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本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,2-4 粒子流密度和粒子数守恒定律,一、概率分布随时间改变及连续性方程,二、粒子数、质量、电荷守恒定律,三、波函数标准条件,四、波函数普通是复数,第1页,2-4 粒子流密度和粒子数守恒定律,一、概率分布随时间改变及连续性方程,1概率分布随时间改变,因为总概率（或粒子数）守恒，所以假如有区域粒子数增加，必定有区域粒子数降低，说明有一定数目标粒子从一个区域转移到了另一区域。寻求一个概率流密度矢量来表示单位时间内穿过单位面积概率（概率流动），则会使图象更明确。,2概率分布连续性方程,假设 已归一化,描写态，描写概率分布（概率云）。假设有很大数目标,N,个相同但独立粒子，同处于 态，则 表示粒子数在空间分布。不停随,t,改变，分布 及 也不停改变，求解薛定谔方程即可得到它们改变规律。,第2页,令,得概率分布,连续性方程,第3页,讨论：,（1）把连续性方程两边对空间任意一个体积求积分，得,上式左边是粒子在体积 内概率随时间改变率，右边代表单位时间内流进或流出该体积概率。正因为如此，称为,概率流密度矢量,。,（2）假如波函数在无穷远处为零，将积分区域扩展到整个空间，则,即在整个空间内找到粒子概率与时间无关，总概率守恒。,第4页,二、粒子数、质量、电荷守恒定律,粒子数密度,粒子流密度,粒子数守恒定律,即单位时间内体积 内粒子数改变等于穿过 边界面 流出或流入粒子数。,同理：,质量守恒定律,电荷守恒定律,第5页,三、波函数标准条件,描写体系物理状态，它必须满足一定条件，解薛定谔方程时一定要选满足标准条件解。,1,单值性,因概率密度 、概率流密度矢量 有唯一确定值，所以,是 和 单值函数。,2,有限性,3,连续性,概率密度连续性要求波函数是连续，而概率流密度连续性则要求波函数一阶导数是连续。,简而言之，波函数应该是,单值,、,有限,和,连续,。这就是,波函数应满足标准条件,。,概率密度 不会无穷大，所以 也是有限。,y,第6页,四、波函数普通是复数,1薛定谔方程中一边含有虚数，要求波函数不可能是纯实数或虚数。,设 ，,u,和,v,为二实量，代入薛定谔方程中，得,等号两边实部、虚部分别相等，则,u,、,v,彼此相联，不论哪一个都不是薛定谔方程解，只有复数才是解。,第7页,2概率流密度要求波函数也不可能是纯实量或虚量。,假如,u,、,v,有一个恒为0，则 ，不能描写体系运动，故波函数普通应为复数。,注：,但定态时波函数为实数，描写驻波是能够。,第8页,2-5 定态薛定谔方程,一、不含时薛定谔方程,二、能量本征值和能量本征值方程,三、定态及其特点,四、含时薛定谔方程普通解,第9页,2-5 定态薛定谔方程,一、不含时薛定谔方程,当 时，薛定谔方程存在能够分离变量特解,代入薛定谔方程，得,所以,定态薛定谔方程,第10页,二、能量本征值和能量本征值方程,从数学上来说，对于任何,E,值，定态薛定格方程都有解。但并非对于一切,E,值所得出解都满足物理上要求。这些要求中，有依据波函数统计解释而提出要求（如,单值、有限、连续,），也有依据体系详细物理情况提出要求（如,束缚态时无穷远处波函数为零,），只有一些,E,值所对应解，才满足物理上要求。这些,E,值称为体系,能量本征值,，对应波函数称为,能量本征函数,，定态薛定谔方程称为体系,能量本征值方程,。,上式中 是能量算符，称为,哈密顿算符,，记为,定态薛定格方程简写为,第11页,一个算符作用在一个函数上等于一个常量乘以该函数，这么方程叫,算符本征值方程,，该函数叫,算符本征函数,，该常量叫,算符本征值,。,比如，力学量 本征值方程为,式中,第 个本征值,对应本征值 本征函数,假如本征值 对应 个不一样本征函数,称该本征值,i,重（度）简并。,当体系处于算符 本征态 时，含有确定值 。,第12页,三、定态及其特点,假如粒子初始时刻（）处于某一个能量本征态,满足 ,且 不显含时间，则,显然，它也满足,定态特点,：,（1）概率密度 不随时间改变，,形成稳定分布；,（2）概率流密度 不随时间改变；,（3）。,即 依然保持为体系能量本征态（能量本征值为 ），所以波函数 所描述态称为定态。,n,E,第13页,四、含时薛定谔方程普通解,定态仅是薛定谔方程一特解，普通束缚态问题中会有许多个定态解,普通解为这些定态波函数线性叠加,可见，普通解不再是定态，,E,没有单一确实定值，测得,E,取值 概率为 ，、与时间相关。,2,n,c,第14页,作业,2.1,第15页,
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