用设问梯度巧解数学高考压轴题.doc

用设问梯度巧解数学高考压轴题双休长假攻数学难关，用设问梯度巧解数学高考压轴题 高考数学的压轴题都是由多问构成的，那么各问之间有联系吗？这种联系可以用来解题吗？答案是肯定的，但我们很多考生往往不去考虑各问之间的联系，放弃题目的设问给我们的重要提示，或对这样的联系挖掘不够，花大量的精力去考虑单问的解法，这样做的效果当然是不理想的，下面我们用2009年上海春季高考题来谈谈问与问之间的联系，让考生来体会一下。 2009年上海春季高考第20题：设函数，其中为正整数。 （1）判断函数、的单调性，并就的情形证明你的结论； （2）证明： （3）对于任意给定的正整数求函数的最大值和最小值。 1、命题意图与背景 以三角函数做为高考的数学压轴题很少，是一个突破。做为压轴题，共设置了三小问且难度逐步加大也是命题惯例，出题者正是按这个思路对题目进行设置的，本题对有些学习了导数的考区的学生来讲应不算什么太困难，但上海教材里没有导数，这就突出体现了前面两小问的重要性，当然这也可以体现出知识面对考生多么重要，这里不谈。 2、解法与联系 解：（1）在上，正弦函数单调递增，余弦函数单调递减，所以、在上均为单调递增的函数。下面证明的单调性： 证明：对于函数，设，且，则因为，所以，故函数在上单调递增。 评析：显然，这一问难度小，就是入口宽，方法还多，如可以用的一个递增区间为来证明等等，极大的增强了学生的信心，平缓考生考场的紧张情绪。 （2） 右边所以 评析：单独就这两问看，难度不大，也没有什么新意，以为就是考察基本知识点如单调性定义和三角恒等变形及倍角公式，其实这两个小问除了其自身的考察功能外，更主要是对第三问在解题技巧和思想方法上做提醒、铺垫，这就是高考压轴题命题常用的方法。 （3）考虑到这里的对函数的影响，考生很难一下子对任意的去求函数的最值，于是试探试的开始考虑： 当时，函数在上单调增，所以的最大值为，最小值为。 当时，函数，所以得最大值、最小值均为1. 当时，函数在上单调增，所以的最大值为，最小值为。 当时，函数在上单调减，所以的最大值为，最小值为。 评析：考生不可能一直讨论下去，必需考虑一般情形！ 下面讨论正整数的情形： 当为奇数时，对任意的，且由，以及得 所以，所以函数在上单调增，所以的最大值为，最小值为。当为偶数时， 评析：这就是求出了最大值，但最小值呢？这时候我们就应该回到第2问，去想想为什么第2问会有个差式的证明，我们考虑特殊推广到一般就有了下面的思路。 对于任意的正整数，有所以 评析：这个连续不等式才是题目所以暗示的核心，加上常考的递推放缩方法我们就找到了这个核心，就找到了突破口。 所以函数的最大值为，最小值为综上所述，当为奇数时，函数的最大值为0，最小值为，当为偶数时，函数的最大值为1，最小值为 3、小结 由上例可以看出，考生在解答压轴题时要多考虑问什么有这样的设问，这样的设问对我们有什么暗示，在回到难点时可以回头想想前面的小问，分析联系去找突破口，当然，本题还有其他更简单的解法，在这里就不多谈，但利用题目的设问去找突破口必需引起考生的重视。高考数学考试提分技巧所谓工欲善其事必先利其器，知己知彼方能百战百胜。考试亦如是。数学考试第一要明白考什么，才能有所准备。第二要充分发挥自身的能力，才能掌控全局。 所以我们要先了解数学考察的方向和大致内容。 一、近年高考数学命题的中心是数学思想方法，考试命题的四个基本点 1.在基础中考能力，这主要体现在选择题和填空题。 2.在综合中考能力，主要体现在后三道大题。 3.在应用中考能力，在选择填空中，会出现一、二道大众数学的题目，在大题中有一道应用题（一般为概率应用题）。 4.在新型题中考能力。尤其是新课改地区，理科命题表面上看起来更加简单，并且做题的时候会发现计算量没有以往的题型大，但是多以创新题为主。 