《弹性力学》第五章-平面问题的复变函数法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,绪论,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,第五章 平面问题的复变函数法,第1页,1,平面问题的复变函数法,第五章 平面问题复变函数法,直角坐标及极坐标求解平面问题，所包括物体边界是直线或圆弧形。对于其它一些边界，比如椭圆形、双曲形、非同心圆等就要用不一样曲线坐标。应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数方法在弹性力学中简单应用。,第2页,2,5-4 多连通域内应力与位移单值条件,5-3 边界条件复变函数表示,5-2 应力和位移复变函数表示,5-1 应力函数复变函数表示,5-6 含孔口无限大板问题,5-5 无限大多连体情形,平面问题的复变函数法,第五章 平面问题复变函数法,第3页,3,5-1 应力函数复变函数表示,在第二章中已经证实，在平面问题里，假如体力是常量，就一定存在一个应力函数,，它是位置坐标重调和函数，即,现在，引入复变数,z,=,x,i,y,和,z,x,i,y,以代替实变数,x,和,y,。注意,平面问题的复变函数法,第4页,4,能够得到变换式,进而,平面问题的复变函数法,第5页,5,令,于是可将方程式,变换成为,由,平面问题的复变函数法,第6页,6,可知，,P,是调和函数可由解析函数实部得到。设,f,(,z,)为解析函数，可令,由,令,得,则,平面问题的复变函数法,第7页,7,将上式对,积分，得到,再对,z,积分，得到,令,即,则,平面问题的复变函数法,第8页,8,注意上式左边重调和函数,是实函数，可见该式右边四项一定是两两共轭，前两项已经是共轭，后两项也应是共轭：,令,即得有名古萨公式,也能够写成,平面问题的复变函数法,第9页,9,于是可见，在常量体力平面问题中，应力函数,总能够用复变数,z,两个解析函,(,z,)和,(,z,)来表示，称为K-M 函数。而求解各个详细平面问题，可归结为适当地选择这两个解析函数，并依据边界条件决定其中任意常数。,平面问题的复变函数法,第10页,10,5-2 应力和位移复变函数表示,依据应力分量和应力函数关系,一 应力分量复变函数表示,平面问题的复变函数法,第11页,11,可得到应力分量复变函数表示,由,可得,而由,平面问题的复变函数法,第12页,12,可得,或,平面问题的复变函数法,第13页,13,只要已知,(,z,)及,(,z,)，就能够把上述公式右边虚部和实部分开，由虚部得出,xy,，由实部得出,y,-,x,。,和,就是应力分量复变函数表示。当然也能够建立公式，把,x,、,y,、,xy,三者分开用,(,z,)和,(,z,)来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方便。,平面问题的复变函数法,第14页,14,二 位移分量复变函数表示,假定为平面应力问题。由几何方程及物理方程,可得,平面问题的复变函数法,第15页,15,因为,并注意到,同理,可得,平面问题的复变函数法,第16页,16,将上两式分别对,x,及,y,积分，得,其中,f,1,及,f,2,为任意函数。将上式代入式,平面问题的复变函数法,第17页,17,因为,平面问题的复变函数法,第18页,18,从而得到,于是得到刚体位移,f,1,(,y,),u,0,y,，,f,2,(,x,),v,0,x,故有,平面问题的复变函数法,第19页,19,若不计刚体位移，则有,由式,得到,平面问题的复变函数法,第20页,20,这就是位移分量复变函数表示。若已知,(,z,)及,(,z,)，就能够将该式右边实部和虚部分开，从而得出,u,和,v,。,平面问题的复变函数法,将结果回代,并两边除以 得,上述公式是针对平面应力情况导出。对于平面应变情况，须将式中,E,改换为 ，改换为 。,第21页,21,5-3 边界条件复变函数表示,为了求得边界上各结点处,值，须要应用应力边界条件，即：,而,代入上式，即得：,平面问题的复变函数法,第22页,22,由图可见，,l,=cos(,N,x,)=d,y,/d,s,m,=cos(,N,y,)=-d,x,/d,s,于是，前式可改写为,：,由此得：,平面问题的复变函数法,第23页,23,设,A,是边界上固定点,B,为任意一点，则从,A,到,B,边界上协力，可用上式从,A,点到,B,点对,s,积分得到：,将式,平面问题的复变函数法,第24页,24,代入，整理得：,把应力函数加上一个复常数，并不影响应力。所以，可把应力函数,A,处值设为零，于是对于边界上,有,或,这就是应力边界条件。,平面问题的复变函数法,第25页,25,对于位移边界条件,将其代入下式,即得平面应力情况下位移边界条件复变函数表示,平面问题的复变函数法,对于平面应变，须将式中,E,改换为 ，改换为 。,第26页,26,5-4 多连通域内应力与位移单值条件,应力确定后，应力函数仍可差一个任意线性函数，这时K-M函数并未完全确定。