4-9晶格的状态方程和省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Solid State Physics,School of Physics,Northwest University,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,4,9,晶格状态方程和热膨胀,(,state equation and thermal expansion of crystal lattice,),一、晶格自由能,（,free energy of crystal lattice,),二、晶格状态方程,（,state equation of crystal lattice),三、热膨胀,(,thermal expansion,),本节基本思绪：由热力学基本关系给出晶格自由能主要性，然后导出晶格自由能和状态方程；最终介绍热膨胀系数以及产生热膨胀原因。,第1页,一、晶格自由能,（,free energy of crystal lattice,),1,、基本热力学关系,(,basal thermodynamics relation,),晶格热力学关系中，晶格自由能是最基本物理量，一旦求出晶格自由能,F(T,V),，,则从,dF=-PdV-SdT,式中，经过压强与自由能关系可得状态方程,f(P,V,T)=0,从状态方程可求出一些热力学参量。,压强,P,、熵,S,、定容热容,C,V,和自由能,F(T,V),关系为,:,F=U-TS dF=-PdV-SdT,从热力学基本关系能够看出,要知道,P,、,S,、,C,V,等这些物理量和,T,、,V,关系，首先应计算自由能,F,。,第2页,2,、晶格自由能,（,free energy of crystal lattice),晶格能量包含两部分：静止能量和振动能量。,对,N,个原子组成晶体，能够表示为,其中,i,为格波圆频率。上式第一项,U,为,T,0K,时晶格结合能，即静止能量；第二项为,T0,时晶格振动总能量。,由此，晶格自由能对应地也为两部分：,1,）,F,1,U(V),只与晶体体积相关而与温度无关，这部分便是,T=0,时晶格结合能；,2,）,F,2,U(T),与晶格振动相关。,所以,晶格自由能,F,F,1,+F,2,U(V),U(T),第3页,下面我们求,F,2,。,由统计物理我们知道：,F,2,k,B,TlnZ,（,1,）,其中,Z,是晶格振动配分函数。,假如某格波圆频率为,i,，频率,i,=,i,/2,则其配分函数为,其中,g,n,是能级,E,n,简并度。普通地,g,n,1,。,所以,（上式中求和，对于给定 频率是一等比数列）,第4页,对于由,N,个原子组成晶体应有,3N,个振动是独立，所以晶格振动体系配分函数应是,3N,个配分函数乘积,（,3,）,代入,F,2,表示式（,1,），有,（,2,）,所以，晶格自由能为：,F,F,1,+F,2,（,4,）,用圆频率表示为,（,5,）,第5页,二、晶格状态方程 （,lattice state equation,),1,、方程普通形式,因为晶体非线性振动，当体积改变时，圆频率,i,也伴随改变，所以圆频率是体积函数。由热力学基本方程能够得到晶体状态方程为,（,6,）,这是晶格状态方程普通形式。,2,、格临爱森近似状态方程,(,Gr,neisen approximate state equation,),而表征频率随体积改变量,是一个无量纲量。,注意到,上式括号内是平均振动能,第6页,格临爱森假定表征频率随体积改变量对全部振动都相同，而且令,称之为,格临爱森常数（,Gr,neisen constant,）,。,格临爱森常数和晶格非线性振动相关，对于多数固体，它在,1,3,之间。,则得到,格临爱森近似状态方程,为：,（,8,）,其中 表示晶格平均振动能。,从（,8,）式能够看出，晶体状态方程中，压强由两部分组成：,是与势能相关压强,与温度无关，起因于原子之间相互作用，决定于内聚能与体积关系。,则是与晶格振动相关压强，称为热压强，是温度与体积函数,第7页,在（,8,）式中，令,p,0,，则,（,9,）,下列图是,U(V),函数示意图：在平衡位置处，,（极小值位置）,这里,V,0,是晶体处于平衡 位置时体积。,由（,9,）式，当原子平均振动能随温度增加时 则,必须取正值，这表示体积必须发生一定 膨胀,V,使图线到达一定正斜率。,三、热膨胀,(thermal expansion),1,、热膨胀系数,(thermal expansion coefficient),热膨胀,-,是在不施加压力情况下，体积随温度改变。,据此我们能够导出热膨胀系数。,第8页,普通热膨胀较小，能够把,（,dU/dV,）,在,V,0,附近展开，而且只保留到,V,一级项，得,或,（,10,）,其中分母中恰好是静止晶格体弹性模量,K,0,。当温度改变时，上式右边主要是振动能改变。,将（,10,）式对温度求微商即得到,体积膨胀系数,（,11,）,这称为,格临爱森定律,，它表示当温度改变时，热膨胀系数,近似与热容量成正比。,第9页,2,、热膨胀产生原因,(reasons of thermal expansion),我们知道，在势能展开式中，近似到平方项，是简谐近似；高阶项常称为非谐作用。