量子积分的梯形不等式.pdf

第 44 卷第 3 期 温 州 大 学 学 报（自 然 科 学 版）2023 年 8 月 Vol.44 No.3 Journal of Wenzhou University(Natural Science Edition)Aug.2023 量子积分的梯形不等式 时统业(海军指挥学院，江苏南京 211800)摘 要：从 q 积分和 qb积分的定义出发，利用量子微积分中值不等式，建立了 q 可积函数和 qb可积函数的梯形不等式，推广了经典的一阶可微函数的梯形不等式 关键词：q 积分；qb积分；q 微积分中值不等式；梯形不等式 中图分类号：O178 文献标志码：A 文章编号：1674-3563(2023)03-0001-10 DOI：10.20108/j.wzun.2021.11.10.0001 本文的 PDF 文件可以从 https:/ 获得 著名的 Hermite-Hadamard 不等式1是：()()()d22baabf af bff xx+，（1）其中f是区间,a b上的凸函数利用导函数的界可以给出由式（1）的左边部分和右边部分生成的不等式的估计，分别称之为中点不等式和梯形不等式，这方面的研究已有很多，参见文献2-6文献7-8引入了任意区间,a b上的q导数和q积分的概念本文建立q积分和bq积分的梯形不等式，并推广了经典的一阶可微函数的梯形不等式 1 相关概念和引理 定义 17-8 设f是,a b上的连续函数，则f在点(,xa b处的q导数定义为：()(1)D()(1)()aqf xf qxq af xq xa+=如果lim D()aqxaf x存在，则f在点xa=处的q导数定义为：D()lim D()aqaqxaf af x=如果f在,a b上每个点处的q导数都存在，则称f是,a b上的q可微函数 从定义 1 可知，f是,a b上的q可微函数，意味着f和D()aqf x都是,a b上的连续函数 定义 27-8 设f是,a b上的连续函数，,ta b，则f在,a t上的q积分定义为：0()d(1)()(1)tnnnaqanf ssq taq f q tqa=+设(,)ca t，则定义：()d()d()dttcaqaqaqcaaf ssf ssf ss=收稿日期：2021-11-10 作者简介：时统业(1963)，男，河北张家口人，硕士，副教授，研究方向：数学不等式 温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 3 期 2 00(1)()(1)(1)()(1)nnnnnnnnq taq f q tqaq caq f q cqa=+从定义 2 可知，,a b上的连续函数f在,a t上的q积分一定存在，在,c t上的q积分依赖于f在,a c上的函数值对于,a b上的一般的函数f，如果f在,a b上的q积分存在，则称f在,a b上是q可积的 定义 1 和定义 2 分别是0,b上的q导数和-qJckson 积分9概念的推广q积分有类似于经典积分的线性运算和分部积分法 定理 17 设,f g是,a b上的连续函数，则对任意(,xa b有：1）()()d()d()dxxxaqaqaqaaaf tg ttf ttg tt+=+；2）对任意常数，()()d()dxxaqaqaafttf tt=；3）对任意(,)ca x，()D()d()(1)D()dxxxaqaqcaqaqccf tg ttfgg qtq ag tt=+定理 210（-qHermite-Hadamard 型不等式）设f是,a b上的凸函数，且在(,)a b上可微，则有：1qabfq+()dbaqaf xx()()1qf af bq+记(,DsupD()aqaqta bff t=当f在,a b上q可微时，,DsupD()aqaqta bff t=存在有限 文献11给出反例说明了经典的微分中值定理对于q可微函数并不成立，但对于形如(1)nnq xqa+的两个点一定成立 定理 311（q微积分中值不等式）设f是,a b上的任意函数，则对任意(,xa b和任意 N0n，有：()(1)nnf xf q xqa+(1)()Dnaqqxaf 对任意,N0m k，由定理 3 直接可得11：(1)(1)()Dmmkkmkaqf q bqaf q bqaba qqf+（2）特别是，如果f在点xa=处连续，在式（2）中分别取m 和0m=，则得：()(1)()Dkkkaqf af q bqaba qf+，（3）()(1)()(1)Dkkkaqf bf q bqabaqf+（4）文献12给出bq导数和bq积分的定义 定义 312 设f是,a b上的连续函数，,xa b，则f在点,)xa b处的bq导数定义为：(1)()D()(1)()bqf qxq bf xf xq bx+=如果lim D()bqxbf x存在，则定义D()lim D()bbqqxbf bf x=如果f在,a b上每个点处的bq导数都存在，则称f是,a b上的bq可微函数 时统业：量子积分的梯形不等式 3 定义 412 设f是,a b上的连续函数，则f在,a b上的bq积分定义为：0()d(1)()(1)bbnnnqanf ssq baq f q aq b=+对于,a b上一般函数f，如果f在,a b上的bq积分存在，则称f在,a b上是bq可积的 定理 412（-bqHermite-Hadamard 型不等式）设f是,a b上的凸函数，且在(,)a b上可微，则有：()()()d11bbqaaqbf aqf bff xxqq+记)(),DsupDbbqqta bff t=当f在,a b上q可微时，有,DsupD()bbqqta bff t=存在有限 引理 1 设f是,a b上的任意函数，且Dbqf存在有限，则对任意N0k，(1)()()(1)Dkkkbqf q aqbf abaqf+，（5）(1)()()Dkkkbqf q aqbf bba qf+（6）证明：1110(1)()=(1)(1)kkkmmmmmf