这“四考能力”，围绕的中心就是考查数学思想方法。 二、题型特点 1.选择题 （1）概念性强：数学中的每个术语、符号，乃至习惯用语，往往都有明确具体的含义，这个特点反映到选择题中，表现出来的就是试题的概念性强。试题的陈述和信息的传递，都是以数学的学科规定与习惯为依据，绝不标新立异。 （2）量化突出：数量关系的研究是数学的一个重要的组成部分，也是数学考试中一项主要的内容。在高考的数学选择题中，定量型的试题所占的比重很大。而且，许多从形式上看为计算定量型选择题，其实不是简单或机械的计算问题，其中往往蕴涵了对概念、原理、性质和法则的考查，把这种考查与定量计算紧密地结合在一起，形成了量化突出的试题特点。 （3）充满思辨性：这个特点源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。作为数学选择题，尤其是用于选择性考试的高考数学试题，只凭简单计算或直观感知便能正确作答的试题不多，几乎可以说并不存在。绝大多数的选择题，为了正确作答，或多或少总是要求考生具备一定的观察、分析和逻辑推断能力，思辨性的要求充满题目的字里行间。 （4）形数兼备：数学的研究对象不仅是数，还有图形，而且对数和图形的讨论与研究，不是孤立开来分割进行，而是有分有合，将它辨证统一起来。这个特色在高中数学中已经得到充分的显露。因此，在高考的数学选择题中，便反映出形数兼备这一特点，其表现是：几何选择题中常常隐藏着代数问题，而代数选择题中往往又寓有几何图形的问题。因此，数形结合与形数分离的解题方法是高考数学选择题的一种重要且有效的思想方法与解题方法。 （5）解法多样化：与其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出。尤其是数学选择题，由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法。常常潜藏着极其巧妙的解法，有利于对考生思维深度的考查。 2.填空题 填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。 填空题的考点少，目标集中，否则，试题的区分度差，其考试信度和效度都难以得到保证。 这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因。有的可能是一窍不通，入手就错了，有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管它们的水平存在很大的差异。 3.解答题 解答题与填空题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。解答题的考点相对较多，综合性强，难度较高。解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况评定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度，较之填空题大得多。 三、高考试卷的深层结构 根据题型特点，高考试卷的结构就十分明确了，我们将其分成三段： 第一段第二段第三段 试题形式选择、填空解答题前三题解答题后三题 能力要求考察综合思维能力考察理解、分析应用能力需要具备更多思维 难度基础（最后一题稍难）中等难（第一问难度中等） 四、如何获取高分 由于，基础中考能力，所以要注重解题的快法和巧法，能在40分钟左右，完成全部的选择填空题，这是夺取高分的关键。第二段是解答题的前三题，分值为30多分。这样前两个阶段的总分在110多分左右。第三段是最后“三难”题，分值不到40分。“三难”题并不全难，难点的分值只有12分到18分，平均每道题只有4分到6分。首先，应在“三难”题中夺得12分到20分，剩下最难的步骤分在努力争取。