对于单连通区域，能够经过选取适当坐标系等方法，使得K-M函数完全确定；但对于多连通区域仍不能完全确定。本节讨论K-M函数在多连通区域内满足单值条件。,设有多连通区域，有一内边界,C,，设在边界,C,上外力矢量已给定。通常多值函数是对数函数，我们设,平面问题的复变函数法,第27页,27,D,C,这里,z,k,为内部边界内任意一点，,f,和,f,为单值解析函数（全纯函数），而,A,k,，,B,k,为常数：,平面问题的复变函数法,第28页,28,前面函数导数是单值，但他们本身是多值，当z绕周围一周时，函数值ln(z,k,)产生一个增量2i,于是,(z)和,(z)增量分别是2i,A,k,和2i,B,k,这时应力主矢量按照公式,左边将得到应力主矢量(沿整个边界），右边得到一增量：,平面问题的复变函数法,第29页,29,这时位移按照公式,也将得到增量，依据单值性这个增量应为零：,结合,可得到,平面问题的复变函数法,第30页,30,于是,当有,m,个内边界时，取,平面问题的复变函数法,第31页,31,5-5 无限大多连体情形,当多连体外边界趋于无限远时，该多连体成为无限大多连体，除上述条件外，还需考虑无限远极限情况。,以坐标原点为圆心，作充分大圆周,s,R,，将全部内边界包围在其内，对于,s,R,之外，弹性体之内任意一点，可得到,在,s,R,之外解析函数,平面问题的复变函数法,第32页,32,于是,可写为,其中,P,x,P,y,为,m,个边界上沿,x,y,方向面力之和。,平面问题的复变函数法,第33页,33,于是,因为在无穷远处应力分量应该是有限，级数中,n,2系数应为零。,平面问题的复变函数法,将多连通区域内全纯函数 和 展开为罗郎级数：,第34页,34,一样从,中，因为在无穷远处应力分量应该是有限，故有,其中略去了和应力无关常数项。,平面问题的复变函数法,第35页,35,于是,其中,与应力计算无关，可取为零，而,平面问题的复变函数法,第36页,36,这时,当,z,时，可得,一样当,z,时，由,可得,从中可求得对应系数，并能够看到在无限远处，应力分布是均匀。,平面问题的复变函数法,第37页,37,系数,则,平面问题的复变函数法,第38页,38,5-6 含孔口无限大板问题,以坐标原点为圆心，作充分大圆周,s,R,，将全部内边界包围在其内，对于,s,R,之外，弹性体之内任意一点，可得到,平面问题的复变函数法,第39页,39,平面问题的复变函数法,第40页,40,改写为,其中,平面问题的复变函数法,第41页,41,对于孔边上点,平面问题的复变函数法,第42页,42,将上列各式代入,就得到极坐标下圆周围界上级数形式应力边界条件。,设周围上外力为已知，并将其展开为傅氏级数,平面问题的复变函数法,第43页,43,比较两边e,i,k,和e,-i,k,系数，可得,平面问题的复变函数法,第44页,44,由无限远处应力条件，可得,第45页,45,由位移单值条件有,及,可求得,再由,平面问题的复变函数法,第46页,46,可求得,至此，全部系数均已求出。,例,设孔周围为均匀压力,p,，无限远处应力为零。,平面问题的复变函数法,第47页,47,则有,于是可求得,平面问题的复变函数法,第48页,48,最终得到,依据上述方法，圆孔口无限大板普通问题都能够得到处理。,平面问题的复变函数法,第49页,49,平面问题的复变函数法,练习5.1,试考查以下复变函数所处理问题,(1),(2),解:基本公式为,(1)将,分别代入(a)、(b)式,第50页,50,平面问题的复变函数法,得,联立求解以上两式,得,所给函数能够处理矩形薄板在x方向受均布拉力q问题.如图5.1(a)所表示,(2)将,代入(a),(b)两式,得,x,y,q,q,图5.1(a),第51页,51,平面问题的复变函数法,联立求解以上两式,得,所给函数能够处理矩形薄板受纯剪切问题.如图5.1(b)示.,q,q,x,y,图5.1(b),练习5.2,如图所表示.试证矩形截面梁纯弯曲问题可用以下复变函数求解.,其中I为梁截面惯矩,M为作用弯矩.,M,y,x,z,y,解:,基本公式为,第52页,52,平面问题的复变函数法,将,代入(1)、(2)式,由(1)式得,即,第53页,53,平面问题的复变函数法,或,由(2)式得,即,将(4)、(5)式联立求得,第54页,54,平面问题的复变函数法,验证边界条件(3),在侧面:,所以,由,得,第55页,55,平面问题的复变函数法,由,得,故,即(3)式恒成立.,由解答 所表示是一个纯弯时,梁横截面上应力状态.,第56页,56,平面问题的复变函数法,练习5.3,试导出用复变函数 及 表示极坐标中应力分量公式,解:因为在平面问题中,所以,又因为在平面问题中,有,第57页,57,平面问题的复变函数法,则,第58页,58,平面问题的复变函数法,因为,所以,练习5.4,试用公式,由 导出半平面体在边界上受集中力作用时应力分量公式.,第59页,59,平面问题的复变函数法,r,y,r,o,P,解：由,得,因为,第60页,60,平面问题的复变函数法,而,所以,第61页,61,平面问题的复变函数法,即,由（1）、（2）、（3）式得,第62页,62,结 束,平面问题的复变函数法,第63页,63,