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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,北京航空航天大学 清华大学出版社,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,计算机控制系统,高金源 夏洁,北京航空航天大学 清华大学出版社,年11月,第1页,1,计算机控制系统,依审定教材纲领编写。,主编人：高金源 夏洁,出版发行：清华大学出版社,第2页,2,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.1 离散系统时域描述差分方程,3.2 z变换,3.3 脉冲传递函数,3.4 离散系统方块图分析,3.5 离散系统频域描述,3.6 离散系统状态空间描述,3.7 应用实例,第3页,3,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.1.1 差分定义,连续函数 ，采样后为,简写,一阶向前差分：,二阶向前差分：,n,阶向前差分：,一阶向后差分：,二阶向后差分：,n,阶向后差分：,第4页,4,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.1.2 差分方程,差分方程是确定时间序列方程,连续系统,微分用差分代替,普通离散系统差分方程：,差分方程还可用向后差分表示为：,代替,代替,第5页,5,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.1.3 线性常系数差分方程迭代求解,差分方程解也分为通解与特解。,通解是与方程初始状态相关解。,特解与外部输入相关，它描述系统在外部输入作用下强迫运动。,例3-1 已知差分方程,，试求,解：采取递推迭代法，有：,第6页,6,北京航空航天大学 清华大学出版社,例3-1 采取,MATLAB程序求解,解序列为：k=0，1，9时，,n=10;%定义计算点数,c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定义输入输出和点数初值,for i=2:n,c(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;,end,plot(k,c,k:o)%绘输出响应图，每一点上用o表示,MATLAB程序：,c=0，1.0000，1.5000，,1.7500，1.8750，,1.9375，1.9688，,1.9844，1.9922，,1.9961，,差分方程解序列表示,说明：另一个求解方法是利用z变换求解。,第7页,7,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.1 离散系统时域描述差分方程,3.2 z变换,3.3 脉冲传递函数,3.4 离散系统方块图分析,3.5 离散系统频域描述,3.6 离散系统状态空间描述,3.7 应用实例,第8页,8,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.2.1 z变换定义,1.z变换,采样信号,采样信号,z,变换,注意：,z,变换中，z,-1,代表信号滞后一个采样周期，可称为单位延迟因子。,第9页,9,北京航空航天大学 清华大学出版社,采样脉冲序列进行,z,变换写法：,在实际应用中，对控制工程中多数信号，,z,变换所表示无穷级数是收敛，并可写成闭和形式。,z,有理分式：,z,-1,有理分式:,零、极点形式：,第10页,10,北京航空航天大学 清华大学出版社,2.,z,反变换,求与,z,变换相对应采样序列函数过程称为,z,反变换。,z,反变换唯一，且对应是采样序列值。,z,变换只能反应采样点信号，不能反应采样点之间行为。,第11页,11,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.2.2,z,变换基本定理,1,线性定理,2,实位移定理（时移定理）,(1),右位移（延迟）定理,(2),左位移（超前）定理,3,复域位移定理,第12页,12,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.2.2,z,变换基本定理,4初值定理,5终值定理,若存在极限,，则有：,假定函数,全部极点均在z平面单位圆内,或最多有一个极点在z=1处，则,第13页,13,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.2.3 求,z,变换及反变换方法,1.,z,变换方法,(1)级数求和法(依据定义),例3-6 求指数函数,z,变换,第14页,14,北京航空航天大学 清华大学出版社,利用,s,域中部分分式展开法,1.,z,变换方法,(2),F,(,s,),z,变换,（,L,反变换）,(,z,变换),(采样),例3-7 试求,z变换。,解：,另一个由,F,(,s,)求取,F,(,z,)方法是留数计算方法。