用傅里叶变换解偏微分方程专题省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,用傅里叶变换解偏微分方程,一、傅里叶变换,二、偏微分方程,三、方程求解,第1页,一、傅里叶变换,1.傅里叶级数,2.积分变换,3.傅里叶变换,4.离散傅里叶变换,5.快速傅里叶变换（FFT）,第2页,傅里叶级数,傅里叶级数形式,an和bn称为f(x)傅里叶系数,第3页,傅里叶级数,普通意义下：,假设 f(x)是定义在(-,+)内实函数，它在任一有限区间l,+l内是分段光滑,则 f(x)能够展开为傅里叶级数：,第4页,积分变换,对于普通积分变换，我们有以下定义：令 I 为一实数集，K(s,w)是定义在 I a,b上函数，假如函数 f(w)满足：(1)在a,b上有定义；,(2)对每个sI,K(s,w)f(w)作为wa,b函数是可积。,则带有参变量积分 就定义了一个“从 f(w)到 F(s)”变换。这种经过积分运算把一个函数变为另一个函数方法称为积分变换。,第5页,积分变换,每给定一个函数 K(s,w)就确定了一个积分变换，所以积分变换是由函数 K(s,w)生成。通常称 K(s,w)为（积分变换）核函数，称参加变换 f(w)为初始函数或者原象函数，把变换成 F(s)称为变换函数或者象函数。积分变换是作用是把初始函数变成另一类比较轻易求解象函数，所以用积分变换求解偏微分方程方法与我们采取对数来计算数乘、除、乘方和开方技巧是完全类似。,第6页,傅里叶变换,傅里叶变换,傅里叶逆变换,由傅里叶级数推导出傅里叶积分，再推导出傅里叶变换，过程以下,第7页,傅里叶变换,将上两式代入前式，并利用三角恒等式：,能够得到,第8页,傅里叶变换,现在假定 f(x)在(,+)内绝对可积，那么当 l +时，就有：,上述积分极限为：,令,以及,当 时,，,我们把上述积分表示式称之为傅里叶积分。,第9页,傅里叶变换,傅里叶积分两种形式：,一个是,另一个是,第10页,傅里叶变换,引进新函数：,便能够得出：,第11页,傅里叶变换,(1)线性性质。假定 a、b为任意两个实数,函数 f1(x)、f 2(x)满足傅里叶变换条件，则有：,(2)卷积性质。假定函数 f1(x)、f 2(x)满足傅里叶变换条件，则称函数,称为 f1(x)和 f 2(x)卷积,假如 f1(x)、f 2(x)和 f1*f 2 均满足傅里叶变换条件，那么就有,：,第12页,傅里叶变换,(3)微商性质。假如 和 均满足傅里叶变换条件，而且当|x|+时f(x)0，那么：,深入，假如 满足傅里叶变换条件，就有：,第13页,二、偏微分方程,1.什么是偏微分方程,2.定解条件与定解问题,3.二阶线性偏微分,第14页,偏微分方程概念,偏微分方程,是指含有未知函数以及未知函数一些偏导数等式。,偏微分方程普通形式：,第15页,偏微分方程分类,假如一个偏微分方程对未知函数及它全部偏导数都是线性，且它们系数都是仅依赖于自变量已知函数，则这么偏微分方程称为,线性偏微分方程,。,对于一个非线性偏微分方程，假如它关于未知函数最高阶偏导数是线性，则称它是,拟线性偏微分方程,。,第16页,偏微分方程例子,第17页,定解条件,常见定解条件，可分为,初始条件,与,边界条件,。,第18页,定解条件,第19页,定解条件,第20页,定解条件,第21页,定解问题,一个偏微分方程与定解条件一起组成对于详细问题完整描述，称为,定解问题,。,第22页,二阶线性偏微分,表示式为：,其中A,B,C为参数而且取决于x,y。假如在xy平面上有 ，该偏微分方程在该平面上为二阶偏微分方程。可变形为：,该二阶偏微分方程可分类为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程，起分类方式为：,:椭圆方程；,:抛物线方程；,:双曲线方程。,第23页,三、傅里叶变换解偏微分,1.热传导问题,2.波动问题,3.基本步骤,第24页,热传导问题,一维齐次热传导方程柯西问题,第25页,热传导问题,（一）将t视为参数，对（1）（2）两式两端进行对于x傅里叶变换：,记 ,则有,第26页,热传导问题,（微分性质）,第27页,热传导问题,（二）解（3）（4）式合并后带有参数w常微,分方程初值问题，得,第28页,热传导问题,（三）利用对w傅里叶逆变换，来求原函数,（5）式左端：,右端：,第29页,热传导问题,考虑（5）右端：,因为 故只考虑 ，而,第30页,热传导问题,卷积性质,所以解为,第31页,波动问题,因为时间问题，此问题是从网上照抄下来，没有自己打。,第32页,第33页,第34页,第35页,第36页,第37页,基本步骤,普通化用傅里叶变换求解偏微分方程 4 个基本步骤：,（1）选取偏微分方程中某个适当自变量作积分变量，对方程作傅里叶变换，将方程中自变量消去一个，化原方程为带参数常微分方程,（2）对定解条件作傅里叶变换，导出常微分方程初始条件；,（3）解此常微分方程定解问题，得到原未知函数傅里叶变换式；,（4）对该式进行逆傅里叶变换，最终求得原问题解。,第38页,