这是根据试卷的深层结构做出的最佳解题策略。 所以，要重视选择填空题、确保前三题。在备考前一定要首先训练这类题型。这是与其他同学拉开分数与否的关键部分。但是只做选择，填空和前三道大题是不够全面的。因为，后“三难”题中的容易部分比前面的基础部分还要容易，所以我们应该志在必得。在复习的时候，根据自己的情况，如果基础较好那首先争取选择，填空前三道大题得满分。然后，再提高解答“三难”题的能力，争取“三难”题得分20分到30分。这样，你的总分就可以超过130分，向145分冲刺。 第一段第二段第三段 最佳完成时限40分钟30分钟50分钟 目标得分率90%90%50% 所以最理想的提分计划是： 五、从现在做起 在平时当中一定要求自己选择填空一分钟一道题。用数学思想方法高速解答选择填空题。 注意不要傻算傻解，要学会巧算和巧解。选择填空和前3道解答题都是数学基础分。后3题不是只做第一问的问题，而应该猜想评分标准，按步骤由前向后争取高分。 应该用猪八戒拱地的精神对付难题。由前边向后边拱，往往能先拱到4分，再往前拱能拱到8分一直到10分，最后剩下2分、4分得不到就算了。因为后边属于难点的分值，需要天才。 六、考前复习顺序 首先狠抓选择题。选择题是一种非常容易得分也非常容易丢分的题型。又出题灵活，而考生多年的习惯来看，习惯于研究透彻，一定要挂靠“标准解答”才能放心，导致小题大做。解答选择题的时候显得较为僵化死板，导致做题时间较长，并且害怕出错。在考试时往往因为选择题而显得考试时间很紧。 在做选择题的时候，一定要讲究技巧，避免“小题大做”，在平时解答过程中，应当灵活思考，而不要一味的傻做题。选择题命题是有一定标准的，基本是以“考察思维”为主要目的，而不是考察学生计算能力。因此平时重点训练选择题。 选择题是属于思路开拓的题型，只要求选对，不讲究中间步骤。所以我们要在平时的时候以思考分析为主，本着“选项也是条件之一”的态度去做题，充分挖掘选择题的解答途径，从而保证选择题做的又快又对。 其次是解答题前三道类型题。这类题往往考察深度不是特别难，基本上只要具备一些分析能力，顺着题目条件列式，或按照题意设未知数后列式，基本上都能完全拿下。这类题步骤简洁直观，而且问题的起点和终点比较显而易见，考生只需一定的解题思维即可。因此这类题的分数一定要拿到手。 再次是填空题。填空题也较为灵活，考法多样，并无固定的形式，但是往往计算量不大，也具备一定的思维开拓空间，有多种思考方式。知识的考查上多以理解衍生应用为主，有一些难度，但是基本上中等生都可以做的出来。日常做题训练的时候一定要注意时间掌控是思维掌握上。 最后才是难题。如果时间很紧，不建议特别花费时间去练习，只需注意难题的前面2个步骤即可。 七、训练重点 1、数学基础知识理解 不要片面的去死记硬背，弄清公式、定理、推论的整个过程和原理。利用做题的时候思考课本。 2、数学思维训练 数学多以考察逻辑推理、分析、数形结合、平面、空间思维能力为主，平时做题时要注重思考问题的起点，思考问题解答步骤的转换原理，要善于总结题目中什么条件是可以利用的，哪些未知条件设置未知数是有利的，怎样列式才可以进行到下一步骤。 通过这两个方面的练习，就能大幅提高数学成绩。未来的几天内，玖久专家将会针对各个学科陆续发布备考文章，希望给大家带来一定的参考价值。2011高考数学二轮复习：提高模拟练习效果 高考数学复习就像制作一件艺术品，任何一个环节都不容忽视。一轮复习重在打基础，二轮复习的作用在于提升、巩固、总结和得分，是最“实际”的一个阶段。 构建知识系统 高考试题的设计，重视数学知识的综合和知识的内在联系，尤其重视在知识网络的交会点设计试题。而一轮复习结束后，知识点在我们的意识形态中还是孤立的，二轮复习的过程，是对数学基础知识和基本方法不断深化的过程，要从本质上认识和理解数学知识之间的联系，从而加以分类、归纳、综合，形成一个条理化、排列有序、知识之间关系清晰的知识结构系统。