6-SIMULINK仿真基础之数值积分法仿真省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,本章主要教学内容,本章主要介绍控制系统数学模型相关知识，经过本章学习，读者应掌握以下内容：,求解常微分方程数值解普通方法,数值积分法基本概念及其惯用方法,以系统微分方程或传递函数作为数学模型仿真过程及程序设计方法,以系统动态结构图作为数学模型仿真过程及程序设计方法,仿真步长选择与系统仿真精度和稳定性对应关系,快速仿真算法概念、特点及其应用,第6章 数值积分法仿真,第1页,6.1,数值积分法,6.1.1 概述,数字仿真模型、算法及仿真工具,控制系统数字仿真是利用数字计算机作为仿真工具，采取数学上各种数值算法求解控制系统运动微分方程，得到被控物理量运动规律。,通常，计算机模拟被控对象是用一定仿真算法来实现被控对象运动规律，这是基于被控对象数学模型来完成。,控制系统数学模型经过合理近似及简化，大多数建立为常微分方程表示形式。因为数学计算难度和实际系统复杂程度，在实际中碰到大部分微分方程难以得到其解析解，通常都是经过数字计算机采取数值计算方法来求取其数值解。在高级仿真软件（比如MATLAB）环境下，已提供了功效十分强大、且能确保对应精度数值求解功效函数或程序段，使用者仅需要按要求语言规格调用即可，而无需从数值算法底层考虑其编程实现过程。,第2页,6.1.2 离散化原理,在数字计算机上对连续系统进行仿真时，首先碰到问题是，数字计算机数值及时间都是离散（计算精度，指令执行时间），而被仿真系统数值和时间是连续，后者怎样用前者来实现？,设系统模型为：,其中u(t)为输入变量，y(t)为系统状态变量。令仿真时间间隔为h,离散化后输入变量为u(t,k,),其中t,k,表示t=kh。假如 u(t,k,)u(t,k,),y(t,k,)y(t,k,)，则认为两模型等价，称为相同原理。,对仿真建模方法有三个基本要求：,1、稳定性，若原系统是稳定，则离散化后仿真模型也得是稳定,2、准确性，绝对或相对误差小于要求误差,3、快速性，数字仿真是一步步推进，由某个初始值y,0,出发，依次计算出y,1,、y,2,y,k,，每一步计算所需时间决定了仿真速度。,第3页,6.1.3,数值积分法,普通情况下，在控制系统仿真中最惯用、最基本求解常微分方程数值解方法主要是数值积分法。,对于形如 系统，已知系统状态变量y初值y,0,现要计算y随时间改变过程y(t)，对微分方程积分能够写作：,右图所表示曲线下面积就,是y(t),因为难以得到积分,数值表示式，所以采取,近似方法，惯用有三种形式：,欧拉法,梯形法,龙格一库塔法,第4页,欧拉公式,采取矩形面积近似积分结果，即当t=t,k+1,时,h,k,=t,k+1,-t,k,若步距不变，则h,k,=h.为了提升精度，人们提出了“梯形法”，其中最简单是,亚当姆斯预报校正公式,，先用欧拉法预计近似值，然后用梯形法进行校正：,第5页,龙格-库塔法基本原理,在连续系统仿真中，主要数值计算工作是求解一阶微分方程：,若已知y初值y,0,再按离散化原理，对上式我们能够写成：,再对上式右端函数f(t,y)(为任意非线性函数)在t,k,附近展开成泰勒级数，依照展开阶次不一样我们就组成了不一样龙格-库塔公式。,第6页,二阶龙格库塔公式,记在t,k,时刻状态变量为y,k,并定义两个附加向量型变量,:,第7页,四阶龙格,库塔公式,：,不论几阶RK法，它们计算公式都是由两部分组成，即上一步结果y,k,和步长h乖以t,k,至t,k+1,时间间隔间各外推点导数ki加权平均和,第8页,有了上面数学算法，就能够用MATLA编写出该算法函数：,functiontout,yout=rk4(odefile,tspan,y0),t0=tspan(1);th=tspan(2);,if length(tspan),0,本步失败，但仍采取上式，重新进行积分。,第19页,6.3,面向微分方程仿真程序设计,6.3.1 通用仿真程序普通结构及工作原理,1.,通用仿真程序基本结构,以数字计算机作为仿真工具，使用适当算法语言来编制通用仿真程序，能够针对不一样系统进行对应仿真处理。按常规组成结构，通用仿真程序可分为,3,个层次，即主程序块、功效程序块、基本子程序块。,各模块功分析能以下：,（1）主程序：完成仿真逻辑控制，实现各功效模块调用、模型转换、系统运行、输入输出控制等。,第20页,（2）初始化程序：完成各类初始数据准备工作，如设置工作单元、给定变量初值和系统仿真参数等。,（3）运行程序：实现系统运行控制，调用数值积分法完成仿真算法处理，得出系统响应结果。,（,4,）输出程序：按用户指定输出形式，能够在显示器、打印机、绘图仪等设备上将仿真结果以数据、动态曲线、图形等方式输出。,第21页,2.,仿真程序流程框图,第22页,MATLAB提供了两个常微分方程求解函数ode23()、ode45(),分别采取了二阶三级RKF方法和四阶五级RKF法，并采取自适应变步长求解方法，即当解改变较慢时采取较大计算步长，从而使得计算速度很快；当解改变较快时，步长会自动变小，从而使计算精度提升。