紧扣分式方程 发展模型思想.pdf

数学版 年 月 日 第 期 .紧扣分式方程发展模型思想魏莉莎 汤 琼(湖南工业大学理学院 湖南 株洲)摘 要:模型思想是数学基本思想之一教师在初中数学教学中渗透模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.通过培养学生的模型思想可以进一步发展其数学学科核心素养有利于培养学生的数学应用能力和创新意识激发学生的学习兴趣学会用数学的眼光看待生活.基于模型思想的内涵以分式方程的应用为例进行教学设计展示初中数学教学中融入模型思想的方法和步骤并从创设现实情境、聚焦探索活动、创造性思维三方面分析如何在分式方程教学中渗透模型思想更好地提高教学质量.关键词:分式方程模型思想建模应用基金项目:年度湖南工业大学研究生科研创新项目“模型思想在初中数学教学中的研究”(项目编号:).作者简介:魏莉莎()女江苏南京人硕士研究生研究方向:数学教学论.通讯作者:汤琼()女湖南浏阳人博士教授研究方向:数学教学论.问题的提出义务教育数学课程标准(年版)(以下简称新课标)提出:“核心素养的内涵之一是学会用数学的语言表达现实世界能够在现实生活或其他学科中构建普适的数学模型从而表达和解决问题.”通过培养学生数学模型思想来解决实际问题有利于培养学生的应用能力和创新意识提升学生数学思维激发学生的学习兴趣对于落实数学学科核心素养的培养有着重要的现实价值.本文基于模型思想的内涵以分式方程的应用为例通过创设实际问题情境、抽象数学本质、建立数学模型、求解与应用的过程让学生体验解决问题的方法和策略并从创设现实情境、培养模型意识聚焦探索活动重视建模过程创造性思维提高建模能力这三个方面分析教学实践中如何渗透数学模型思想.模型思想的内涵模型思想是指用数学的语言描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构的本质认识.新课标中明确指出:“模型思想在初中阶段的表现为模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识知道数学建模是数学与现实联系的基本途径初步感知数学建模的基本过程等.”建立一个完整的数学模型的过程应该包括:在现实世界的问题或情境中从数学的角度发现问题简化成现实的模型然后用数学语言翻译成数学模型通过数学方法计算出数学模型的解再将其解进行回代和检验最终得到实际问题的解看其是否符合实际问题根据具体问题进行修改和拓展.在进行建模的过程中学生作为学习的主人充分体验如何用数学的方法思考和解决数学问题经历抽象现实问题将其转化和翻译成数学模型的过程体会生活数学化和数学生活化认识到数学和现实紧密联系建立学习数学的自信心.教学实践案例.情境创设了解模型前面我们学习过的一元一次方程、二元一次方程都是刻画现实世界的有效数学模型.同样分式方程也是刻画现实世界的模型.接下来我们就用分式方程来解决生活中的实际问题.问题 甲、乙两人加工同一种服装乙每天比甲多加工一件乙加工服装 件所用的时间与甲加工服装 件所用的时间相同.怎样用方程来描述其中之间的相等关系?设计说明方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型其中分式方程与整式方程的区别在于分式方程中的数量关系相对比较复杂解方程时变形更难.本情境贴近学生生活但没有提出具体的问题意在通过开放式的问题引导学生运用以往数学活动中获得的经验思考已知条件和未知量的关系从已知到未知以此串联找出等量关系进行求解.探索活动建立模型问题 同学们的困惑是什么?这道题是不是没有问题?那你会关注什么?生:甲、乙完成的天数?年 月 日 第 期数学版:/.生:甲、乙每天各完成多少件?追问 现在有问题了你怎样去刻画其中的关系?生:设甲每天加工 件服装则乙每天加工()件.追问 通常情况下面对数量较多时什么方法可有效呈现出其关系?生:表格.分析 通过审题列出表:表 工作效率(件/天)工作总量/件工作时间/天甲乙 通过题目中呈现的数据以及设的未知数填写表:表 工作效率(件/天)工作总量/件工作时间/天甲乙 通过等量关系:乙加工 件服装所用的时间 甲加工 件服装所用的时间列出分式方程模型.问题 有的同学提问的是甲乙工作天数那该怎么解决?表格又如何列出并填写呢?生:设甲工作天数为 天则乙工作天数同样为 天.见表.表 工作效率(件/天)工作总量/件工作时间/天甲乙 追问 此时方程怎么列?根据哪句话?