,假如晶体中振动是严格简谐振动，晶体将不会因受热而膨胀。因为热膨胀包括原子间距随温度改变，简谐近似无法反应热膨胀现象，只有考虑到非谐项影响才能反应出原子间距随温度改变。,下面以双原子分子为例讨论产生热膨胀原因。,由格临爱森常数以及一维双原子链色散关系可知，,（,V,2Na,）,第10页,而,2,，所以又有,（,12,）,实际是相邻原子势能二次微商系数,所以，能够看出，假如非谐项不存在，有,则由（,13,）式知，,0,，将不会发生热膨胀。,所以，,非谐效应是热膨胀原因。,将,用,表示，代入式（,12,）得,（,13,）,表示三次微商。,其中,第11页,假如原子之间相互作用是严格简谐作用，相互作用势能曲线是顶点在平衡位置抛物线，这时,就没有热膨胀。,所以，物体热膨胀就是因为势能曲线不对称所造成。,这也能够由原子之间相互作用势能曲线说明：,以下列图所表示是原子之间相互作用势能和各阶导数曲线，,由图可见在平衡位置,所以,晶体会发生热膨胀。,第12页,另外，从势能曲线也能够看到非谐效应是热膨胀产生原因。,我们知道，势能曲线是不对称。其实正是这种不对称性造成了物体热膨胀。假设有两个原子,1,）,若势能曲线对原子平衡位置对称,，则当原子振动后，其平衡位置与振幅大小无关，假如这种振动就是热振动，则两原子之间距离将和温度无关，即,在任何情况下，两原子间距都相同，原子一直维持在平衡位置，不可能有热膨胀,。,2,）实际曲线并不是严格抛物线，而是不对称复杂函数。曲线左边较陡，右边比较平滑，所以当原子振动后，伴随振幅增加，平衡位置将向右移动。正是,势能曲线这种不对称性才引发物体热膨胀。,第13页,两原子间相互作用势能曲线,第14页,用经典方法计算温度升高时,平均位置向右移动距离,:,假设,r,0,是原子平衡位置,是离开平衡位置位移,.,把原子在点,r,0,+,势能,U(r,0,+,),在平衡位置附近展开,则,第一项为常数,第二项为零,.,若取势能,U(r,0,)=0,而且令,忽略,3,以上各项,则,(1),式为,(1),第15页,按玻耳兹曼统计,平均位移是,:,在势能展开式中计入非对称项,则,(2),设,很小,则,(2),式分子能够写成,同时（,2,）式分母为,第16页,所以能够得到：,线胀系数为：,第17页,Summary,free energy of crystal lattice,basal thermodynamics relation,free energy of crystal lattice,state equation of crystal lattice,ordinary form of the equation,Gr,neisen approximate state equation,thermal expansion,thermal expansion coefficient,reasons of thermal expansion,第18页,4,10,晶格热传导,(heat conductivity of crystal lattice),一、热传导概念,(concept of heat conductivity),二、热传导微观解释,(micro-interpret of heat conductivity),三、声子声子相互作用,（,interaction of phonon and phonon),四、晶格热导率温度依赖关系,(temperature rely on relationship of lattice,conductivity,),本节基本思绪,:,介绍热传导和热导率概念,给出热传导微观解释,然后说明声子,-,声子相互作用过程,最终介绍晶格热导率对温度依赖关系,.,第19页,一、热传导概念,(concept of heat conductivity),1,、热传导,(,heat conductivity,),热传导,当固体中温度分布不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，这种现象称为,热传导,。,2,、傅立叶定律,(,Fouriers law,),固体中若存在温度梯度，将有热能从高温处流向低温处，热流密度矢量,j,正比于温度梯度,（,1,）,百分比系数,称为热传导系数或热导率。这称为,傅立叶定律。,热流密度矢量,(,thermal current density vector,),表示单位时间内经过单位截面传输能量。,3,、晶格导热与电子导热,(heat conducted by lattice and electron),经过格波传输导热称为,晶格导热,，而经过电子运动导热则称为,电子导热,。,第20页,二、热传导微观解释,（,micro-interpret of heat conductivity),1,、气体热传导微观解释,当气体分子从温度高地域运动到温度低地域时，它将经过碰撞把所带较高平均能量传给其它分子；而当气体分子从温度低地域运动到温度高地域时，它将经过碰撞取得一部分能量，这种能量传递过程在宏观上就表现为热传导。,可见，分子间碰撞对气体导热有决定作用。简单说来，气体导热能够看作是在一个平均自由程,之内，冷热分子相互交换位置结果。