,Syntax,T,Y=solver(odefun,tspan,y0),T,Y=solver(odefun,tspan,y0,options),where solver is one of ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,or ode23tb.ArgumentsodefunA function that evaluates the right-hand side of the differential equations.All solvers solve systems of equations in the form or problems that involve a mass matrix,.The ode23s solver can solve only equations with constant mass matrices.ode15s and ode23t can solve problems with a mass matrix that is singular,i.e.,differential-algebraic equations(DAEs).tspanA vector specifying the interval of integration,t0,tf.To obtain solutions at specific times(all increasing or all decreasing),use tspan=t0,t1,.,tf.y0A vector of initial conditions.optionsOptional integration argument created using the odeset function.See odeset for details.p1,p2.Optional parameters that the solver passes to odefun and all the functions specified in options,第23页,Description,T,Y=solver(odefun,tspan,y0)with tspan=t0 tf integrates the system of differential equations from time t0 to tf with initial conditions y0.Function f=odefun(t,y),for a scalar t and a column vector y,must return a column vector f corresponding to.Each row in the solution array Y corresponds to a time returned in column vector T.To obtain solutions at the specific times t0,t1,.,tf(all increasing or all decreasing),use tspan=t0,t1,.,tf.,T,Y=solver(odefun,tspan,y0,options)solves as above with default integration parameters replaced by property values specified in options,an argument created with the odeset function.Commonly used properties include a scalar relative error tolerance RelTol(1e-3 by default)and a vector of absolute error tolerances AbsTol(all components are 1e-6 by default).See odeset for details.,Example 1.An example of a nonstiff system is the system of equations describing the motion of a rigid body without external forces.,第24页,To simulate this system,create a function rigid containing the equations,function dy=rigid(t,y),dy=zeros(3,1);%a column vector,dy(1)=y(2)*y(3);,dy(2)=-y(1)*y(3);,dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);,In this example we change the error tolerances using the odeset command and solve on a time interval 0 12 with an initial condition vector 0 1 1 at time 0.,options=odeset(RelTol,1e-6,AbsTol,1e-6 1e-6 1e-5);,T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1,options);,Plotting the columns of the returned array Y versus T shows the solution,plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),-.,T,Y(:,3),.),第25页,第26页,Example 2.An example of a stiff system is provided by the van der Pol equations in relaxation oscillation.The limit cycle has portions where the solution components