这样在解题时，就可根据题目提供的信息，提取相关的知识点，进行有机组合，探索解题的思路和方法。 如函数、导数、方程和不等式以及数列在解决问题时经常相互转化；再如解析几何中曲线与方程和代数中的函数与图像之间的联系；解析几何与向量，解析几何与导数等。因此，只有搞清楚知识之间的内在联系，形成知识结构和网络，在解题时才能从不同角度去分析解决，才能对知识融会贯通，运用自如。 提高模拟练习效果 二轮复习中不论课堂上还是作业或是周末，都要进行模拟练习，模拟练习效果直接关系到最后的成绩。 A、明确模拟练习的目的。二轮复习中老师将有计划地从知识、方法、策略上进行系统的训练和检测，借以强化重点知识和方法，考生则一要检测知识的全面性，方法的熟练性和运算的准确性，发现自己的某些不足或空白，以求复习时有的放矢；二要在平时考试中练就考试技能技巧，学会合理安排时间，达到既快又对；三要提高应试的心理素质，能够在任何状况下都心态平和，保证大脑对试题的兴奋度。 B、严格有规律地进行限时训练。二轮复习时间紧，任务重，学生要进行限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。 C、先做练习后看答案。学习数学必须要靠自己体会，自己悟透才可以学好。模拟练习时应该先模拟高考完成整套练习，最后对照答案给自己打分，甚至可以记录时间及分数，感受自己进步的过程。边看答案边做练习的过程是很难使自己的能力得到提升的。 D、注重题后反思。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近。平时要养成对重点题目一定要算出答案的习惯，哪怕问了或者看了解答，也应该自己再动手演算，即做到“考后满分”；要反思所做重点题目的背景、解题方法、思路形成过程以及和它相关的题型等，做到“一题通一类”；对错题从各种角度反复处理，争取“相同的错误只犯一次”；及时处理问题，争取“问题不过夜”。 恰当处理好“高原现象” “高原现象”一词源于教育心理学中动作技能的学习曲线。动作技能学习的练习曲线显示：练习者开始进步快，曲线中间有一个明显的或长或短的进步停顿期，后期进步慢。中间的停顿期叫高原期或高原现象。我们把在复习中出现的学习进步缓慢的现象称之为高考生的“高原现象”。 形成“高原现象”的原因一是学习方法。有些学生在复习时不了解自己的优势和弱点，只是被动地跟着老师的安排，使得自己本来已经掌握的知识点和能力点不断重复，而自己的弱点却没有得到改进。其结果是一方面做着大量的无效劳动，另一方面自己的弱点却又难以得到改进，从而最终导致总成绩的徘徊不前； 二是生理、心理疲劳。高三下学期的学习相当紧张，不少考生日以继夜、题海战术，无论生理上还是心理上都很疲劳。生理与心理疲劳积累到一定时候就会产生“高原现象”，感觉自己再怎么使劲也上不去了，越学越糊涂。 A、保持坚定的信念。“高原现象”并不意味着到了学习极限，走出高原期后学习效率和成绩还会有很大提高，所谓“黎明前的黑暗”就在此时，要知道“坚持到底，赢的是你！” B、对学习和考试保持情。尽最大努力去喜欢所要学习的东西，去体验考试的刺激，不要形成麻木心理。 C、注意劳逸结合，“文武之道，一张一弛”。注意脑力与体力的平衡，在一天的紧张复习后，要安排适当的体育运动，跑跑步，做做操，使疲惫的身心松弛下来。 D、家长要给考生创造一个宽松的环境。有些家长对孩子出现的高原现象比他本人还要担忧，不停地干预，这样只会加重孩子的心理负担，不利于孩子走出高原期。家长在这段时间一定要心平气和，拥有大将风度，沉稳大气。2011年高考数学二轮复习必知五大忌讳高三是一个既紧张而又是充满挑战自我的一年，更是用自己的艰辛铸造理想大学的时期。同学们自己知道该怎么做？