生:通过等量关系:乙每天加工的件数 甲每天加工的件数 列出分式方程模型.问题 问题 和问题 之间有什么样的关系?学生活动 对问题 和问题 进行完整的解答过程.设计说明 通过开放式提问让学生得出两个问题利用表格来表示工程问题中工作时间、工作总量和工作效率三者之间的数量关系从而帮助解决问题.其目的是为了让学生进一步体会到问题之间的关系.问题 和 是相互呼应的问题 中设的未知数 是从甲、乙加工的件数出发代入得到分式在列方程时用另一个数量关系“乙加工 件服装所用的时间 甲加工 件服装所用的时间”即可得出.问题 中设的未知数 是从加工的天数出发代入分式中在列方程时利用另一个数量关系“乙每天加工的件数 甲每天加工的件数”即可得出解.通过不同的解法让学生体会到对同一个问题可以从不同角度观察但是不同的问题之间又有关系从而深刻体会数学内部的联系.例题教学掌握模型例题 一个两位数的个位数字是 如果把个位数字与十位数字对调那么所得的两位数与原两位数的比值是怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系?分析 可以求解这个两位数是多少.设十位数字为 后不可直接写成 为了正确表示可以采用数位填空的方法来清晰地展示两位数的架构体会两位数前后变化的区别.原两位数:改变后的两位数:通过数位填空的方式可以列出分式方程 .学生活动 对问题 和问题 进行完整的解答过程.设计说明 此题设置得有一定难度在讲解中发现学生的薄弱之处如:对代数的理解能力、求解能力从而对症下药.通过数位填空的方式让学生体会解决应用题的方式不仅只有列表格应根据实际情况选择合适的方法解决问题.例题 小明买软面笔记本共用去 元小丽买硬面笔记本共用去 元已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵.元小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗?分析 通过审题可得到等量关系:每本硬面笔记本的价格 每本软面笔记本的价格 .先从单价出发设小明买软面笔记本用去 元则小丽买硬数学版 年 月 日 第 期 .面笔记本用去(.)元.再从问题出发通过等量关系式:小明买笔记本的数量 小丽买笔记本的数量列出分式方程:.解得 .将 .代入分式方程中进行检验发现正是方程的解.但是如果按照软面笔记本是.的价格可求出小明和小丽都买了.本笔记本不是整数这不符合实际意义.所以当方程的解代入到实际情境中可得出小明和小丽并不能买到相同本数的笔记本.设计说明 通过例题 的探索和求解让学生感受在解决实际问题时即使列的方程和求解的未知数都正确但是代入到实际情境中并不符合现实意义.所以在解分式方程时检验也是在求解之后至关重要的步骤并且检验要分两步首先从数学内部出发先检验求出的根是不是原分式方程的根再代入到实际情境中检验此分式方程的根能否符合实际问题二者缺一不可.问题 通过以上 个例题你是否能够得出分式方程解决实际问题的步骤?学生尝试用自己的语言总结最后得出分式方程解决实际问题的步骤:()审:审清题意弄清已知量和未知量之间的数量关系()找:回到题干中找到关键的等量关系式()设:设未知数给未知数一个身份便于后续列方程()列:根据等量关系列出分式方程()解:解这个分式方程()验:检验求得的根()答:写答语.问题 通过例题 可知解决问题时需要着重检验什么?设计说明列分式方程解决实际问题与列其他方程解决实际问题的步骤类似都需要经过审题、设元、列方程、解方程、作答这样的几个步骤.但不同之处在于如果列出的方程是分式方程那么必须检验所得的根.检验要分两步首先检验所得的根是否是分式方程的增根其次需要代入到实际情境中检验是否符合实际意义这二者缺一不可.学以致用运用模型练习 为迎接市中学生田径运动会计划由某校八年级()班的 个小组制作 面彩旗后因一个小组另有任务其余 个小组的每名学生要比原计划多做 面彩旗才能完成任务如果这 个小组的人数相等那么每个小组有学生多少名?分析 本题可以采用文字的方式清楚地表达解决问题的过程并分析其中的数量关系.解法 从人数的角度假设每小组有 名学生可通过未知数 来表示 个小组则有 人 个小组则有 人再通过另一个等量关系:个小组的每名学生做的彩旗数 个小组的每名学生做的彩旗数 列出分式方程.解得 .经检验 是原方程的解.从而得到每个小组有 名学生.解法 从彩旗的角度出发假设原来每人平均做 面彩旗可由等量关系:个小组的每名学生做的彩旗数 个小组的每名学生做的彩旗数 得出实际每人需要做()面彩旗.