q aqbf af qaqbf q aqb+=+=10(1)()D(1)kmbmmqmq qbaf q aqb=+10(1)()D(1)kmbmmqmq qbaf q aqb=+10D(1)()=()(1)Dkbmkbqqmfq qbabaqf=+1+1(1)()=(1)(1)kkmmmmm kf q aqbf bf q aqbf qaqb=+=(1)()(1)mbmmqm kq qbaD f q aqb=+(1)()(1)mbmmqm kq qbaD f q aqb=+D(1)()=()Dbmkbqqm kfq qbaba qf=有关q积分不等式和bq积分不等式的结果还可参阅文献13-19本文建立q积分和bq积分的梯形不等式，作为其推论，得到由-qHermite-Hadamard 型不等式和-bqHermite-Hadamard 型不等式的右边生成差值的估计 为方便起见，记：温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 3 期 4()()=f bf aSba，211,(0,3=1 251,1)43qqqqqq+，1()()=()d2baqaf af bIf xxba+，1()()=()d2bbqaf af bJf xxba+2 主要结果 定理 5 设f是定义在,a b上的函数，且f在点xa=处连续，Daqf存在有限且非零，则有：D2(1)aqbafq+2D1(1)(1)()2(1)DDaqaqaqbaSSfqqqff+2D1(1)(1)()2(1)DDaqaqaqbaSSIfqqqff+（7）D2(1)aqbafq+证明：定理 3 中取xb=，n 得()()f bf a()Daqbaf，即SDaqf，故式（7）的右边第一个不等式和左边第一个不等式成立 对任意N0k，由式（3）（4）有：(1)()()Dkkkaqf q bqaf aba qf+，(1)()()(1)Dkkkaqf q bqaf bbaqf+，故有：(1)kkf q bqa+min()()D,()()(1)D:kkaqaqf aba qff bbaqf+=，()()Dkaqf aba qf+()()(1)D=kaqf bbaqf+2()D()kaqbafqc，其中1(1)2DaqScf=+因为SDaqf，故0,1c 先讨论0c=情形，此时=DaqSf 01()d=(1)(1)bkkkaqakf xxqq f q bqaba=+0(1)()()(1)D()()D1kkaqaqkqqqf bbaqff bbafq=+=+，时统业：量子积分的梯形不等式 5 I1 3()D2(1)aqqbafq+1()D2(1)aqqbafq=+2D1(1)(1)()2(1)DDaqaqaqbaSSfqqqff+，即式（7）从右边数起的第二个不等式成立 再讨论1c=情形，此时=DaqSf 01()d=(1)(1)bkkkaqakf xxqq f q bqaba=+0(1)()()D()D1kkaqaqkbaqqf aba qff afq=+=+，I1()D=2(1)aqqbafq+2D1(1)(1)()2(1)DDaqaqaqbaSSfqqqff+，即式（7）从右边数起的第二个不等式成立 当(0,1)c时，令lnlncKq=，其中 x是向下取整函数，则当kK时，=()f b+()(1)Dkaqbaqf；当k+1K时，=()()Dkaqf aba qf+011()d=(1)(1)+(1)Kbkkkkkkaqakk Kf xxqq f q bqaq f q bqaba=+01(1)()()(1)D+()()DKkkkkaqaqkk Kqq f bbaqfqf aba qf=+=2(1)1112()(1)()()()D=11KKKKaqqqqf aqf bbaqfqq+()()+2f af b+122211()()D12122DKaqaqqSqqqccbafqqf+由ln1lncKq lnlncq得cq1Kqc+，112Kqqc+12qc，有：I22211()()D12122DaqaqqSqqccbafqqf+=+2D1(1)(1)()2(1)DaqaqaqbaSSfqqqD ff+，故式（7）从右边数起的第二个不等式得证 D()Daqaqff=，对()f应用已证结果，则式（7）从左边数起的第二个不等式得证 推论 1 设f是定义在,a b上的函数，且f在点xa=处连续，Daqf存在有限且非零，则有：温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 3 期 6 2D1(1)(1)()2(1)DD()DD.2(1)2(1)aqaqaqaqaqSbaSIfqqqffbabaffqq+（8）证明：式（8）从左边数起的第一个不等式是式（7）的直接结果因为1，所以式（8）从右边数起的第一个不等式是显然的下面证明式（8）从右边数起的第二个不等式 2221 2511(1)(1)()=()42DDDaqaqaqSSSqqqqqqqqfff+当1(0,)3q时，因12qq12DaqSqqf3102qq，故有：21()2DaqSqqf231()2qq，21(1)(1)()DDaqaqSSqqff221 2531()42qqqqqq+=1 q 当1,1)3q时，显然有21(1)(1)()DDaqaqSSqqff21 254qqq+，因此式（8）从右边数起的第二个不等式成立 推论 2 设f是定义在,a b上的函数，且f在点xa=处连续，Daqf存在有限且非零，则有：22()(1)1D1(+)2(1)42Daqaqq baqSqfqf+()1()(1)()d2baqaqf aq f bf xxba+22()(1)1D1()2(1)42Daqaqq baqSqfqf+，从而有：()1()(1)()d2baqaqf aq f bf xxba+22()(1)1D1()2(1)42DaqaqSq