1、单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第三节,一、函数项级数概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数运算,幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,第1页,一、函数项级数概念,设,为定义在区间 I 上,函数项级数,.,对,若常数项级数,敛点,全部收敛点全体称为其,收敛域,;,若常数项级数,为定义在区间 I 上函数,称,收敛,发散,全部,为其,收,为其,发散点,发散点全体称为其,发散域,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,为级数,和函数,并写成,若用
2、,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前,n,项和,即,在收敛域上,函数项级数和是,x,函数,称它,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,比如,等比级数,它收敛域是,它发散域是,或写作,又如,级数,级数发散;,所以级数收敛域仅为,有和函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,二、幂级数及其收敛性,形如,函数项级数称为,幂级数,其中数列,下面着重讨论,比如,幂级数,为幂级数,系数,.,即是此种情形.,情形,即,称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,定理 1.,(Abel定理),若幂级数,则对满足不等式,一切,x,幂级数都绝对收敛.,反
3、之,若当,一切,x,该幂级数也发散.,时该幂级数发散,则对满足不等式,证:,设,收敛,则必有,于是存在,常数,M,0,使,阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛.,也收敛,反之,若当,时该幂级数发散,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛,面证实可知,级数在点,故假设不真.,x,原幂级数也,发散.,时幂级数发散,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,幂级数在(,+)收敛;,由Abel 定理能够看出,中心区间.,用,R,表示幂级数收敛与发散分界点,收敛域是以原点为,则,R
4、,=0 时,幂级数仅在,x,=0 收敛;,R,=,时,幂级数在(,R,R,)收敛;,(,R,R,)加上收敛端点称为,收敛域,.,R,称为,收敛半径,，,在,R,R,可能收敛也可能发散.,外发散;,在,(,R,R,)称为,收敛区间,.,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,定理2.,若,系数满足,证:,1)若,0,则依据比值审敛法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,1)当,0 时,2)当,0 时,3)当,时,即,时,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,2)若,则依据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若,则对除,x,=0 以外一切,
5、x,原级发散,对任意,x,原级数,所以,所以,收敛半径为,说明:,据此定理,所以级数收敛半径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第10页,对端点,x=,1,收敛半径及收敛域.,解:,对端点,x=,1,级数为交织级数,收敛;,级数为,发散.,故收敛域为,例1,.,求幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,例2,.,求以下幂级数收敛域:,解:,(1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在,x=,0 处收敛.,要求:0!=1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,例3.,收敛半径.,解:,级数缺乏奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收
6、敛半径为,故直接由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,例4.,收敛域.,解:,令,级数变为,当,t,=2,时,级数为,此级数发散;,当,t,=2,时,级数为,此级数条件收敛;,所以级数收敛域为,故原级数收敛域为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,三、幂级数运算,定理3.,设幂级数,及,收敛半径分别为,令,则有:,其中,以上结论可用部分和极限证实.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,说明:,两个幂级数相除所得幂级数收敛半径可能比,原来两个幂级数收敛半径小得多.,比如,设,它们收敛半径均为,不过,其收敛半径只是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,
7、定理4,若幂级数,收敛半径,(证实见第六节),则其和函,在收敛域上,连续,且在收敛区间内可,逐项求导,与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,注:,逐项积分时,运算前后端点处敛散性不变.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,解:,由例2可知级数收敛半径,R,+.,例5.,则,故有,故得,和函数.,所以得,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,例6.,和函数,解:,易求出幂级数收敛半径为 1,x,1 时级数发,散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,例7.,求级数,和函数,解:,易求出幂级数收敛半径为 1,及,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,所
8、以由和函数连续性得:,而,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,例8.,解:,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,而,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,内容小结,1.求幂级数收敛域方法,1)对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点收敛性.,2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用,比值法,或,根值法,2.幂级数性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可经过,换元,化为标准型再求.,乘法运算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,2)在收敛区间内幂级数和函数连续;,3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,
9、思索与练习,1.,已知,处条件收敛,问该级数收敛,半径是多少?,答:,依据Abel 定理可知,级数在,收敛,时发散.,故收敛半径为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,2.,在幂级数,中,n,为奇数,n,为偶数,能否确定它收敛半径不存在?,答:,不能.,因为,当,时级数收敛,时级数发散,说明:,能够证实,比值判别法成立,根值判别法成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第26页,P215 1 (1),(3),(5),(7),(8),2 (1),(3),P257 7 (1),(4),8 (1),(3),作业,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,第27页,阿贝尔,(1802 1829),挪威数学家,近代数学发展先驱者.,他在22岁时就处理了用根式解5 次方程,不可能性问题,他还研究了更广一,并称之为阿贝尔群.,在级数研究中,他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理.,论奠基人之一,他一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路.,数学家们工作150年.,类代数方程,他是椭圆函数,C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下思想可供,后人发觉这是一类交换群,第28页,备用题,求极限,其中,解:,令,作幂级数,设其和为,易知其收敛半径为 1,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第29页,
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