n,)和,y,(,n,)=,x,1,(,n,)*,x,2,(,n,)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所表示。,65/157,题3解图,66/157,4 证实DFT对称定理，即假设,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)，,证实,DFT,X,(,n,)=,N,x,(,N,k,),证：因为,所以,67/157,因为,所以,DFT,X,(,n,)=,N,x,(,N,k),k,=0,1,N,1,5 假如,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)，证实DFT初值定理,证:由IDFT定义式,68/157,可知,6 设x(n)长度为N，且,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)0,k,N,1,令,h,(,n,)=,x,(,n,),N,R,mN,(,n,),m,为自然数,H,(,k,)=DFT,h,(,n,),mN,0,k,mN,1,求H(k)与X(k)关系式。,解:,H,(,k,)=DFT,h,(,n,)0,k,mN,1,令,n,=,n,+,lN,l,=0,1,m,1,n,=0,1,N,1,则,69/157,因为,70/157,所以,7 证实:若,x,(,n,)为实序列，,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),N,，则,X,(,k,)为共轭对称序列，即,X,(,k,)=,X,*（,N,k,)；若,x,(,n,)实偶对称，即,x,(,n,)=,x,(,N,n,)，则,X,(,k,)也实偶对称；若,x,(,n,)实奇对称，即,x,(,n,)=,x,(,N,n,)，则,X,(,k,)为纯虚函数并奇对称。,71/157,证:(1)由教材(3.2.17)(3.2.20)式知道，假如将,x,(,n,)表,示为,x,(,n,)=,x,r,(,n,)+j,x,i,(,n,),则,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)=,X,ep,(,k,)+,X,op,(,k,),其中，,X,ep,(,k,)=DFT,x,r,(,n,)，是,X,(,k,)共轭对称分量；,X,op,(,k,)=DFTj,x,i,(,n,),是,X,(,k,)共轭反对称分量。所以，假如,x,(,n,)为实序列，则,X,op,(,k,)=DFTj,x,i,(,n,)=0，故,X,(,k,)=,DFT,x,(,n,)=,X,ep,(,k,)，即,X,(,k,)=,X,*(,N,k,)。,72/157,（2）由DFT共轭对称性可知，假如,x,(,n,)=,x,ep,(,n,)+,x,op,(,n,)且,X,(,k,)=Re,X,(,k,)+j Im,X,(,k,)则Re,X,(,k,)=DFT,x,ep,(,n,),j Im,X,(,k,)=DFT,x,op,(,n,)所以，当,x,(,n,)=,x,(,N,n,)时，等价于上式中,x,op,(,n,)=0,x,(,n,)中只有,x,ep,(,n,)成份，所以,X,(,k,)只有实部，即,X,(,k,)为实函数。又由（1）证实结果知道，实序列DFT必定为共轭对称函数，即,X,(,k,)=,X,*,(,N,k,)=,X,(,N,k,)，所以,X,(,k,)实偶对称。,73/157,同理，当,x,(,n,)=,x,(,N,n,)时，等价于,x,(,n,)只有,x,op,(,n,)成份（即,x,ep,(,n,)=0），故,X,(,k,)只有纯虚部，且因为,x,(,n,)为实序列，即,X,(,k,)共轭对称，,X,(,k,)=,X,*,(,N,k,)=,X,(,N,k,),为纯虚奇函数。8 证实频域循环移位性质：设,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)，,Y,(,k,)=DFT,y,(,n,)，假如,Y,(,k,)=,X,(,k,+l),N,R,N,(,k,)，则,74/157,证：,75/157,令,m,=,k,+l,则,9 已知,x,(,n,)长度为,N,，,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)，,76/157,求,Y,(,k,)与,X,(,k,)关系式。,解:,77/157,10 证实离散相关定理。