baqqfqf+证明：利用式（7）从左边数起的第二个不等式和从右边数起的第二个不等式即可得证 推论 3 设f是定义在,a b上的函数，且f在点xa=处连续，Daqf存在有限且非零，则有：时统业：量子积分的梯形不等式 7 1()()()d1baqaqf af bf xxbaq+2()D1()2(1)Daqaqq baSfqf+证明：利用式（7）从左边数起的第二个不等式和从右边数起的第二个不等式即可得证 定理 6 设f是定义在,a b上的函数，且f在点xb=处连续，Dbqf存在有限且非零，则有：D2(1)bqbafq+2D1(1)(1)()2(1)DDbqbbqqbaSSfqqqff+J2D1(1)(1+)()2(1)DDbqbbqqbaSSfqqqff+（9）D2(1)bqbafq+证明：在式（5）中取k ，得()()f bf a()Dbqbaf，即SDbqf，故式（9）右边第一个不等式和左边第一个不等式成立对任意N0k，由式（5）（6）有：(1)kkf q aqb+()()(1)Dkbqf abaqf+，(1)kkf q aqb+()()Dkbqf bba qf+，故有：(1)kkf q aqb+min()()(1)D,()()D:kbkbqqf abaqff bba qf+=()()Dkaqf bba qf+()()(1)D=kbqf abaqf+2()D()bkqbafqd，其中1(1)2DbqSdf=因为SDbqf，故0,1d 先考虑0d=情形，此时=DbqSf 01()d=(1)(1)bbkkkqakf xxqq f q aqbba=+0(1)()()(1)D()()D1kkbbqqkqqqf abaqff abafq=+=+，J1()D=2(1)bqqbafq+2D1(1)(1+)()2(1)DDbqbbqqbaSSfqqqff+，即式（9）从右边数起的第二个不等式成立 温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 3 期 8 再考虑1d=情形，此时=DbqSf 01()d=(1)(1)bbkkkqakf xxqq f q aqbba=+0(1)()()D()D1kkbbqqkbaqqf bba qff bfq=+=+，J1()D=2(1)bqqbafq+2D1(1)(1+)()2(1)DDbqbbqqbaSSfqqqff+，即式（9）从右边数起的第二个不等式成立 当(0,1)d 时，令lnlndKq=，其中 x是向下取整函数，则当kK时，=()f a+()(1)Dkbqbaqf；当k+1K时，=()()Dkbqf bba qf+011()d=(1)(1)+(1)Kbbkkkkkkqakk Kf xxqq f q aqbq f q aqbba=+01(1)()()(1)D+()()DKkkbkkbqqkk Kqq f abaqfqf bba qf=+=2(1)1112(1)()()()()D11KKKKbqqqqf aqf bbaqfqq+，J122211()()D12122KbqbqqSqqqddbafqqD f+以下部分类似于定理 5 的证明，故略去 推论 4 设f是定义在,a b上的函数，且f在点xb=处连续，Dbqf存在有限且非零，则有：J2D1(1)(1)()2(1)DDbqbbqqSbaSfqqqff+()D2(1)bqbafq+D2(1)bqbafq+证明：证明类似于推论 1 的证明，故略去 推论 5 设f是定义在,a b上的函数，且f在点xb=处连续，Dbqf存在有限且非零，则有：22()(1)1D1()2(1)42Dbqbqq baqSqfqf+时统业：量子积分的梯形不等式 9 1()(1)()()d2bbqaqf aq f bf xxba+22()(1)1D1()2(1)42Dbqbqq baqSqfqf+，从而有 1()(1)()()d2bbqaqf aq f bf xxba+22()(1)1D1()2(1)42DbqbqSq baqqfqf+证明：利用式（9）的从左边数起的第二个不等式和从右边数起的第二个不等式即可得证 推论 6 设f是定义在,a b上的函数，且f在点xb=处连续，Dbqf存在有限且非零，则有：21()()()()dD1()12(1)Dbbbqqbaqf aqf bq baSf xxfbaqqf+证明：利用式（9）从左边数起的第二个不等式和从右边数起的第二个不等式即可得证 参考文献 1 匡继昌.常用不等式M.5 版.济南:山东科学技术出版社,2021:505.2 Cerone P,Dragomir S S.Midpoint-type Rules from an Inequality Point of View C/George A.Handbook of Analytic Computational Methods in Applied Mathematics.New York:CRC Press,2000:135-200.3 Cerone P,Dragomir S S.Trapezoidal-type Rules from an Inequalities Point of View C/George A.Handbook of Analytic Computational Methods in Applied Mathematics.New York:CRC Press,2000:65-134 4 Ujevi N.Some Double Integral Inequalities and Applications J.Acta Mathematics Universitatic Comenianae,2002,71(2):189-199.5 时统业,曾志红.梯形不等式和中点不等式的加强J.佛山科学技术学院学报(自然科学版),2021,39(1):53-59,71.6 时统业.梯形不等式、中点不等式和 Bullen 型不等式的加强J.