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对高中数学的函数符号和图象的再认识
一、 关于函数符号：
高中阶段的函数符号象一个魔术箱，它变化多样，弄懂了函数符号的意义，就容易理解函数的图象和性质，如符号，起码可以有三种意义：1.函数;2.函数的图象上横坐标为3—2x的点的纵坐标;3. 函数的图象上横坐标为x的点的纵坐标.另处还可以看出函数的图象可以由函数的图象通过平移、伸缩和对称等基本变换而得到.具体是：的图象———————→的图象———————→的图象
———————→的图象.（要求在各箭头上下填上描述变化的文字）.
1. (Ⅰ)已知函数的图象过点（1，2），则函数的图象必过的一个点的坐标是 ;
(Ⅱ)已知函数的图象过点（1，2），则函数的图象必过的一个点的坐标是 ;
2. 若函数的定义域为[-1,3],求函数的定义域;
3. 若函数对任意的x∈R,.
(Ⅰ)求实数b的值; (Ⅱ)不求函数值利用函数图象的对称性比较的大小.
4. 设二次函数满足：对任意实数t都有成立，则函数值中，最小的一个不可能是（ ）
A．f(－1) B．f(1) C．f(2) D．f(5)
5. 函数的图象与函数的图象（ ）
A.关于直线对称： B. 关于直线对称
C.关于点（4，0）对称; D.关于点（2，6）对称.
6. 若函数满足：，且.求的值.
二、 函数的单调性、奇偶性和周期性：
函数的单调性、奇偶性和周期性仍然要通过函数符号来体现.
7. 函数的单调性
（Ⅰ）设，那么
上是增函数；
上是减函数.
(Ⅱ)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
8. 如果函数和都是增（减）函数,则在公共定义域内,和函数是增（减）函数.如果函数是增函数，函数是减函数，则在公共定义域内,差函数是增函数. 如果函数是减函数，函数是增函数，则在公共定义域内,差函数是减函数.
9. 复合函数的单调性满足“同增异减”：即复合函数，外函数，内函数，若这三个中有两个的单调性相同，则第三个是增函数;若有两个的单调性相反，则第三个是减函数.
10. 奇、偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
若函数是偶函数，则或；
若函数是偶函数，则.不论是否具有奇偶性，函数都是偶函数.
11. 对于函数(),若恒成立,则函数的图象的一条对称轴是直线;两个函数与的图象关于直线对称.
12. 若,则函数的图象关于点对称;
若,则函数的图象关于点对称.
13. 若对于函数的定义域内的任一，存在非零常数T,使，就称是周期函数，非零常数T是的一个周期.周期性体现了函数图象的一种平移特征，函数图象上任一个点向左或向右平移周期的整数倍，平移得到的点仍在这个函数的图象上.若,则函数是周期为的周期函数.若函数的图象上有两个等高的对称中心和（），则是函数的周期. 若函数的图象有两条竖直的对称轴和，则是函数的周期.若函数的图象有一个对称中心（）和一条竖直对称轴，则是函数的周期.周期函数的定义域必须是无限长的，左边伸向-，右边伸向+.
14. 多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项的系数全为零.
15. 若原函数具有奇偶性，则原函数和导函数的奇偶性相反.（用导数定义可证明）
16. 二次函数满足：对∀，或.即：二次函数图象上，两个相异等高点的横坐标的和等于顶点横坐标的2倍.两个零点之间的距离是＝，其中
三、 图象的变换（平移、伸缩、对称）
掌握了图象的变换规律，方便用熟悉的图象来理解不熟悉的图象.基本变换有三种：平移、伸缩、对称.由一个图变成另一个图，要施行一个或多个基本变换.
17. 由函数的图象得到函数的图象，只需向 平移 个单位长度;由函数的图象得到函数的图象，只需向 平移 个单位长度;当时，由函数的图象得到函数的图象，所要平移的方向和单位长度由 决定;当 时，向 平移 个单位长度;当 时，向 平移 个单位长度.这样的变换称作左右平移变换.如由函数的图象得到函数的图象，只需向 平移 个单位.
18. 由函数的图象得到函数的图象，只需保持函数的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，就得到函数的图象.把这种变换称作左右伸缩变换.如把函数的图象变为函数的图象，所要进行的变换是 . 把函数的图象变为函数的图象，所要进行的变换是 .把函数的图象变为函数的图象，可进行的左右伸缩变换是 .
19. 由函数的图象得到函数的图象，只需保留函数的图象处于y轴右边和y轴上的那部分不变，右边翻转到左边（右边仍然保留），就得到了函数的图象. 由函数的图象得到函数的图象，只需保留函数的图象处于y轴左边和y轴上的那部分不变，左边翻转到右边（左边仍然保留），就得到了函数的图象.
20. 由函数的图象得到函数的图象，只需保留函数的图象处于x轴上方和x轴上的那部分不变，下方翻转到上方（下方不再保留），就得到了函数的图象. 由函数的图象得到函数的图象，只需保留函数的图象处于x轴下方和x轴上的那部分不变，上方翻转到下方（上方不再保留），就得到了函数的图象.
19和20的变换是最基本的对移变换，统称为翻转变换，19是左右翻转，20是上下翻转.其它的对称变换用解析几何的知识更容易解决.不论哪一种变换，用“点对”法更容易理解些.所谓点对，就是坐标有某种关联的两个点.
21. 函数的图象的对称性
(Ⅰ)函数的图象关于直线对称.
(Ⅱ)函数的图象关于直线对称
.
(Ⅲ)函数的图象关于直线对称
.
22. 两个函数图象的对称性
(Ⅰ)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(Ⅱ)函数与函数的图象关于直线对称.
(Ⅲ)函数和的图象关于直线y=x对称.
23. 当时，把函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.其它情形可类比得出.
四、 作出下列函数的图象
（1）y=x+1 (2) 2x —3y=6 (3) y= —x+2 (x∈[-2,1])

