论四维弯曲时空中的正则方程及量子力学原理.pdf

第 32 卷第 2 期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.32No.22023 年 6 月Journal of Henan Institute of Education(Natural Science Edition)Jun.2023收稿日期:2022-09-14基金项目:河南省科技攻关项目(212102210599)作者简介:李宜和(1976),男,安徽阜阳人,河南财政金融学院计算机与人工智能学院讲师,博士,主要研究方向为量子力学与相对论。doi:10.3969/j.issn.1007-0834.2023.02.007论四维弯曲时空中的正则方程及量子力学原理李宜和(河南财政金融学院 计算机与人工智能学院,河南 郑州 450046)摘要:根据哈密顿原理,利用等时变分法推导出四维弯曲时空中的测地线方程拉格朗日方程哈密顿正则方程以及拉格朗日函数与哈密顿函数。这些推论与广义相对论相对应的结论一致;过渡到非相对论时,其结论与经典力学一致。同时,根据哈密顿正则方程及相对论性矩阵力学,推导出四维弯曲时空中的矩阵力学方程。关键词:等时变分;四维弯曲时空;测地线方程;正则方程;哈密顿函数;矩阵力学中图分类号:O412;O413文献标志码:A文章编号:1007-0834(2023)02-0034-040引言在分析力学中,既可以从变分原理的微分形式即虚功原理出发,推导出拉格朗日方程及哈密顿原理,也可以从积分形式的哈密顿原理出发推导出拉格朗日方程及正则方程,而用泊松括号表示的正则方程又与量子力学中的海森堡方程有密切关系1。上述理论在经典力学及电动力学中都是成立的2。于是,一个新的问题自然而然地产生了:在四维弯曲时空中,这些原理是否成立?既然牛顿运动定律及带电粒子在电磁场中的运动定律都可以由哈密顿原理推导出来,那么弯曲时空的测地线方程也可能会从哈密顿原理推导出来。根据广义相对论,牛顿引力论只是广义相对论在弱场低速极限下的一种近似理论3,若是把弯曲时空中的度规张量 g变成,=0,1,2,3(),则四维弯曲时空就变成了四维闵氏平直时空。无论是引力场中的牛顿运动定律,还是四维闵氏平直时空的带电粒子,在电磁场中的运动定律都可以由哈密顿等时变分原理得出,我们完全相信,从哈密顿等时变分原理出发一定会得到四维弯曲时空的测地线方程拉格朗日方程及哈密顿正则方程。当然弯曲时空的测地线方程已经由爱因斯坦利用哈密顿原理推导出来4,但在推导过程中他没有采用等时变分原理,而是把三维变量推广到四维变量,然后将作用量对任意变分参数进行变分。虽然得到了测地线方程,但没有给出弯曲时空中的拉格朗日方程及正则方程。本文首先根据等时变分原理,推导出四维弯曲时空的 3 个测地线方程,这 3 个方程只是测地线方程的一部分,同时证明它与推导得到的测地线方程是一致的,并给出弯曲时空的哈密顿函数及正则方程。定义广义四维动量并给出完整的测地线方程,此方程与广义相对论中的测地线方程是一样的。最后,给出弯曲时空中一般形式的矩阵力学方程,并将它应用到静态球对称时空中,最后进行了总结与展望。1等时变分原理与测地线方程在经典力学中,作用量 S=BALdt,其中 L=T-V;在狭义相对论中,对于自由粒子,有L=-mc c2-dx/dt()2-dy/dt()2-dz/dt()2()12。在电动力学中同样可以通过变分原理得到带电粒子在电磁场运动的运动方程2。由于采用了等时变分,即 t=0,则 S=BALdt。在四维弯曲时空中,ds2=c2d2=-gdxdx,参照电动力学作用量的形式,则S=BA-mc2d=BA-mc2d/dt()dt=BALdt,第 2 期李宜和:论四维弯曲时空中的正则方程及量子力学原理35 故L=-mc2ddt=-mc-g00c2-2g0icdxidt-gijdxidtdx jdt()12,(1)其中 x0=ct,i,j,k,=1,2,3。根据等时变分原理,S=-mcBA-gdxdtdxdt()-12-12gxdxdtdxdtx-gdxdtdxdt()dt,(2)为计算方便,将 L 展开,则S=-m2BAdtd-g00c2-2g0icdxidt-gijdxidtdxjdt()dt=m2BAdtdg00 xkc2xk+2g0ixkcdxidtxk+gijxkdxidtdxjdtxk()dt+m2BAdtd2g0icdxidt+2gijdxidtdxjdt()dt,(3)在 A,B 处,xi=0。