change slowly and the problem is quite stiff,alternating with regions of very sharp change where it is not stiff.,To simulate this system,create a function vdp1000 containing the equations,function dy=vdp1000(t,y),dy=zeros(2,1);%a column vector,dy(1)=y(2);,dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,For this problem,we will use the default relative and absolute tolerances(1e-3 and 1e-6,respectively)and solve on a time interval of 0 3000 with initial condition vector 2 0 at time 0,.,T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0);,plot(T,Y(:,1),-o),第27页,第28页,Plot(t,y(:,2),第29页,6.6,面向结构图仿真程序设计,面向结构图线性系统仿真基本思想为：,（1）把一个复杂高阶线性系统化成由若干经典步骤组成模拟结构图表示。,（2）将各经典步骤参数以及系统各步骤连接关系输入计算机。,（3）仿真程序将输入系统模型自动转化为状态空间描述，即状态方程形式。,（,4,）,调用数值积分法求解，并输出仿真结果。,第30页,经典步骤确实定及算法描述,经典步骤选择是主要一个步骤，它应具备下述两个标准：,（1）经典性由它可方便地组成其它任何形式动态步骤。,（2）简易性由它组成系统简便，计算机编程轻易实现。,常见动态步骤,依据控制理论可知，在实际控制系统中比较常见动态步骤主要有以下五种：,（1）积分步骤,（2）百分比积分步骤,（3）惯性步骤,（4）一阶超前（或滞后）步骤,（,5,）,二阶振荡步骤,第31页,6.5,快速仿真算法,在对系统进行仿真时，会碰到较高阶次控制系统，因为采取计算机档次不高会影响到仿真计算速度，占用较长机时；在参数寻优时往往需要对控制系统进行重复仿真计算，也将使计算过程加长；另外，系统实时仿真也会对仿真快速性提出较高要求。对于前面所讨论数值积分法因为有对应计算工作量，单纯加大仿真步长会影响到系统仿真精度和稳定性问题。,本节介绍几个惯用快速仿真方法，采取这些方法来编制仿真计算子程序，能够填补数值积分法仿真在速度上缺点，便于在实际工程中系统仿真时合理地加以选择，到达提升系统仿真速度最终目标。,第32页,6.5.1 时域矩阵法,时域矩阵法是一个在时域内采取无穷矩阵进行系统仿真算法，它每一步计算量较小，而且与系统阶次无关，适合于系统快速仿真。,采取时域矩阵法来分析和讨论系统动态性能具备下述特点：,（,1,）时域矩阵法多用于采样控制系统，因为采取,脉冲过程函数,g,（,t,）来计算系统闭环响应，不会因系统阶次增加而加大计算工作量，从而提升了仿真速度；但有时求解高阶系统,脉冲过程函数,g,（,t,）会有一定难度。,（,2,）因为每个采样时刻,g,（,k,）是准确计算出来，所以采取时域矩阵法仿真时系统采样周期（或仿真步距）能够选得大些。,（,3,）时域矩阵法可推广到非线性系统快速仿真。,第33页,6.5.2,增广矩阵法,增广矩阵法是将系统控制量增广到状态变量中，使原来非奇次常微分方程变为一个齐次方程。,6.5.3,替换法,快速仿真系统通常比较关注系统仿真速度应该到达要求要求，而对精度普通不做太高要求。对于一个高阶系统，假如能从它传递函数,G,（,s,）直接推导出与之相匹配而且允许较大采样周期,T,脉冲传递函数,G,（,z,），然后由,G,（,z,）取得仿真模型，这将对提升仿真速度十分有利。相匹配含义是指若,G,（,s,）是稳定，那么,G,（,z,）也是稳定，同时，当输入相同外作用信号时，由,G,（,z,）求出响应和由,G,（,s,）求出响应含有相同特征。,要设法找出,s,与,z,对应公式，将,G,（,s,）中,s,替换为,z,，求得,G,（,z,）表示式，这种方法称为替换法。,第34页,6.5.6,根匹配法,为了实现对控制系统进行快速仿真，应结构一个,G,（,z,），它允许较大采样周期,T,，且能确保,G,（,z,）在零、极点分布上与,G,（,s,）一致，动态响应也一致，这种方法称为根匹配法。,根匹配法普通步骤,按照前面分析，采取根匹配法结构G（z）应满足以下条件：,（1）G（z）与G（s）含有相同数目标零、极点。,（2）G（z）与G（s）零、极点相互匹配。,（3）G（z）与G（s）终值应相等。,（,6,）,G,（,z,）与,G,（,s,）含有相同动态响应,。,第35页,本章小结,本章主要介绍了数值积分法仿真原理和特点；采取数值积分法面向微分方程、结构图进行仿真基本思绪和程序设计；仿真精度与系统稳定性讨论；快速仿真算法等内容。,在数值积分法中，要熟悉经典步骤选择，确定系统中各步骤之间连接关系；能依据特定仿真系统，选择适当仿真变量及参数，确定正确系数矩阵；掌握CSS1、CSS2程序结构、各变量含义以及程序运行特点；熟悉程序输入、调试，仿真结果分析和系统性能讨论。,另外，对于仿真系统精度和稳定性问题也是非常主要，要了解仿真过程中3类误差产生原因，制订消除误差方法，合理地选择仿真步长，确保系统在稳定前提下，尽可能提升系统仿真精度和速度。,为了提升系统仿真速度，能够合理地选择6种惯用快速仿真方法。,第36页,