例谈因式分解中的数学思想.pdf

例题精讲例谈因式分解中的数学思想陈锦钢(江苏省盐城市亭湖新区初级中学 2 2 4 0 0 2)【摘要】因式分解不仅是初中数学中重要的恒等变形,还是处理数学问题的重要手段与工具.对于因式分解的学习,既要掌握常见的基本方法,还要领悟方法中渗透的数学思想.本文通过实例,探讨因式分解中渗透的数学思想.【关键词】初中数学;因式分解;数学思想数学思想作为一种数学意识,在对其领会的基础上并加以运用,可以加深对数学问题的认识、处理与解决.随着时间的推移,即使对数学知识出现遗忘情况,数学思想仍然能够对你起作用.在因式分解中蕴藏了整体思想、类比思想、转化思想、换元思想等等,如果能够在领会的基础上灵活运用,往往可以快速解决因式分解问题.1 整体思想整体思想是指从整体上去看待问题并思考问题,强调对问题整体结构的研究,聚焦于问题整体结构的特征,将问题中的式子、图形借助彼此之间的关联视为一个整体,实现化复杂为简单,变困难为容易.例1 因式分解:(x2-1)2+61-x2 +9.分析 把x2-1看作一个整体,借助完全平方公式进行分解,再利用平方差公式达到彻底分解.解 x2-1 2+61-x2 +9=x2-1 2-6x2-1 +9=(x2-1-3)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.整体思想分解因式,是将分解的多项式中的某些项看作一个整体,然后加以分解.2 类比思想类比思想是指具有相同或相似特征的两个物体间的对比,从某一类事物的某些已知特征去类推到另一个事物的相应特征的思维活动.类比思想是由新信息引起对已有知识的联想,在新旧信息间找相似和相同的地方.例2 分解因式:(1)x3y-x y3;(2)a b x2-2a b x y+a b y2.分析(1)类比平方差公式可以先提取x y后再计算;(2)类比完全平方差公式可以先提取a b后再计算.解(1)x3y-x y3=x y(x2-y2)=x y(x+y)(x-y).(2)a b x2-2a b x y+a b y2=a b(x2-2x y+y2)=a b(x-y)2.类比思想在因式分解中应用十分广泛,常表现在因式分解与整式乘法对比、因式分解与乘法的分配律对比、因式分解与乘法公式的对比.3 转化思想转化思想是指对未知解法或难以解决的问题,在经历观察、分析、联想、类比等思维过程后,选取合适的方法,转化成已有知识范围内已经解决或者比较容易解决的问题的数学思想.例3 因式分解:(1)x4+4y4;(2)a2-b2+4a+2b+3.分析(1)在x4+4y4中添上4x2y2和-4x2y2这两项后,利用分组分解法,再使用公式进行分解.(2)根据多项式的特点,把3拆成4+(-1),再借助平方差、完全平方公式求解.解(1)原式=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2x y)201 数理天地 初中版例题精讲2 0 2 3年9月上=(x2+2x y+2y2)(x2-2x y+2y2).(2)原式=a2-b2+4a+2b+4-1=a 2+4a+4)-(b2-2b+1)=(a+2)2-(b-1)2=(a+b+1)(a-b+3).转化思想是针对某些多项式从直观上无法利用因式分解的一般步骤进行时,必须借助适当地转化,如添项、拆项等适当的变形,才可以利用因式分解的有关方法进行.4 换元思想换元思想是指将某个式子视为一个整体,然后用一个变量去替代它,从而简化问题.换元的关键在于构造元和设元.例4 因式分解:(x2+3x-4)(x2-x-6)+2 4.分析 借助十字相交法将x2+3x-4、x2-x-6进行因式分解,然后调整因式位置,转化为x-1 x+2 x-3 x+4 +2 4,再借助换元法令y=x2+x-2,将原式进行转换求解.解 x2+3x-4 x2-x-6 +2 4=x-1 x+4 x+2 x-3 +2 4=x-1 x+2 x-3 x+4 +2 4=x2+x-2 x2+x-1 2 +2 4.设y=x2+x-2,则x2+x-1 2=y-1 0.原式=y y-1 0 +2 4=y2-1 0y+2 4=(y-4)(y-6)=x2+x-2-4 x2+x-2-6 =(x-2)(x+3)(x2+x-8).在多项式的因式分解过程中,借助换元,能够实现将复杂的多项式转变成形式简单、便于分解的多项式,进而实现复杂问题简单化.5 结语因式分解的本质是将一个多项式分解成几个整式乘积的形式.它是整式乘法的相反方向的变形.把握因式分解中的数学思想,掌握数学解题的灵魂.参考文献:1张智慧.分类例析因式分解在解题中的运用J.初中数学教与学,2 0 2 1(2 3):4 0-4 1.2 薛山.初中数学因式分解的思想方法J.现代中学生(初中版),2 0 2 1(1 8):1 5-1 6.3 孙寿春.探索初中数学课堂的教学导向 以人教版八年级数 学 上 册“因 式 分 解”为 例 J.数 学 教 学 通 讯,2 0 1 8(1 1):4 6+7 5.数理天地2 0 2 3年合订本征订启事为便于读者朋友连续阅读,数理天地(初中版、高中版)2 0 2 3年将继续推出精装合订本,合订本将按季度出版,于当年4月、7月、1 0月和次年1月发行,每册邮购价1 4 0元,全年邮购价5 6 0元。合订本数量有限,为了不影响您阅读使用,请务必一次订购全年4册,每册出版后即刻通过邮局寄出。数理天地(初、高中版)2 0 2 0、2 0 2 1年合订本有售,邮购价1 0 0元/本。2 0 2 2年合订本有售,邮购价1 4 0元/本。数理天地(初、高中版)2 0 1 9-2 0 2 1年各期单行本邮购价7.5元/本;2 0 2 2-2 0 2 3年各期单行本邮购价2 0元/本。汇款请寄:北京市昌平区东小口都市芳园锦湖园独栋1 0号.邮编:1 0 2 2 0 9收款人:数理天地 杂志社。从我社邮购请务必挂号(即书款总额加挂号费3元),并在汇款单附言栏内注明购刊明细。咨询电话:[phone]转3。112 0 2 3年9月上例题精讲 数理天地 初中版