经过整理得S=m2BAdtdgxkdxdtdxdtxkdt-mBAddtgkdtddxdt()xkdt。(4)变分原理要求(4)式为零,则gxidx dtdxdtdtd=2ddtgidtddxdt(),(5)即ddgidx d()=12gxidx ddxd,(6)此为四维时空测地线方程,但公式(6)只是测地线方程的一部分,下面将继续推导其完整的表达式。2拉格朗日方程由于 L=-mc2d/dt()=-mc-gdx/dt dv/dt()12,g是 xi,t 的函数,则 L=L xi,dxi/dt,t(),故S=BALdt=BALxi xi+L dxi/dt()dxidt()dt=BALxi-ddtL dxi/dt()()xidt=0,即Lxi-ddtL dxi/dt()=0,(7)而L dxi/dt()=-mc dxi/dt()-gdxdtdxdt()-12=mdtdgi0c+gijdxjdt()=mgidxd,(8)Lxi=-mcxi-gdx dtdxdt()-12=m2dtdgxidxdtdxdt,(9)将式(8)和式(9)代入式(7)就得到方程(6)。3正则方程1定义广义动量 pi=Lxi=mgidxd,它不同于机械动量 pi,pi=mdxid,则测地线方程(6)可写为dpid=m2gxidxddxd。(10)H=pidxidt-L=mgidtddxdtdxidt+mc2ddt=mdtdgidxdtdxidt+c2ddtddt()=mdtdgidxidtdxdt-gdxdtdxdt()=-mcg0dxd,(11)36 河南教育学院学报(自然科学版)2023 年则dHdt=Hxidxidt+Hpidpidt+Ht=pidxidt+xidpidt-Lxidxidt-Lxidxidt-Lt=-pidxidt+xidpidt-Lt,(12)故xi=Hpi;pi=-Hxi;Ht=-Lt。(13)根据式(11)式(13),得dHdt=Ht=-Lt,即-mcddtg0dxd()=mctgdxdtdxvdt()1/2,得到ddg0dxd()=12gx0dxddxd。(14)定义 p0=mg0dxd,则四维广义动量可表示为p=mgdxd,(15)结合公式(6)和(14)得ddgdxd()=12gxdxddxd。(16)将公式(16)展开5,gxdxddxd+gdddxd=12gxdxddxd,变换可得gdddxd+12gxdxddxd+12gxdxddxd-12gxdxddxd=0,则dddxd+dxddxd=0,(17)其中=12ggx+gx-gx()。公式(17)即为四维弯曲时空的测地线方程5-6。需要注意的是,根据勒让德变换1,哈密顿量 H 不再是 pi的函数,而是 pi的函数。4球对称静态时空的量子矩阵力学前面详细讨论了弯曲时空中的测地线方程以及正则方程。由于 g的复杂性,使一些问题变得非常复杂,但在一般的实际应用中,很多时候以球对称静态时空为研究对象,其线元为 ds2=-g00c2dt2-giidxidxi,则H=-g00c m2c2+giipipi()12=-g00c m2c2+pipi/gii()12,(18)其中 pi=mgiidxi/d=giipi(不求和)。根据正则方程得到xi=dxidt=Hpi=pimgiiddt=pimddt,pi=dpidt=-Hxi=-g00 xiH-g00-g00c22Hpipig-1iixi,故dxid=pim,dpid=-g00 xiHmc2g00-g00-g002mpipig-1iixi。由于dFd=dtddFdt,则根据相对论性矩阵力学7-9得到dFd=12(dtddFdt+dFdtdtd)=12(H0dFdt+dFdtH0)=12i(H0F,H+F,HH0)+12(H0Ft+FtH0),此为弯曲时空中的量子矩阵力学方程,其中 H0=dtd,但H 的算符表达式还需要继续研究。第 2 期李宜和:论四维弯曲时空中的正则方程及量子力学原理37 5总结与展望在量子力学建立的过程中,海森堡为了解决玻尔理论存在的问题,从哈密顿正则方程出发,推导出量子矩阵力学。那么,为了得到四维弯曲时空中的量子矩阵力学,就必须知道四维弯曲时空中的正则方程,而正则方程的获得一般是通过变分原理。