一要听从老师的指导，二要靠自己的勤奋，三要在复习时注意的几个问题。这样就会知道自己不该怎么做。因此，要与大家谈谈在高三数学复习过程中的一些忌讳。 高考数学复习，要注重数学能力的提高，做题时必需的，但决定复习效果的关键因素就不再是题目的数量，而在于题目的质量和处理水平。解数学题要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一数学问题的多条途径，在分析解决问题的过程中既构建知识的横向联系又养成多角度思考问题的习惯。向备战高考数学的考生及家长们答疑解惑。 一忌“杂乱、繁多，顾此失彼” 在高考中想领先于他人，想方设法要比别人学、看、作得多，虽是件好事。但所采用的方法却往往是对自己不利的，精神非常可贵，方法不可取。1.高中阶段所学的数学知识具有一定的范围，有些数学知识的重复和变形，都代表相同的知识点和方法，不要做简单、无聊的重复，这样会使你身陷题海，不能自拔，既耗精力，又会失去了信心。2.应以学校所选的数学复习资料为准，因每一套复习资料都经过反复推敲，仔细的研究，很系统地将相应的知识点按照一定的规律和方法融会于其中。对于需要的知识点，再补充，这样你学的数学知识点系统性强。3.不能对数学题太贪，以系统掌握思想、方法为主线，查缺补漏。同学们的精力是有限的，而数学题目千变万化，是无限的，因此，若以有限的精力去做无限的题目，必然会导致你没有系统地研究数学题，反而会使你的学习失去系统性，顾此失彼，是高三复习（第一轮、第二轮）的大敌。 二忌“学而不思则罔” 第二轮数学复习，但多学生会认为自己的基础已过关，放松对基础知识、基本方法等的学习和研究。而是去大量做题，导致很多同学身陷题海，不能自拔，其主要原因就是“学而不思”，数学题目是数学知识的载体，平时养成思考、总结的习惯，自己对数学题分析能力会提高。“学而不思”在数学第二轮的复习中几种具体表现：上课听懂了，课后作业不会做；对数学题有“未曾相识”的感觉；只会朦胧做出数学题，却讲不出其中原因；对总结一类题目的解题方法和策略缺乏；粗心是犯同样的错误的最好解释。这就是你的数学第二轮复习中，阻滞你很难取得好成绩的又一个大敌。 三忌“脸高、手高忘基础” 同学们总认为基础的东西，简单，没有必要进行研究，又进入第二轮数学复习，再抓基础就是浪费时间，甚至是放弃“理想中的大学”的认识。更有一些同学对自己的考大学定位较高，总是高挂自己。似乎有“泰山顶看小山”的感觉。俗话说得好，最深刻的道理，往往存在于最简单的事实之中。同学们可以仔细、认真地分析老师讲的课、做过的数学题，无论是多难的题目，最后都归结到数学课本上的知识点。重视双基，就是搞好第二轮数学复习的关键，更是一种态度，“态度决定一切”。 四忌“蒙着眼睛走路” 在第二轮数学复习中，不能“蒙着眼睛走路”，老师叫干什么就干什么，老师讲什么就听什么，看见数学题就做，发了试卷就考，可是有了问题也不问，从来不去想，怎样才能使自己的数学变为强项，怎样会更好弥补自己的不足，为自己分别制定长期和短期的学习目标如何做会很快收效。一个人如果没有人生目标，那么他的人生将失去意义。 五忌“对自己宽大，不清算” 数学复习要注重基础、抓老系统的数学知识梳理、对自己的漏洞提高警惕。否则就会失去时机。首先要学会节省做题时间，对不同题型采用不同的方法，以简捷为准；其次做好改错反思，建立改错本。“错误”是数学复习中最好的老师，也是最宝贵的财富；最后就是解数学题时审题要慢，要看清楚，步骤要到位，立足于一次成功， 加强对注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤=丢分。 更多高考信息请访问：育路教育网高考频道 特别说明：由于各方面情况的不断调整与变化，育路教育网所提供的考试信息仅供参考，敬请考生以权威部门公布的正式信息为准。