本书对此不予讨论,第15页,15,北京航空航天大学 清华大学出版社,利用MATLAB软件中符号语言工具箱进行F(s)部分分式展开,已知,，经过部分分式展开法求,F,(,z,)。,F=sym(s+2)/(s*(s+1)2*(s+3)；,%传递函数F(s)进行符号定义,numF,denF=numden(F)；%提取分子分母,pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为普通多项式,pdenF=sym2poly(denF)；%将分子转化为普通多项式,R,P,K=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开,MATLAB程序：,运行结果：,R=,0.0833,-0.7500,-0.5000,0.6667,P=,-3.0000,-1.0000,-1.0000,0,K=,（此题无K值）,对应部分分式分解结果为：,第16页,16,北京航空航天大学 清华大学出版社,1.,z,变换方法,(3)利用,z,变换定理求取,z,变换式,例3-8 已知,f,(,t,)=sin,tz,变换,z变换。,解：利用z变换中复位移定理能够很轻易得到,试求,第17页,17,北京航空航天大学 清华大学出版社,1.,z,变换方法,(4)查表法,实际应用时可能碰到各种复杂函数，不可能采取上述方法进行推导计算。实际上，前人已经过各种方法针对惯用函数进行了计算，求出了对应,F,(,z,)并列出了表格，工程人员应用时，依据已知函数直接查表即可。详细表格见附录A。,部分分式,查表,求和,部分分式,查表,求和,第18页,18,北京航空航天大学 清华大学出版社,2.z反变换方法,(1)查表法,（能够直接从表中查得原函数）,如已知z变换函数,F,(,z,)，能够依,F,(,z,)直接从给定表格中求得它原函数,f,*(,t,)。,第19页,19,北京航空航天大学 清华大学出版社,2.z反变换方法,(2)部分分式法,（较复杂，无法直接从表格中查其原函数）,部分分式,查表,求和,查表,第20页,20,北京航空航天大学 清华大学出版社,部分分式法例子,例3-9 求下式,z,反变换,MATLAB程序：,Fz=sym(-3*z2+z)/(z2-2*z+1)；%进行符号定义,F=Fz/z；,numF,denF=numden(F)；%提取分子分母,pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为普通多项式,pdenF=sym2poly(denF)；,R,P,K=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开,查表可得,其中,第21页,21,北京航空航天大学 清华大学出版社,2.z反变换方法,(3)幂级数展开法（长除法）,例3-10 已知,，求,对该例，从相关系数中能够归纳得：,第22页,22,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.2.4 差分方程,z,变换解法,例3-11 用,z,变换法求差分方程,利用,z,变换求解线性常系数差分方程，将差分方程求解转换为代数方程求解,c,(,k,+2)-3,c,(,k,+1)+2,c,(,k,)=4,k,解：(1)对每一项做z变换,(2)归纳整理,特解,通解,(3),z,反变换,查表得,部分分式展开,假设初始条件为零，上式第2项为零,第23页,23,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.1 离散系统时域描述差分方程,3.2 z变换,3.3 脉冲传递函数,3.4 离散系统方块图分析,3.5 离散系统频域描述,3.6 离散系统状态空间描述,3.7 应用实例,第24页,24,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.3.1 脉冲传递函数定义,定义：在初始条件为零时，,离散系统脉冲传递函数,又称为,z,传递函数,输出量,z,变换,输入量,z,变换,输出采样信号：,图3-6脉冲传递函数,第25页,25,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.3.2 脉冲传递函数特征,离散系统脉冲传递函数求取,离散系统脉冲传递函数能够看作是系统输入为单位脉冲时，其脉冲响应,z,变换。若已知采样系统连续传递函数,G,(,s,)，当其输出端加入虚拟开关变为离散系统时，其脉冲传递函数可按下述步骤求取：,（1）对,G,(,s,)做拉氏反变换，求得脉冲响应,（2）对 采样，求得离散系统脉冲响应为,（3）对离散脉冲响应做,z,变换，即得系统脉冲传递函数为,几个脉冲传递函数表示法均可应用,脉冲传递函数完全表征了系统或步骤输入与输出之间特征，,而且也只由系统或步骤本身结构参数决定，与输入信号无关。,第26页,26,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.3.2 脉冲传递函数特征,2.