联系着广义gamma函数的Raabe型积分.pdf

收稿日期2 0 2 1-1 0-0 5;修改日期2 0 2 3-0 1-1 0 基金项目国家自然科学基金青年项目(1 1 6 0 1 0 3 6);山东省自然科学基金面上项目(Z R 2 0 1 9 MA 0 6 2);滨州学院重大项目(2 0 2 0 Z D 0 2);山东省重点研发计划(软科学)(2 0 2 0 R K B 0 1 1 3 0)作者简介苏文华(1 9 8 1-),女,硕士,讲师,从事不等式及其应用研究.E-m a i l:3 7 9 3 1 3 0 6 0q q.c o m 通讯作者尹枥(1 9 7 9-),男,硕士,副教授,从事特殊函数与R a m a n u j a n模理论研究.E-m a i l:y i n l i_7 91 6 3.c o m第3 9卷第3期大 学 数 学V o l.3 9,.32 0 2 3年6月C O L L E G E MATHEMAT I C SJ u n.2 0 2 3联系着广义g a mm a函数的R a a b e型积分苏文华,尹 枥(滨州学院 理学院,山东 滨州2 5 6 6 0 3)摘 要通过渐近公式与分析方法计算了若干联系着广义g a mm a函数的R a a b e型积分.关键词广义g a mm a函数;R a a b e型积分;渐近公式 中图分类号O 1 7 8 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 3)0 3-0 0 7 3-0 41 引 言R a a b e曾经计算过如下的积分I=10l n(x)dx,其中g a mm a函数1定义为:当x0时,有 x =0tx-1e-tdt=l i mnn!nxx x+1 x+2 x+n .通过g a mm a函数的余元公式容易得到I=l n2.文献2 得到了与g a mm a函数相关的渐近估计式,并对一类涉及g a mm a函数的极限进行了计算.文献3 得到了伽马函数的一些不等式与渐近展开式,关于这个重要函数的其它性质可以参看文献4.应用单参数与双参数广义g a mm a函数的定义,这儿给出上述R a a b e积分的几个推广,下面介绍单参数与双参数广义g a mm a函数的定义与基本公式.在2 0 0 7年,文献5 在k0,xC/k Z-的前提下对g a mm a函数进行了推广:kx =0tx-1e-tkkdt=l i mnn!kn(n k)xk-1x n,k,其中(x)n,k=x(x+k)(x+2k)(x(n-1)k)称为P o c h h a mm e r符号.容易得到结论:l i mk1k(x)=(x).下面再给出g a mm a函数的(p,k)推广,详细的可以参看文献6.定义1 对pN,k0,定义g a mm a函数的(p,k)推广为p,k(x)=p0tx-1 1-tkp k pdt=(p+1)!kp+1(p k)xk-1x(x+k)(x+2k)(x+p k).对x+,函数满足以下等式:p,k(x+k)=p k xx+p k+kp,k(x).2 主要结果引理15 对于k0,00,x0,有p,k(x)=(p+1)!kp+1(p k)xk-1k(x)kx+(p+1)k .证 应用递推公式k(x+k)=x k(x),得到x(x+k)(x+p k)=kx+(p+1)k k(x).再利用g a mm a函数的(p,k)推广定义即得.注 引理2是沟通双参数(p,k)-g a mm a函数与单参数k-g a mm a函数的桥梁,是通过单参数k-g a mm a函数研究双参数(p,k)-g a mm a函数的一个有用的工具.定理1 对于k0,00,p0,00,00,p0,00,p0,00,0 x1,有I6=10l nk(k x)dx=l n2k .证 应用S t i r l i n g公式可得l i mpep+1p!(p)1/2(p+1)p=2.再在定理5中令p,即得结果.57第3期 苏文华,等:联系着广义g a mm a函数的R a a b e型积分3 结 论基于广义k-g a mm a函数与广义(p,k)-g a mm a函数的定义,对于经典的g a mm a函数的R a a b e积分做出了几类有意义的推广,这些结果综合运用了渐近分析的结果与各类函数之间的特殊关系,是一些有价值的推广.致谢 作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.参 考 文 献1 A L Z E R H.O ns o m ei n e q u a l i t i e sf o rt h eg a mm aa n dp s i f u n c t i o n sJ.C o m p u t a t i o no fM a t h e m a t i c s,1 9 9 7,6 6:3 7 3-3 8 9.2 董锐,王德荣,黄永忠.G AMMA函数渐近估计式在一类极限计算中的应用J.大学数学,2 0 1 8,3 4(5):5 9-6 2.3 张慧杰,林龙.关于伽马函数的不等式与渐近展开式(英文)J.大学数学,2 0 1 7,3 3(2):2 7-3 4.4 张素玲,陈超平,祁锋.关于伽玛函数的单调性质(英文)J.大学数学,2 0 0 6,2 2(4):5 0-5 5.5 D I A RD,P A R I GUANE.O nh y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n s a n dP a c h h a mm e r k-s y m b o lJ.D i v u l g a c i o n e sM a t e m a t i c a s,2 0 0 7,1 5(2):1 7 9-1 9 2.6 Y I N L,HUAN G L G,S ONG Z M,e ta l.S o m e m o n o t o n i c i t yp r o p e r t i e sa n di n e q u a l i t i e sf o rt h eg e n e r a l i z e dd i g a mm aa n dp o l y g a mm a f u n c t i o n sJ.J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e sa n dA p p l i c a t i o n s,2 0 1 8,2 0 1 8:2 4 9.7 薛春华,徐森林.数学分析精选习题全解:下册M.北京:清华大学出版社,2 0 1 0:3 5 8-3 5 9.R a a b e-T y p e I n t e g r a l sA s s o c i a t e dw i t hG e n e r a l i z e dG a mm aF u n c t i o n sS U W e n h u a,Y I NL i(C o l l e g eo fS c i e n c e,B i n z h o uU n i v e r s i t y,B i n z h o uS h a n d o n g2 5 6 6 0 3,C h i n a)A b s t r a c t:S o m eR a a b e-t y p ei n t e g r a l sr e l a t e dt og e n e r a l i z e dg a mm af u n c t i o n sa r ec a l c u l a t e db yu s i n ga s y m p t o t i cf o r m u l a sa n da n a l y t i c a lm e t h o d s.K e yw o r d s:g e n e r a l i z e dg a mm a f u n c t i o n;R a a b e t y p e i n t e g r a l;a s y m p t o t i c f o r m u l a67大 学 数 学 第3 9卷