虽然爱因斯坦也从变分原理出发,得到了四维弯曲时空中的测地线方程,但由于他把时间分量看成独立的变量,因而并没有得到相应的正则方程。本文按照等时变分原理严格推导出四维弯曲时空中粒子的运动学方程,即测地线方程,进而推导出拉格朗日方程及正则方程,从而得到四维弯曲时空中的拉格朗日函数哈密顿量等。在此基础上,根据相对论性量子矩阵力学,进而得到了四维弯曲时空中的量子矩阵力学。最后将这些结论运用到静态球对称空间,从而得到相应的动力学方程及量子矩阵力学方程。虽然得到了正则方程哈密顿量及矩阵力学方程,但并没有得到波动力学方程,因而下一步研究是推导波动力学方程的表达形式。但波动力学方程必须与本文的一些结论相一致,比如哈密顿量中的动量一定是广义动量而不是机械动量;波动力学也一定要与量子矩阵力学相一致:根据哈密顿算符及矩阵力学得到的物理量算符之间关系,一定要与广义相对论中物理学量之间的关系相一致。对于推导哈密顿量的算符表达式,这些都具有指导意义和启发作用。参 考 文 献1周衍柏.理论力学教程M.3 版.北京:高等教育出版社,2009:201-2452郭硕鸿.电动力学M.4 版.北京:高等教育出版社,1997:285-2903梁灿彬,周彬.微分几何入门及广义相对论(上册)M.2 版.北京:科学出版社,2006:39-2314爱因斯坦.爱因斯坦文集(增补本,第二卷)M.范岱年,赵中立,徐良英,译.北京:商务印书馆,2009:354-3565温伯格.引力和宇宙学M.邹振隆,张历宁,陈建生,等,译.北京:高等教育出版社,2018:65-746朗道栗弗席兹.场论M.8 版.鲁欣,任朗,袁炳南,译.北京:高等教育出版社,2012:269-2757喀兴林.高等量子力学M.2 版.北京:高等教育出版社,2001:67-748李宜和.论相对论性量子矩阵力学J.河南教育学院学报(自然科学版),2022,31(2):41-459HEISENBERG W.Quantum-theoretical re-interpretation of kinematic and mechanical relationsJ.Zeit Physik,1925,33(1):879-893On Canonical Equation and Principle of Quantum Mechanics in Four-dimensional Curved Space-timeLI Yihe(College of Computer and Artificial Intelligence,Henan Finance University,Zhengzhou 450046,China)Abstract:According to the principle of Hamilton and isochronous variation,geodesic equation,Lagrange equa-tion,Hamilton canonical equation,Lagrange function and Hamilton function in four-dimensional curved space-time are derived.These results are consistent with the corresponding conclusions of general relativity.When transited to classical mechanics,its conclusions are consistent with Newtons theory of gravity.At the same time,according to Hamilton canonical equation and relativistic matrix mechanics,the quantum matrix mechanics equation in four-di-mensional curved spacetime is given.Key words:time-varying principle;curved four-dimensional space-time;Geodesic equation;canonical equation;Hamiltonian;matrix mechanics