脉冲传递函数极点与零点,极点,当,G,(,z,)是,G,(,s,)由经过,z,变换得到时，它极点是,G,(,s,)极点按,z,=e,-s,T,关系一一映射得到。由此可知，,G,(,z,)极点位置不但与,G,(,s,)极点相关，还与采样周期,T,亲密相关。当采样周期,T,足够小时，,G,(,s,)极点都将将密集地映射在,z,=1附近。,零点,G,(,z,)零点是采样周期,T,复杂函数。采样过程会增加额外零点。,若连续系统,G,(,s,)没有不稳定零点，且极点数与零点数之差大于2，当采样周期较小时，,G,(,z,)总会出现不稳定零点，变成非最小相位系统。,有不稳定零点连续系统,G,(,s,)，只要采样周期取得适当，离散后也可得到没有不稳定零点,G,(,z,),。,第27页,27,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.3.3 差分方程与脉冲传递函数,1.由差分方程求脉冲传递函数,已知差分方程,，设初始条件为零。,两端进行,z,变换,脉冲传递函数,系统特征多项式,系统输出,第28页,28,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.3.3 差分方程与脉冲传递函数,2.由脉冲传递函数求差分方程,z,反变换,z,反变换,第29页,29,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.1 离散系统时域描述差分方程,3.2 z变换,3.3 脉冲传递函数,3.4 离散系统方块图分析,3.5 离散系统频域描述,3.6 离散系统状态空间描述,3.7 应用实例,第30页,30,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.4.1 步骤串联连接等效变换,1.采样系统中连续部分结构形式,并不是全部结构都能写出步骤脉冲传递函数,第31页,31,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.4.1 步骤串联连接等效变换,2.串联步骤脉冲传递函数,第32页,32,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.4.1 步骤串联连接等效变换,3.并联步骤脉冲传递函数,依据叠加定理有：,第33页,33,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.4.2 闭环反馈系统脉冲传递函数,图3-10采样控制系统经典结构,E,(,z,),=R,(,z,),-B,(,z,),B,(,z,),=G,2,G,3,H,(,z,),U,(,z,),E,(,z,),=R,(,z,),-G,2,G,3,H,(,z,),U,(,z,),C,(,z,),=G,2,G,3,(,z,),U,(,z,),U,(,z,),=G,1,(,z,),E,(,z,),C,(,z,),=G,2,G,3,(,z,),G,1,(,z,),E,(,z,),E,(,z,),=R,(,z,),/,1,+G,1,(,z,),G,2,G,3,H,(,z,),普通系统输出,z,变换可按以下公式直接给出：,第34页,34,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.4.3 计算机控制系统闭环脉冲传递函数,1.数字部分脉冲传递函数,控制算法，通常有以下两种形式：,差分方程 脉冲传递函数,D,(,z,),连续传递函数 脉冲传递函数,D,(,z,),(,z,变换法),(第5章离散法),第35页,35,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.4.3 计算机控制系统闭环脉冲传递函数,2.连续部分脉冲传递函数,计算机输出控制指令,u*,(,t,)是经过零阶保持器加到系统被控对象上，所以系统连续部分由零阶保持器和被控对象组成。,被控对象传递函数,图3-11 连续部分系统结构,第36页,36,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.4.3 计算机控制系统闭环脉冲传递函数,3.闭环传递函数求取,例3-12 求下列图所表示计算机控制系统闭环脉冲传递函数，已知,T,=1秒。,解：,T,=1,s,第37页,37,北京航空航天大学 清华大学出版社,利用Matlab对应命令进行Z变换,c=0 0.6321,d=1.0000 -0.3679,MATLAB命令：,num=1;,den=1,1;c,d=c2dm(num,den,0.1,zoh),计算输出,即得到,第38页,38,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.4.4 干扰作用时闭环系统输出,依据线性系统叠加定理，可分别计算指令信号和干扰信号作用下输出响应。