再由等量关系:个小组时每组的人数 个小组时每组的人数列出分式方程().练习 甲步行乙骑车从相距 千米的 两地同时出发相向而行相遇后乙继续前行到达 地后立即返回并在距 地 千米的地方追上甲若乙骑车比甲步行的速度每小时快 千米求甲、乙两人的速度各是多少?分析 这是一道典型的行程问题审清题意得出甲、乙两人从出发到相遇再到追上经过的时间相等.画出行程图如图 帮助厘清题干数据的关系:通过线段示意图可以清楚地知道()甲步行的行程为 等于()千米()乙骑车的行程为 等于()千米()等量关系:甲从 到 的时间 乙从 到 再到 的时间.从速度的角度出发有等量关系:乙骑车的速度 甲步行的速度 可设甲步行的速度为 千米/时则乙骑车的速度为()千米/时.年 月 日 第 期数学版:/.再由等量关系:甲从 到 的时间 乙从 到 再到 的时间列出分式方程 .设计说明课堂练习环节仍从学生的实际生活出发通过学生的主动探索和交流以表格、文字、线段示意图等不同的方式来理解题意、厘清数量关系寻找各个实际问题中的相等关系列出分式方程最终回归到分式方程转化为整式方程进行求解体会转化的思想培养核心素养.课内小结提升思维问题 列分式方程解决实际问题的步骤是什么?问题 检验需要注意什么?问题 根据例题 的方程.能否编出一个新的情境?设计说明问题 中让学生自行赋予方程的实际意义体会到数学来源于生活服务于生活培养学生逆向思维的能力.教学思考.创设现实情境培养模型意识将抽象的数学与现实生活建立联系是学生理解数学题中各个量的含义厘清数量关系的重要途径.纯粹的数学知识带有抽象性的特点很容易让学生感到枯燥无趣甚至于恐惧抗拒.所以在教学中可结合学生实际生活中的问题作为案例减少学生由于学习到的知识并不精进且全面所感到的力不从心调动学生学习的积极性和主动性培养学生学习数学的自信心.教师在教学中不仅要用教材教还要创造性地使用教材深入挖掘教材提供的例题提炼教材模型思想内容让学生真实体验建立数学模型的过程提高阅读能力和应用能力.本设计基于教材提供的问题情境并加入学生熟悉且感兴趣的实际问题使学生减轻陌生感更好地理解实际情境用积累的数学经验来解题促进学生数学化能力的发展体会到数学来源于生活也服务于生活.聚焦探索活动重视建模过程实际教学中往往由于教学任务、学习进度、阶段考试等原因导致学生、教师和家长重结果而不重过程、重分数而不重德育、重知识而不重能力.课堂是学生学习数学的主阵地教师不仅要教教材更要教会学生数学的思想和方法让学生成为学习的主人.通过个人思考和合作交流用自己以往的经验主动探索经历学习过程提高解决问题的能力.问题情境和思维拓展中为不限制学生思维设立开放性问题让学生经历发现、提出、分析、解决问题的全过程经历建立和求解数学模型的全过程.让学生从现实生活情境中抽象出数学问题用数学语言表示其中所蕴含的数学关系和规律通过数学方法计算出数学模型的解再将其解进行回代和检验最终得到实际问题的解使学生在完整的建模过程中发展模型思想意识到过程和结果同样重要有效落实核心素养的培养.学生在完整的建模过程中在观察中总结在总结中发现久而久之就会慢慢体会到数学中的智慧.创造性思维提高建模能力分式方程是一元一次方程、一元二次方程的进阶性学习在等量关系的寻找和方程的解答上难度有所增加所以教会学生多元化的数学方法对于建立数学模型有着立竿见影的帮助.例题中涉及到的表格、文字、线段示意图等都是理解实际问题中数量关系的首选方法在方法的探寻中引导学生体会:相同的等量关系可以解决不同的数学问题不同的等量关系列出的分式方程的本质是一致的在循序渐进中不断提高学生的建模能力.在实践过程中锻炼学生方法的选择创造性地从不同角度思考问题有助于数学模型的优化.初中阶段的学生已明显表现出数学核心素养的差异性且随着学生所处的生活环境、心理特点、年龄增长等因素会越发明显.数学模型思想是基本思想之一是数学学科核心素养在解决实际问题中的集中体现所以教师在课堂教学中应多向学生渗透模型思想让学生在观察、类比、猜想、探究等一系列数学活动中发现规律在问题中了解数学模型、建立数学模型、运用数学模型.参考文献:中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(年版).北京:北京师范大学出版社.姜东海.初中数学课堂培养高阶思维能力的探究 以“分式方程”的教学为例.中学数学():.陈志远.科学分层针对指导提升初中生数学建模素养 以“分式方程应用题”为例.福建中学数学():.缪文慧.例谈“数学建模”教学.初中数学教与学():.(收稿日期:)