全国高中数学联赛试题及解析 苏教版9.doc

1989年全国高中数学联赛
(10月15日上午8∶00—10∶00)
一．选择题(本题满分30分，每小题5分)：
1．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则复数
z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA)
在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( )
A．(－π，π) B．[－π，π] C．(－π，π) D．[－π，π]
3．对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－l)与函数y=f(－x+l)的图象恒( )
A．关于x轴对称 B．关于直线x=l对称 C．关于直线x=－l对称 D．关于y轴对称
4．以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为( )
A．0 B．6 C．8 D．24
5．若
M={z| z=+i，t∈R，t≠－1，t≠0}，
N={z| z=[cos(arcsint)+icos(arccost)]，t∈R，|t|≤1}．
则M∩N中元素的个数为
A．0 B．1 C．2 D．4
6．集合
M={u|u=12m+8n+4l，其中m，n，l∈Z}
N={u|u=20p+16q+12r，其中p，q，r∈Z}
的关系为
A．M=N B．MËN，NËM C．MN D．NM
三．填空题(本题满分30分，每小题5分)
1．若loga<1，则a的取值范围是 ．
2．已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l¢⊥l，则l¢与l的交点坐标为 ．
3．设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)= |f1(x)－2|，则函数y=f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .
4．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 ．
5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足
a2－a1≥3，与a3－a2≥3，
那么，所有符合上述要求的不同取法有 种．
6．当s和t取遍所有实数时，则
(s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2
所能达到的最小值为 ．
三．(本题满分20分)
已知a1，a2，…，an是n个正数，满足
a1∙a2∙…∙an=1．
求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．
四．(本题满分20分)
已知正三棱锥S—ABC的高SO=3，底面边长为6，过点A向其所对侧面SBC作垂线，垂足为O¢，在AO¢上取一点P，使=8，求经过点P且平行于底面的截面的面积．
五．(本题满分20分)
已知：对任意的n∈N*，有an>0，且 a=(aj)2．求证：an=n．
第二试
(上午10∶30—12∶30)
一．(本题满分35分)
A
B
C
E
F
已知 在ΔABC中，AB>AC，ÐA的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．
求证 2AF=AB-AC．
二．(本题满分35分)
已知xi∈R(i=1，2，…，n；n≥2)，满足
|xi|=1，xi=0，
求证：≤－ ．
三．(本题满分35分)
有n×n（n≥4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除（即总能表示成4k的形式，其中k∈Z）．
1989年全国高中数学联赛解答
第一试
一．选择题(本题满分30分，每小题5分)：
1．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则复数
z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA)
在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：0°<A、B<90°<A+B<180°．故90°>A>90°－B>0°，sinA>cosB，cosA<sinB．
故cosB－sinA<0，sinB－cosA>0．点Z位于第二象限．选B
2．函数f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( )
A．(－π，π) B．[－π，π] C．(－π，π) D．[－π，π]
解：因x∈[－1，1]，故arctanx∈[－，]，arcsinx∈[－，]，且f(－1)=－，f(1)= ．选D
3．对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－l)与函数y=f(－x+l)的图象恒( )
A．关于x轴对称 B．关于直线x=l对称 C．关于直线x=－l对称 D．关于y轴对称
解：令x－1=t，则得f(t)=f(－t)，即f(t)关于t=0对称，即此二图象关于x=1对称．选B
4．以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为( )
A．0 B．6 C．8 D．24
解：以不相邻的4个顶点为顶点的四面体的8个面都是锐角三角形．其余的三角形都不是锐角三角形．选C．
5．若
M={z| z=+i，t∈R，t≠－1，t≠0}，
N={z| z=[cos(arcsint)+icos(arccost)]，t∈R，|t|≤1}．
则M∩N中元素的个数为
A．0 B．1 C．2 D．4
解：M的图象为双曲线xy=1(x≠0，x≠1)N的图象为x2+y2=2(x≥0)，二者无公共点．选A．
6．集合
M={u|u=12m+8n+4l，其中m，n，l∈Z}
N={u|u=20p+16q+12r，其中p，q，r∈Z}
的关系为
A．M=N B．MËN，NËM C．MN D．NM
解：u=12m+8n+4l=4(3m+2n+l)，由于3m+2n+l可以取任意整数值，故M表示所有4的倍数的集合．
同理u=20p+16q+12r=4(5p+4q+3r)也表示全体4的倍数的集合．于是M=N．
三．填空题(本题满分30分，每小题5分)
1．若loga<1，则a的取值范围是 ．
解：若0<a<1，则loga<0，若a>1，则得a>．故填(0，1)∪(，+∞)
2．已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l¢⊥l，则l¢与l的交点坐标为 ．
解：直线l¢方程为(x+10)－2y=0，解得交点为(2，6)．
3．设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)= |f1(x)－2|，则函数y=f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .
解 图1是函数f0(x)=|x|的图形，把此图形向下平行移动1个单位就得到函数f0(x)=|x|－1的图形，作该图形的在x轴下方的部分关于x轴的对称图形得出图2，其中在x轴上方的部分即是f1(x)=|f0(x)–1|的图象，再把该图象向下平行移动2个单位得到f0(x)=|x|－2的图象，作该图象在x轴下方的部分关于x轴的对称图形得到图3，其中x轴上方的部分即是f2(x)= |f1(x)–2|的图象。易得所求面积为7。
4．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 ．
解 设其小数部分为α(0<α<1)，整数部分为n(n∈N*)，则得，α(n+α)=n2，
∴ n2<n+α<n+1．
∴ <n<，
但n∈N*，故n=1，得，α2+α－1=0，
∴ a=，
由α>0，知，a=．∴ 原数为．
5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足
a2－a1≥3，与a3－a2≥3，
那么，所有符合上述要求的不同取法有 种．
解：令a1¢=a1，a2¢=a2－2，a3¢=a3－4，则得1≤a1¢<a2¢<a3¢≤10．所求取法为C=120．
6．当s和t取遍所有实数时，则
(s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2
所能达到的最小值为 ．
解：令x=3|cost|，y=2|sint|，则得椭圆+=1在第一象限内的弧段．
再令x=s+5，y=s，则得y=x－5，表示一条直线．(s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2表示椭圆弧段上点与直线上点距离平方．其最小值为点(3，0)与直线y=x－5距离平方=2．
三．(本题满分20分)
已知a1，a2，…，an是n个正数，满足
a1∙a2∙…∙an=1．
求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．
证明：∵ 2+ai=1+1+ai≥3，(i=1，2，…，n)
∴ (2+a1)(2+a2)…(2+an)=(1+1+a1)(1+1+a2)…(1+1+an)≥3∙3∙…∙3≥3n=3n．
证法2：(2+a1)(2+a2)…(2+an)=2n+(a1+a2+…+an)2n－1+(a1a2+a1a3+…+an－1an)2n－2+…+a1a2…an
但a1+a2+…+an≥n=n=C，
a1a2+a1a3+…+an－1an≥C=C，……，
∴ (2+a1)(2+a2)…(2+an)=2n+(a1+a2+…+an)2n－1+(a1a2+a1a3+…+an－1an)2n－2+…+a1a2…an
≥2n+C2n－1+C2n－2+…+C=(2+1)n=3n．
四．(本题满分20分)
已知正三棱锥S—ABC的高SO=3，底面边长为6，过点A向其所对侧面SBC作垂线，垂足为O¢，在AO¢上取一点P，使=8，求经过点P且平行于底面的截面的面积．
解：正三棱锥S—ABC的高为SO，故AO⊥BC，设AO交BC于E，连SE．则可证BC⊥面AES．故面AES⊥面SBC．
由AO¢⊥面SBC于O¢，则AO¢在面AES内，O¢在SE上．AO¢与SO相交于点F．
∵ ABC为正三角形，AB=6，故AE=3，OE=．
∵ SO=3，∴ tan∠OES=，∠E=60°．
∴ O¢E=AEcos60°=．
作O¢G⊥平面ABC，则垂足G在AE上．O¢G=O¢Esin60°=．
∵ =8，∴ =，ÞPH=2．
设过P与底面平行的截面面积为s，截面与顶点S的距离=3－2=1．
∴ S△ABC=·62=9．
∴ =()2，故s=．
五．(本题满分20分)
已知：对任意的n∈N*，有an>0，且 a=(aj)2．求证：an=n．
证明：由已知，a13=a12，a1>0，∴ a1=1．
设n≤k(k∈N，且k≥1)时，由a =(aj)2成立可证ak=k成立．
当n=k+1时，a=(aj)2=(aj)2+2ak+1(aj)+a．
即 k2(k+1)2+a=k2(k+1)2+2ak+1·k(k+1)+a．
∴ a－ak+1－k(k+1)=0，解此方程，得ak+1=－k或ak+1=k+1．由an>0知，只有ak+1=k+1成立．
即n=k+1时命题也成立．由数学归纳原理知对于一切n∈N*，an=n成立．
第二试
一．(本题满分35分)
已知 在ΔABC中，AB>AC，ÐA的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．
求证 2AF=AB-AC．
证明：在FB上取FG=AF，连EG、EC、EB，
于是ΔAEG为等腰三角形，∴EG=EA．
又Ð3=180°－ÐEGA=180°－ÐEAG=180°－Ð5=Ð4．
Ð1=Ð2．于是ΔEGB≌ΔEAC．∴BG=AC，
故证
二．已知xi∈R(i=1，2，…，n；n≥2)，满足
|xi|=1，xi=0，
求证：≤－ ．
证明：由已知可知，必有xi>0，也必有xj<0(i，j∈{1，2，…，n，且i≠j)．
设x，x，…，x为诸xi中所有>0的数，x，x，…，x为诸xi中所有<0的数．由已知得
X= x+x+…+x=，Y= x+x+…+x=－．
于是当>－时，=+≤x－x=－=－．
于是当<－时，=－－≤－x－x=－=－．
总之，≤－ 成立．
三．有n×n（n≥4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除（即总能表示成4k的形式，其中k∈Z）．
证明 基本项共有n!个，n>3，则基本项的个数为4的倍数，设共有4m项．
其中每个数aij(=±1)都要在(n－1)!个基本项中出现，故把所有基本项乘起来后，每个aij都乘了(n－1)!次，而n>3，故(n－1)!为偶数，于是该乘积等于1．这说明等于－1的基本项有偶数个，同样，等于+1的基本项也有偶数个．
若等于－1的基本项有4l个，则等于+1的基本项有4m－4l个，其和为4m－4l－4l=4(m－2l)为4的倍数；
若等于－1的基本项有4l－2个，则等于+1的基本项有4m－4l+2个，其和为4m－4l+2－4l+2=4(m－2l+1)为4的倍数．故证．