若,X,(,k,)=,X,1,*,(,k,),2,(k),则,证：依据DFT惟一性，只要证实,即可。,78/157,79/157,令,m,=,l,+,n,，则,所以,80/157,当然也能够直接计算,X,(,k,)=,X,1,*,(,k,),X,2,(,k,)IDFT。,0,n,N,1,81/157,因为,0,n,N,1,所以,82/157,11 证实离散帕塞瓦尔定理。若,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)，则,证：,83/157,12 已知,f,(,n,)=,x,(,n,)+j,y,(,n,)，,x,(,n,)与,y,(,n,)均为长度为N实序列。设,F,(,k,)=DFT,f,(,n,),N,0,k,N,1,(1),(2),F,(,k,)=1+j,N,试求,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),N,，,Y,(,k,)=DFT,y,(,n,),N,以及,x,(,n,)和,y,(,n,)。,解,:由DFT共轭对称性可知,x,(,n,),X,(,k,)=,F,ep,(,k,),j,y,(,n,)j,Y,(,k,)=,F,op,(,k,),84/157,方法一 （1）,85/157,0,n,N,1,因为,0,n,m,N,1,86/157,所以,x,(,n,)=,a,n,0,n,N,1,同理,y,(,n,)=,b,n,0,n,N,1,（2）,F,(,k,)=1+j,N,，,87/157,方法二 令,只要证实,A,(,k,)为共轭对称，,B,(,k,)为共轭反对称，则就会有,A,(,k,)=,F,ep,(,k,)=,X,(,k,),B,(,k,)=,F,op,(,k,)=j,Y,(,k,),因为,，共轭对称,88/157,，共轭反对称,所以,89/157,由方法一知,x,(,n,)=IDFT,X,(,k,)=,a,n,R,N,(,n,),y,(,n,)=IDFT,Y,(,k,)=,b,n,R,N,(,n,),13 已知序列,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,)，0,a,1,对,x,(,n,)Z变换,X,(,z,)在单位圆上等间隔采样,N,点，采样序列为,求有限长序列IDFT,X,(,k,),N,。,解,:我们知道，,是以2为周期周期函数，所以,90/157,以,N,为周期，将看作一周期序列DFS系数，则,由式知为,91/157,将式代入式得到,因为,所以,92/157,由题意知,所以依据相关,X,(,k,)与,x,N,(,n,)周期延拓序列DFS系数关系有,93/157,因为0,n,N,1，所以,所以,说明：平时解题时，本题推导,94/157,过程可省去，直接引用频域采样理论给出结论（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。,14 两个有限长序列x(n)和y(n)零值区间为,x,(,n,)=0,n,0,8,n,y,(,n,)=0,n,0,20,n,对每个序列作20点DFT，即,X,(,k,)=DFT,x,(,n,)k=0,1,19,Y,(,k,)=DFT,y,(,n,)k=0,1,19,试问在哪些点上,f,(,n,)与,x,(,n,)*,y,(,n,)值相等,为何？,95/157,解,:如前所述，记,f,l,(,n,)=,x,(,n,)*,y,(,n,)，而,f,(,n,)=IDFT,F,(,k,)=,x,(,n,)20,y,(,n,)。,f,l,(,n,)长度为27，,f,(,n,)长度为20。由教材中式（3.4.3）知道,f,(,n,)与,f,l,(,n,)关系为,只有在如上周期延拓序列中无混叠点上，才满足,f,(,n,)=,f,l,(,n,),所以,f,(,n,)=,f,l,(,n,)=,x,(,n,)*,y,(,n,)7,n,19,96/157,15 已知实序列,x,(,n,)8点DFT前5个值为0.25,0.125-j0.3018,0,0.125-j0.0518,0。,（1）求,X,(,k,)其余3点值；,（2）,求,X,1,(,k,)=DFT,x,1,(,n,),8,；,（3）,，求,。,97/157,解,：（1）因为,x,(,n,)是实序列，由第7题证实结果有,X,(,k,)=,X,*(,N,k,)，即,X,(,N,k,)=,X,*(,k,),所以，,X,（,k,）其余3点值为,X,(5),X,(6),X,(7)=0.125+j0.0518,0,0.125+j0.3018,（2）依据DFT时域循环移位性质，,(3),98/157,16,x,(,n,)、,x,1,(,n,)和,x,2,(,n,)分别如题16图(a)、(b)和(c)所表示，已知,X,(,k,)=DFT,x,(,n,),8,。