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,量子力学教程,(,第二版,),3.4,连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,量子力学教程,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,3.4.1,连续谱本征函数是不能归一化,一维粒子动量本征值为,本征函数,(,平面波,),为,能够取,中连续改变一切,实数,值,.,不难看出，只要,则,在量子力学中,坐标和动量取值是连续改变,;,角动量取值是离散,;,而能量取值则视边条件而定,.,比如,第1页,当然,任何真实波函数都不会是严格平面波,而是某种形式波包,.,它只在空间某有限区域不为零,.,假如此波包广延比所讨论问题中特征长度,大得多,而粒子在此空间区域中各点概率密度改变,极微,则不妨用平面波来近似描述其状态,.,是不能归一化,.,在上例中,连续谱本征函数是不能归一化,.,第2页,能够引用数学上,Dirac,为方便地处理连续谱本征函数“归一化”,我们,函数,.,3.4.2,函数,函数定义,第3页,由,Fourier,积分公式,对于分段连续函数,(b),函数也可表成,比较式,(a),与,(b),领域连续任何函数,对于在,(a),等价地表示为,:,第4页,平面波,“,归一化,”,问题,还能够采取数学上,传统做法,即先让粒子局限于有限空间 中运动,(,最,后才让,).,动量本征态为 在周期条件下,3.4.3,箱归一化,此时,为了,确保动量算符,为厄米算符,就要,求波函数满足周期性边条件,.,第5页,一样,不能归一化坐标本征态也可类似处理,.,所以,若取动量本征态为,则,这么,就用 函数形式把平面波“归一化”,表示出来了,.,第6页,由周期条件,得,(,粒子波长 即,).,即 或 所以,或,能够看出,动量可能取值 就是不连续,.,只要,第7页,此时,与 对应动量本征态取为,利用正交归一化条件,利用这一组正交归一完备函数,能够组成以下 函数,:,第8页,现在让,即动量可能取值趋于连续改变,.,于是,此时,能够把,而,或,第9页,在处理详细问题时,如要防止,计算过程中,出现平面波“归一化”困难,则能够用箱归一化波函数 代替不能归一化,.,在计算,最终结果,才让,.,正交完备归一化波函数为,结论,则,函数可以下组成,:,三维情况,第10页,上式表明,相空间一个体积元,相当于有一个量子态,.,而,最终,当 时,将连续改变,第11页,设有,一组彼此对易,且函数独立厄米算符,它们,共同本征函数,记为,是,一组量子数,笼统记号,.,3.4.4,力学量完全集,定义,设给定,之后,就能够确定体系一个可能状态，,则称,组成体系一组力学量完全集,.,第12页,表示在 下测量 得到 值概率,.,这是波函数统计诠释普通表述,.,按照态叠加原理,体系任何一个状态 均可用 展开,(,这里假定 本征值是,离散,),利用,正交归一性,归一化条件,第13页,比如,一维谐振子,Hamilton,量本身就组成力学量完全,集,(,也是,守恒量完全集,).,对于一维自由粒子,因为能量本征态有简并,并不组成力学量完全集,.,但把空间反射 考虑进去,力学量完全集能够选为,对于一维粒子,动量 就组成力学量完全集与这类似,坐标 也能够组成力学量完全集,.,第14页,注意,体系一组力学量完全集中,力学量个数,并不一定等于自由度数目,.,普通说来,力学量完全集,中力学量个数体系自由度数目,.,用一组力学量完全集共同本征函数来展开体,系任意波函数,在数学上包括,完备性,这么一个颇,为复杂问题,.,第15页,经验,如,力学量完全集中包含有体系,Hamilton,量,而,本征值又有下界,则能够证实,这一组力学量完全集共同本征态组成该体系态空间一组完备基矢,即体系任何一个态均可用它们展开,.,自然界中实际物理体系 本征值都有,下界,.,所以,体系任何态总能够用包含 在内一组力学量完全集共同本征态来展开,.,在 不显含 情况下,这种力学量完全集称为,守恒量完全集,.,在量子力学中,找寻体系守恒量完全集是一个极主要问题,.,第16页,量子力学中,力学量用对应线性厄米算符来表示,其含义以下,:,试验上,观察 可能值,必为算符 某一本征值,.,在量子态 之下,力学量,平均值,由下式确定,力学量之间关系经过,对应算符之间关系反应出来,.,比如两个力学量 与 能够同时含有确定观察值必要条件,在普通情况下,为,反之,若 则普通说来,力学量 与 不能同时测定,.,第17页,尤其是,在 不显含 情况下,一个力学量,是否是守恒量,能够依据 与 是否,对易,来判断,.,详细详见,4.1,节,!,第18页,
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