,图3-13 有干扰时计算机控制系统,R(s)单独作用时,系统输出,N,(,s,)=0,干扰单独作用时,系统输出,R,(,s,)=0,共同作用时系统输出,第39页,39,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.1 离散系统时域描述差分方程,3.2 z变换,3.3 脉冲传递函数,3.4 离散系统方块图分析,3.5 离散系统频域描述,3.6 离散系统状态空间描述,3.7 应用实例,第40页,40,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.5.1 离散系统频率特征定义,在离散系统中，一个系统或步骤频率特征是指，在正弦信号作用下，系统或步骤稳态输出与输入复数比随输入正弦信号频率改变特征。,频率特征定义：,图3-14 离散系统频率特征,第41页,41,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.5.2 离散系统频率特征计算,离散系统频率特征指数形式,幅频特征,相频特征,1.数值计算法按 表示式逐点计算它幅相频率特征。,连续系统：,离散系统：,例3-13,要求绘制它们频率特征。,第42页,42,北京航空航天大学 清华大学出版社,Matlab,符号语言实现,Gs=sym(1/(s+1)；%传递函数F(s),T=0.5；,numGs,denGs=numden(Gs)；%提取分子分母,%将分母转化为普通多项式,pnumGs=sym2poly(numGs)；,pdenGs=sym2poly(denGs)；,%Z变换,pnumGz,pdenGz=c2dm(pnumGs,pdenGs,T,zoh)；,w=0:0.1:19；,mag,pha=bode(pnumGs,pdenGs,w)；,dmag,dpha=dbode(pnumGz,pdenGz,T,w)；,for i=1:1:190,if dpha(i)=-180,dpha(i)=dpha(i)+360；,end,end,figure(1);,plot(w,mag,blue);,hold on;,plot(w,dmag,red);,Grid on;,axis(0,19,0,1.2);,figure(2);,plot(w,pha,blue);,hold on;,plot(w,dpha,red);,Grid on;,axis(0,19,-200,200);,第43页,43,北京航空航天大学 清华大学出版社,图3-15 例3-13幅频和相频特征曲线,第44页,44,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.5.2 离散系统频率特征计算,2.几何作图法,第45页,45,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.5.3 离散系统频率特征特点,1.,特点,(1)周期性：周期为,(2)幅频特征为 偶对称,(3)相频特征为 奇对称,说明：,因为离散步骤 频率特征不是,有理分式函数，,在绘制对数频率特征时，不能像连续系统那样使用渐近对数频率特征。,第46页,46,北京航空航天大学 清华大学出版社,2.应注意问题,离散步骤频率特征不是,有理分式函数，在绘制对数频率特征时，不能像连续系统那样使用渐近对数频率特征。,(2)离散步骤频率特征形状与连续系统频率特征形状有较大差异，尤其是当采样周期较大以及频率较高时，因为混叠，使频率特征形状有较大改变，主要表现有:,高频时会出现多个峰值；,可能出现正相位；,仅在较小采样周期或低频段与连续系统频率特征相靠近。,第47页,47,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.1 离散系统时域描述差分方程,3.2 z变换,3.3 脉冲传递函数,3.4 离散系统方块图分析,3.5 离散系统频域描述,3.6 离散系统状态空间描述,3.7 应用实例,第48页,48,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.6 离散系统状态空间描述,离散系统状态方程,n,维,m,维,p,维,F：状态转移矩阵,G：输入矩阵或控制转移矩阵,C：状态输出矩阵,D：直接传输矩阵,连续系统状态空间模型,离散系统状态空间模型,图3-20状态方程框,第49页,49,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.6.1 由差分方程建立离散状态方程,单输入单输出线性离散系统，可用,n,阶差分方程描述,选择状态变量,式中,则可得到离散系统状态方程，且有：,第50页,50,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.6.2由脉冲传递函数建立离散状态方程,通常采取串行法、直接法等实现。,1.串行法（又称迭代法）,写成零极点形式,状态方程：,输出方程：,状态方程矩阵形式：,第51页,51,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.6.2由脉冲传递函数建立离散状态方程,2.并行法（又称部分分式法）,部分分式展开：,状态方程：,输出方程：,状态方程矩阵形式：,第52页,52,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.6.2由脉冲传递函数建立离散状态方程,3.