求,和,注:用,X,(,k,)表示,X,1,(,k,)和,X,2,(,k,)。,解,：因为,x,1,(,n,)=,x,(,n,+3),8,R,8,(,n,),x,2,(,n,)=,x,(,n,2),8,R,8,(,n,)，所以依据DFT时域循环移位性质得到,99/157,17 设,x,(,n,)是长度为,N,因果序列，且,试确定,Y,(,k,)与,X,(e,j,)关系式。,100/157,解,：,y,(,n,)是,x,(,n,)以,M,为周期周期延拓序列主值序列，依据频域采样理论得到,18 用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率,F,50 Hz，信号最高频率为 1 kHz，试确定以下各参数：,(1)最小统计时间,T,p min,；,(2)最大取样间隔,T,max,；,(3)最少采样点数,N,min,；,(4)在频带宽度不变情况下，使频率分辨率提升1倍（即F缩小二分之一）,N,值。,101/157,解,:（1）已知,F,=50 Hz，因而,（2）,（3）,102/157,（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使统计时间扩大1倍，即为0.04 s，实现频率分辨率提升1倍（,F,变为原来1/2）。,19 已知调幅信号载波频率,f,c,=1 kHz，调制信号频率,f,m,=100 Hz，用FFT对其进行谱分析，试求：,(1)最小统计时间,T,p min,;,(2)最低采样频率,f,s min,;,(3)最少采样点数,N,min,。,103/157,解,：调制信号为单一频率正弦波时，已调AM信号为,x,(,t,)=cos(2,f,c,t,+,j,c,)1+cos(2,f,m,t,+,j,m,),所以，已调AM信号,x,(,t,)只有3个频率：,f,c,、,f,c,+,f,m,、,f,c,f,m,。,x,(,t,)最高频率,f,max,=1.1 kHz，频率分辨率F100 Hz（对本题所给单频AM调制信号应满足100/,F,=整数，方便能采样到这三个频率成份）。故,(1),(2),104/157,(3),（注意，对窄带已调信号能够采取亚奈奎斯特采样速率采样，压缩码率。而在本题解答中，我们仅按基带信号采样定理来求解。）,20 在以下说法中选择正确结论。线性调频Z变换能够用来计算一个有限长序列,h,(,n,)在,z,平面实轴上诸点,z,k,Z,变换,H,(,z,k,)，使,105/157,(1),z,k,=,a,k,k,=0,1,N,1,a,为实数，,a,1;,(2)zk=ak,k=0,1,N1,a,为实数，,a,1;,(3)(1)和(2)都不行，即线性调频,Z,变换不能计算,H,(,z,)在,z,平面实轴上取样值。,解,：在chirp-,Z,变换中，在,z,平面上分析,N,点为,z,k,=,AW,k,k,=0,1,N,1,其中,所以,当,A,0,=1,0,=0,W,0,=,a,1,j,=0时，,z,k,=,a,k,故说法（1）正确,说法（2）、（3）不正确。,106/157,21 我们希望利用,h,(,n,)长度为,N,=50FIR滤波器对一段很长数据序列进行滤波处理，要求采取重合保留法经过DFT(即FFT)来实现。所谓重合保留法，就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为,M,=100个采样点)，但相邻两段必须重合,V,个点，然后计算各段与,h,(,n,),L,点(本题取,L,=128)循环卷积，得到输出序列,y,m,(,n,)，,m,表示第,m,段循环卷积计算输出。最终，从,y,m,(,n,)中选取,B,个样值，使每段选取,B,个样值连接得到滤波输出,y,(,n,)。,107/157,(1)求,V,；,(2)求,B,；,(3)确定取出,B,个采样应为,y,m,(,n,)中哪些样点。,解,:为了便于叙述，要求循环卷积输出序列,y,m,(,n,)序列标号为,n,=0,1,2,127。,先以,h,(,n,)与各段输入线性卷积,y,lm,(,n,)分析问题，因为当,h,(,n,)50个样值点完全与第,m,段输入序列,x,m,(,n,)重合后，,y,lm,(,n,)才与真正滤波输出,y,(,n,)相等，所以，ylm(n)中第0点到第48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确滤波输出序列,y,(,n,)第,m,段，即,B,=51。