嘉应学院学报,2020,38(6):6-12.7 Tariboon J,Ntouyas S K.Quantum Calculus on Finite Intervals and Applications to Impulsive Difference Equations J.Advances in Difference Equations,2013,DOI:10.1186/1687-1847-2013-282.8 Tariboon J,Ntouyas S K.Quantum Integral Inequalities on Finite Intervals J.Journal of Inequalities and Applications,2014,DOI:10.1186/1029-242X-2014-121.9 Jackson F H.On q-Definite Integrals J.The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics,1910,41:193-203.10 Alp N,Sarkaya M Z,Kunt M,et al.q-Hermite Hadamard Inequalities and Quantum Estimates for Midpoint Type Inequalities via Convex and Quasi-Convex Functions J.Journal of King Saud University:Science,2018,30(2):193-203.11 Aljinovi A A,Kovaevi D,Puljiz M,et al.Mean Value Theorem for Quantum Integral Operator with Application to Sharp Ostrowski Inequality EB/OL.2021-10-01.https:/arxiv.org/pdf/2011.02960.pdf.温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 3 期 10 12 Bermudo S,Krus P,Npoles Valds J E.On q-Hermite-Hadamard Inequalities for General Convex Functions J.Acta Mathematica Hungarica,2020,162(1):364-374.13 Ali M A,Budak H,Abbas M,et al.Quantum Hermite-Hadamard-Type Inequalities for Functions with Convex Absolut Evalues of Second qb-Derivatives J.Advances in Difference Equations,2021,DOI:10.1186/s13662-020-03163-1.14 Aljinovi A A,Kovaevi D,Kunt M,et al.Correction:Quantum Montgomery Identity and Quantum Estimates of Ostrowski Type Inequalities J.AIMS Mathematics,2021,6(2):1880-1888.15 Alp N,Sarikaya M Z.A New Definition and Properties of Quantun Integral which Calls q-Integral J.Konuralp Journal of Mathematics,2017,5(2):146-159.16 Noor M A,Noor K I,Awan M U.Some Quantum Estimates for Hermite-Hadamard Inequalities J.Applied Mathematics and Computation,2015,251:675-679.17 Sudsutad W,Ntouyas S K,Tariboon J.Quantum Integral Inequalities for Convex Functions J.Journal of Mathematical Inequalities,2015,9(3):781-793.18 时统业,李鼎,朱璟.中点不等式和梯形不等式的量子模拟J.大学数学,2017,33(1):50-56.19 时统业,李鼎,李军.几个积分不等式及其 q 模拟J.广东第二师范学院学报,2017,37(3):36-41.(编辑：封毅)Trapezoidal Inequalities for Quantum Integration SHI Tongye(PLA Naval Command College,Nanjing,China 211800)Abstract:Starting from the definitions of q-integral and qb-integral,the trapezoidal inequalities of first q-integrable functions and qb-integrable functions are established by means of mean value inequality for q-calculus,and the classical trapezoidal inequalities of first order differentiable functions are generalized.Key words:q-Integral;qb-Integral;Mean Value Inequality for q-Calculus;Trapezoidal Inequality (英文审校：黄璐)