,气体热导率为,（,2,）,其中,c,v,为单位体积热容，,为自由程，为热运动平均速度。,第21页,2,、晶格热传导微观解释,假如把晶格热运动系统看成是“声子”气体，平均声子数由温度决定,当系统内存在温度梯度时，,“,声子气体,”,密度分布是不均匀，高温处,“,声子,”,密度高，低温处,“,声子,”,密度低，因而,“,声子,”,气体在无规运动基础上产生平均定向运动，即声子扩散运动。所以，,晶格传导能够看作是,“,声子,”,扩散运动结果,.,热导率公式与气体热导率公式相同，只需把其中气体运动平均速度换成声子速度即可。即,其中，,表示声子平均自由程，,v,0,是声子速度，通常取固体中声速。,第22页,三、声子声子相互作用,（,interaction of phonon and phonon,),1,、非谐作用使晶格振动到达热平衡,简谐近似下,晶格振动能够用一系列线性独立谐振子描述，声子之间没有相互作用，也不交换能量。某一个声子一旦被激发出来，其数目就保持不变，既不能把能量传递给其它频率声子，也不能使自己处于平衡状态。,考虑到非谐作用后,谐振子就不再独立，声子之间要交换能量。,假如开始时只存在某种频率声子，因为声子之间相互作用，这种频率声子转换成另一个频率声子。即某一个频率声子要湮灭，而另一个频率声子要产生。经过一段时间后，各种声子频率就到达热平衡。,所以，,非谐作用是晶格振动到达热平衡最主要原因。,“,声子,”,扩散过程实际就是声子之间交换能量过程。,或者说声子之间经过碰撞相互交换能量，使晶格振动到达热平衡。,第23页,2,、,N,过程和,U,过程,(,Normal process and Umklapp process,),非谐作用是指势能展开式中三次以上高阶项。势能三次方项对应三声子过程：两个声子碰撞产生另一个声子或一个声子劈裂成两个声子。而四次方项则对应四声子过程。,声子之间相互作用不是随意，既然是碰撞，声子之间相互作用必须遵从能量守恒和动量守恒定律。,设两个相互碰撞声子频率和波矢分别为,1,、,q,1,、,2,、,q,2,，,第三个声子频率和波矢分别是,3,、,q,3,，则应有,（,3,）,（,4,）,（,4,）式中,表示倒格子矢量。,第24页,情况,：,（,5,）,这表示第三个声子运动方向仍在原来方向上，即在碰撞过程中声子动量没有发生改变，这么过程叫做正常过程（正规过程），简称,N,过程（,Normal process,）。,N,过程只是改变了动量分布，而不影响热流方向，它对热阻没有贡献。,则表示第三个声子运动方向倒转过来了，称作倒逆过程（翻转过程），简称,U,过程（,Umklapp process,）。,U,过程使声子动量发生很大改变，从而破坏了热流方向，所以,U,过程对热阻是有贡献。,第25页,下列图是正常过程与倒逆过程示意图：,倒逆过程,正常过程,也就是说，若在碰撞过程中声子动量没有发生改变，这种情况称为正常过程，这时，矢量和是在第一布里渊区矢量。,而倒逆过程中声子动量发生很大改变（如上图所表示），这时合矢量落在布区以外，但总能够找到一定 （且是唯一），使矢量和回到第一布区。,第26页,四、晶格热导率温度依赖关系,(,temperature rely on relationship of lattice conductivity,),前面我们知道，对晶格热传导声子散射模型，其热导率与声子平均自由程相关。,不过，由声子碰撞确定声子平均自由程，与温度有亲密关系。,1,、高温情况：,这时，,T,德拜温度,D,，对于全部晶格振动模，平均声子数,T,，即,（,5,）,温度升高时，声子间相互“碰撞”几率增大，自由程减小，自由程与温度成反比。且在高温下，热容与温度无关。,所以高温情况下热导率与温度成反比。,第27页,2,、低温情况：,低温时，,T,D,，被激发声子数,是一个很小值。,其平均自由程,（,6,）,为,2,3,之间数字，表明温度下降时，自由程将快速增加。,真正对热阻起作用是声子碰撞,U,过程，而这必须有短波参加才能发生。但短波往往是高能量格波，这么格波振动随温度下降而下降得很快。也就是说，,低温下自由程增大是因为,U,过程中必须参加短波声子数降低结果,。,低温下，尽管晶格热容遵从德拜,T,3,定律，但热导率,随温度改变主要决定于,指数因子，即,随温度降低而指数增大,。,第28页,3,、,极低温度情况：,极低温度情况下，声子平均自由程能够增大到与声子被晶格缺点散射所决定平均自由程相比拟，甚至能够与晶体样品有限尺寸相比拟。这时平均自由程不再是非谐效应引发本征自由程，而应是以缺点空间分布或样品尺寸所决定与温度无关平均自由程。这时，,热导率温度依赖关系将与晶格热容温度依赖关系（,T,3,）相同。,Summary,concept of heat conductivity,micro-interpret of heat conductivity,interaction of phonon and phonon,temperature rely on relationship of lattice conductivity,第29页,思索题：,1,什么是非谐效应？它和固体一些热学性质有什么关系？,2,什么是倒逆过程？倒逆过程对晶格热阻有什么影响？这个过程发生条件是什么？,第30页,