高中数学必修2-4.3《空间直角坐标系》同步练习.doc

4.3《空间直角坐标系》同步练习
一、选择题
1．如右图所示的坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是(　　)
A．(－1，－1，－1)
B．(1，－1,1)
C．(1，－1，－1)
D．(－1,1，－1)
[答案]　C
[解析]　依据空间点的坐标定义可知，点A的坐标是(1，－1，－1)．
2．点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是(　　)
A．(1,2,3)　　　　　　　　 B．(－1，－2,3)
C．(－1,2，－3) D．(1，－2，－3)
[答案]　B
3．已知点A(－3,1,5)与点B(4,3,1)，则AB的中点坐标是(　　)
A．(，1，－2) B．(，2,3)
C．(－12,3,5) D．(，，2)
[答案]　B
4．点A在z轴上，它到点(3,2,1)的距离是，则点A的坐标是(　　)
A．(0,0，－1) B．(0,1,1)
C．(0,0,1) D．(0,0,13)
[答案]　C
[解析]　设A(0,0，c)，则＝，解得c＝1.所以点A的坐标为(0,0,1)．
5．△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－，2,3)，则它在yOz平面上射影图形的面积是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案]　D
[解析]　△ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，△ABC在yOz平面上的射影是一个直角三角形A′B′C′，容易求出它的面积为1.
6．空间直角坐标系中，点A(3,2，－5)到x轴的距离d等于(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　过A作AB⊥x轴于B，则B(3,0,0)，则点A到x轴的距离d＝|AB|＝.
二、填空题
7．已知P(，，z)到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.
[答案]　0或－4
[解析]　利用中点坐标公式可得AB中点C(，，－2)，因为|PC|＝3，所以＝3，解得z＝0或z＝－4.
8．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．
[答案]　64
[解析]　设棱长为a，则＝，∴a＝4，∴V＝43＝64.
9．在空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．
[答案]　
[解析]　|AM|＝
＝，∴对角线|AC1|＝2，
设棱长x，则3x2＝(2)2，∴x＝.
三、解答题
10．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，若点P(x,0，z)满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．
[解析]　因为PA⊥AB，所以△PAB是直角三角形，所以|PB|2＝|PA|2＋|AB|2，即(x＋1)2＋(z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1，整理得x＋z＝1①
同理，由PA⊥AC得|PC|2＝|PA|2＋|AC|2，
即(x－2)2＋1＋(z－1)2＝x2＋1＋z2＋4＋1，整理得2x＋z＝0②
由①②解得x＝－1，z＝2，所以点P的坐标为P(－1,0,2)．
11．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度．
[分析]　(1)D是原点，先写出A，B，B1，C1的坐标，再由中点坐标公式得M，N的坐标；(2)代入空间中两点间距离公式即可．
[解析]　(1)因为D是原点，则D(0,0,0)．
由AB＝BC＝2，D1D＝3，
得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．
∵N是AB的中点，∴N(2,1,0)．
同理可得M(1,2,3)．
(2)由两点间距离公式，得
|MD|＝＝，
|MN|＝＝.
12．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a(0<a<)．

(1)求MN的长度；
(2)当a为何值时，MN的长度最短？
[解析]　因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直．取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为|BC|＝1，|CM|＝a，点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点M(a,0,1－a)．
因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|＝a，所以点N(a，a,0)．
(1)由空间两点间的距离公式，得
|MN|＝
＝，
即MN的长度为.
(2)由(1)，得|MN|＝＝.
当a＝(满足0<a<)时，取得最小值，即MN的长度最短，最短为.

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