直接法,选状态变量：,状态方程,矩阵形式：,令,第53页,53,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.6.3 计算机控制系统状态方程,1.系统连续部分离散状态方程,被控对象状态方程,假定系统是时不变,状态转移矩阵,输入矩阵,第54页,54,北京航空航天大学 清华大学出版社,状态转移矩阵F(t)性质,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,一定存在。,第55页,55,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.6.3 计算机控制系统状态方程,2.状态转移阵求解(1)级数展开法,计算项数,L,可由精度要求确定。,状态转移阵,输入矩阵,第56页,56,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.6.3 计算机控制系统状态方程,2.状态转移阵求解(2)拉普拉斯变换法,状态转移阵,拉普拉斯反变换得,故有,第57页,57,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.6.3 计算机控制系统状态方程,3.计算机控制系统闭环状态方程,整个闭环系统状态方程，可经过求取系统数字部分、广义被控对象部分以及反馈部分状态方程，然后消去中间变量，经整理后得到。,例3-17 求图3-25所表示系统状态方程，,T,=0.1s,解：(1)数字部分：,选状态变量,可得方程,图3-25计算机控制系统,第58页,58,北京航空航天大学 清华大学出版社,例3-17 求图3-25所表示系统状态方程,（2）广义被控对象部分：,被控对象连续状态方程,利用拉氏变换法求,连续部分,离散状态方程,第59页,59,北京航空航天大学 清华大学出版社,例3-17 求图3-25所表示系统状态方程,（3）反馈部分：,综合上面式子，可得系统状态方程和输出方程为：,第60页,60,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.6.4 离散状态方程求解,1.迭代法,离散状态方程通式,已知,k,=0时系统状态,x,(0)以及,之间各个时刻输入量,得到现时刻,k,状态,2.,z,变换法,进行,z,反变换,比较后得结果,第61页,61,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.1 离散系统时域描述差分方程,3.2 z变换,3.3 脉冲传递函数,3.4 离散系统方块图分析,3.5 离散系统频域描述,3.6 离散系统状态空间描述,3.7 应用实例,第62页,62,北京航空航天大学 清华大学出版社,3.7 应用实例,求下列图所表示天线计算机控制系统闭环传递函数、状态方程并利用MATLAB软件计算系统单位阶跃响应及开环对数频率特征。,图3-26 天线控制系统结构图,第63页,63,北京航空航天大学 清华大学出版社,电枢控制直流电动机加天线负载传递函数,机电时间常数,电机传动系数,速度闭环传统函数,速度闭环回路增益,速度回路时间常数,天线角速度,与转角,传递函数,速度闭环回路传递函数,i,为角速度与角度之间减速比,(1)分别求取以下传递函数,第64页,64,北京航空航天大学 清华大学出版社,图3-27天线控制系统简化结构图,假定,，采样周期,(2)求取闭环传递函数,第65页,65,北京航空航天大学 清华大学出版社,闭环系统状态方程,图3-28 闭环传递函数串行结构图,闭环系统特征方程,(3)取得闭环状态方程,第66页,66,北京航空航天大学 清华大学出版社,(4)计算干扰作用下系统输出,因为干扰等效直接作用于速度回路输入端，无法求得干扰与天线转角之间传递函数，故只能求取在干扰作用下，天线转角z变换,假设,则有,第67页,67,北京航空航天大学 清华大学出版社,(5)计算系统单位阶跃响应,系统输出,图3-29 天线转角阶跃响应,输入指令,z反变换可得,MATLAB程序：,tt=0.01;%sampling time,t(1)=0;,t(2)=t(1)+tt;,%input,thetar(1)=0;thetar(2:200)=1;,%inertial condition,theta(1)=0;theat(2)=0;,for k=3:200,t(k)=t(k-1)+tt;,theta(k)=0.00326*thetar(k-1)+thetar(k-2)+1.8144*theta(k-1)-0.8216*theta(k-2);,end,plot(t,theta,k),第68页,68,北京航空航天大学 清华大学出版社,(6)计算开环对数频率响应,利用Matlab软件计算离散系统对数频率特征相关指令，可得对数频率响应特征。,从图中能够看到离散系统频率响应特征周期性等特点,图3-30 系统开环对数频率响应曲线,第69页,69,北京航空航天大学 清华大学出版社,第3章 内容结束！,第70页,70,北京航空航天大学 清华大学出版社,