(4) y= (5) (6)

(7) (8) (9)

(10) (11) (12)

(13) （14） （15）

（16） (17) (18)

(19) (20) (21)

(22) （23） （24）

(25) (26) (27)

（28） （29） (30)

(31) (32) (33)

(34) (35) (36)

(37) (38) (39)

(40) (41) (42)

五、 借助图象完成下列各题：
24. 函数的单调递增区间是 ;单调递减区间是 ;
25. 函数的值域是 ;函数的值域是 ;
函数的值域是 ; 函数的值域是 .
26. 函数单调递减区间是 ;单调递增区间是 ;
27. 函数的值域是 ; 函数的值域是 ; 函数的值域是 .
28. 函数的最大、最小值分别是 、 ;
29. 函数的值域是 ; 函数的值域是 ;
的值域是 ;函数的值域是 ;
30. 直线与曲线有公共点时，实数b的取值范围是 .
31. 不等式解集是 ; 不等式解集是 ;
若不等式的解集为R，则实数a的取值范围是 ;.若不等式的解集为R，则实数b的取值范围是 ;.若不等式的解集为R，则实数c的取值范围是 .
32. （1）已知复数z的模为2.求|z+2|的取值范围;（2）已知复数z满足|z+i|+|z-i|=2.求复数z+1+i的模的最大值和最小值;（3）已知复数z满足|z+4|+| z— 4|=10.求复数z的模的最大值和最小值.
33. 某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49％，电视机拥有率为85％，洗衣机拥有率为44％，至少拥有上述三种电器中的两种以上的占63％，三种电器齐全的占25％，那么一种电器都没有的相对贫困户所占的比例为（ ）A.10% B.12% C.15% D.27%
34. 已知0<a<1,则方程的实根个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.1或2或3
35. 点M是椭圆上的一点，M到左焦点F1的距离为2，点N为线段MF1的中点，点O为坐标原点，则|ON|=（ ）
A. B.2 C.4 D.8
36. （1）如果实数x,y满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
（2）如果实数x,y满足，则的最大值为（ ）（选项与36（1）同）
37. 求函数y＝的最小值.
38. （1）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为，∠A的平分线所在直线的方程为.若点B的坐标为（1，2）.求点A和点C的坐标.
（2）已知△ABC的顶点A(3,—1),AB边上的中线所在直线方程为6x+10y—59=0,∠B的平分线所在直线方程为x—4y+10=0,求BC边所在直线方程.

39. 当曲线（－2≤x≤2）与直线y=r(x－2)+4有两个不同的交点时，求实数r的取值范围.

40. 设A={x|—2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}, C={z|z=x2，x∈A}.若C⊆B.求实数a的取值范围.

41. 已知集合M=，集合N=,且M∩N≠φ.求实数b的取值范围.

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