2014高中数学-一题多变一题多解特训(四).doc

一题多解和一题多变（四）
题型一：一题多解
题目：椭圆的焦点是，椭圆上一点P满足，下面结论正确的是———————————————————————（ ）
（A）P点有两个 （B）P点有四个

（C）P点不一定存在 （D）P点一定不存在

解法一：
以为直径构圆，知：圆的半径，即圆与椭圆不可能有交点。故选D
解法二：
由题知，而在椭圆中：，不可能成立故选D
解法三：
由题意知当p点在短轴端点处最大，设，此时为锐角，与题设矛盾。故选D
解法四：
设，由知，而无解，故选D
解法五：
设，假设，则，而
即：，不可能。故选D
解法六：，
故不可能。故选D
解法七：设由焦半径知：

而在椭圆中而>,故不符合题意，故选D
解法八.
设圆方程为： 椭圆方程为：
两者联立解方程组得：

不可能
故圆与椭圆无交点
即 不可能垂直
故选D

题型二：一题多变
设椭圆过点，且左焦点为.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足.证明：点总在定直线上.
解答：第（1）题易得椭圆方程为（过程略）；主要第（2）题证明如下：
A
B
P
Q

如图，设，由三角形的相似得：

化简得：
现设直线（k必存在）代入椭圆方程，
得：
由韦达定理，得：
代入式，化简得： ，代入直线方程，得：
两式联立，消去，得：，
即点在定直线上，得证.
变1：设椭圆，当过点（其中）的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足
证明：点在定直线上.
变2：设双曲线，过点（其中）的动直线与双曲线相交于两不同点，在线段上取点，满足
证明：点在定直线上.
证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（，且
不同时小于）（注：实际上还可包括圆）；设直线（注：当k不存在的情况需另行证明，这里略），两式联立，消去，得：

设，得
现设，由条件知，点在线段外，不失一般性，在图象中，从左到右这四个字母的顺序是，故由三角形的相似得：
，即
现韦达定理代入式，化简得：

，化简得：
点在直线上，得证.

变3：设抛物线，当过点（其中）的动直线与抛物线相交于两不同点，在线段上取点，满足
证明：点在定直线上.
证明：设直线，代入抛物线方程，得：
设，得
现设，由条件知，点在线段外，不失一般性，在图象中，从左到右这四个字母的顺序是，故由三角形的相似得：
，即：
现韦达定理代入式，化简得：

，化简得：
点在直线上，得证.

练一小手：

设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，定点，求证：三点共线.
证明：设，（这里m是定值，n是变量）切点
对双曲线两边求导，得：
点代入，得：，化简，得：
同理，点代入，得：
即所在直线为： 令，则
即也在直线上，所以三点共线.
变1：已知双曲线及定点，过直线上任一点P作双曲线的两条切线，切点为，求证：三点共线.
变2：已知及定点，过直线上任一点P作椭圆的两条切线，切点为，求证：三点共线.
证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（，且
不同时小于）（注：实际上还可包括圆）
两边求导，得：
设，（这里m是定值，n是变量）
代入，得：，即：
所以
同理，代入，得
所以所在直线方程为
令，得，即点在直线上.
变3：已知抛物线及定点，过直线上任一点P作抛物线的两条切线，切点为，求证：三点共线.
证明：对两边求导，
设，（这里m是定值，n是变量）
代入，得：，即： 所以：
同理，代入，得
所以所在直线方程为，令，得
即点在直线上.

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