,108/157,所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确点连接,得到不间断又无多出点,y,(,n,)，必须重合10051,=49个点，即,V,=49。,下面说明，对128点循环卷积,y,m,(,n,)，上述结果也是正确。我们知道,因为,y,lm,(,n,)长度为,N+M1=50+1001=149,109/157,所以,n,从21到127区域无时域混叠，,y,m,(,n,)=,y,lm,(,n,)，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出51点为从第49点到第99点,y,m,(,n,)。,总而言之，总结所得结论：,V,=49,B,=51,选取,y,m,(,n,)中第4999点作为滤波输出。,读者能够经过作图来了解重合保留法原理和本题解答。,110/157,22 证实DFT频域循环卷积定理。,证,：DFT频域循环卷积定理重写以下:,设,h,(,n,)和,x,(,n,)长度分别为,N,和,M,，,y,m,(,n,)=,h,(,n,),x,(,n,),H,(,k,)=DFT,h,(,n,),L,X,(,k,)=DFT,X,(,n,),L,则,L,X,(,k,),其中，,L,max,N,，,M,。,111/157,依据DFT惟一性，只要证实,y,m,(,n,)=IDFT,Y,m,(,k,)=,h,(,n,),x,(,n,)，就证实了DFT频域循环卷积定理。,112/157,23*已知序列,x,(,n,)=,1,2,3,3,2,1。（1）求出,x,(,n,)傅里叶变换,X,(e,j,)，画出幅频特征和相频特征曲线(提醒：用1024点FFT近似,X,(e,j,)；（2）计算,x,(,n,),N,（,N,6）点离散傅里叶变换,X,(,k,)，画出幅频特征和相频特征曲线；（3）将,X,(e,j,)和,X,(,k,)幅频特征和相频特征曲线分别画在同一幅图中，验证,X,(,k,)是,X,(e,j,)等间隔采样，采样间隔为2/,N,；（4）计算,X,(,k,),N,点IDFT，验证DFT和IDFT惟一性。,113/157,解,：该题求解程序为ex323.m，程序运行结果如题23*解图所表示。第（1）小题用1024点DFT近似,x,(,n,)傅里叶变换；第（2）小题用32点DFT。题23*解图(e)和(f)验证了,X,(,k,)是,X,(e,j,)等间隔采样，采样间隔为2/,N,。题23*解图(g)验证了IDFT惟一性。,114/157,题23*解图,115/157,24*给定两个序列:,x,1,(,n,)=,2,1,1,2,x,2,(,n,)=,1,1,1,1。,（1）直接在时域计算,x,1,(,n,)与,x,2,(,n,)卷积；,（2）用DFT计算,x,1,(,n,)与,x,2,(,n,)卷积，总结出DFT时域卷积定理。,解,：设,x,1,(,n,)和,x,2,(,n,)长度分别为,M,1,和,M,2,，,X,1,(,k,)=DFT,x,1,(,n,),N,X,2,(,k,)=DFT,x,2,(,n,),N,Y,c,(,k,)=,X,1,(,k,),X,2,(,k,),y,c,(,n,)=IDFT,Y,c,(,k,),N,所谓DFT时域卷积定理，就是当,N,M,1,+,M,2,1时，,y,c,(,n,)=,x,1,(,n,)*,x,2,(,n,)。,116/157,本题中，,M,1,=,M,2,=4，所以，程序中取,N,=7。本题求解程序ex324.m以下：,%程序 ex324.m,x1n=2 1 1 2；x2n=1 1 1 1；,%时域直接计算卷积yn：,yn=conv(x1n，x2n),%用DFT计算卷积ycn：,M1=length(x1n)；M2=length(x2n)；N=M1+M21；,X1k=fft(x1n，N)；%计算x1nN点DFT,X2k=fft(x2n，N)；%计算x2nN点DFT,Yck=X1k.*X2k；ycn=ifft(Yck，N),117/157,程序运行结果：,直接在时域计算,x,1,(,n,)与,x,2,(,n,)卷积yn和用DFT计算,x,1,(,n,)与,x,2,(,n,)卷积ycn以下：,yn=2 1 2 2 2 1 2,ycn=2.0000 1.0000 2.0000 2.0000,2.0000 1.0000 2.0000,118/157,2