资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在皮影戏的表演中，要使银幕上的投影放大，下列做法中正确的是（ ）
A．把投影灯向银幕的相反方向移动 B．把剪影向投影灯方向移动
C．把剪影向银幕方向移动 D．把银幕向投影灯方向移动
2．若，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放茂名新闻 B．早晨的太阳从东方升起
C．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上 D．下雨后，天空出现彩虹
4．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，已知∥∥，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．2
6．已知，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列四对图形中，是相似图形的是( )
A．任意两个三角形 B．任意两个等腰三角形
C．任意两个直角三角形 D．任意两个等边三角形
8．如图，将Rt△ABC(其中∠B=35°，∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于( )
A．35° B．50° C．125° D．90°
9．已知二次函数，点A，B是其图像上的两点，( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．能说明命题“关于的方程一定有实数根”是假命题的反例为（ ）
A． B． C． D．
11．若反比例函数的图像经过点，则下列各点在该函数图像上的为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，P是反比例函数y＝的图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，得图中阴影部分的面积为3，则这个反比例函数的比例系数是_____．
14．若＝，则的值为______．
15．方程x（x﹣2）﹣x+2＝0的正根为_____．
16．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形连结则对角线的最小值为 ．
17．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，则四边形的面积为______．
18．如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，若，则的值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图,在中, ,,于点, 是上的点, 于点, ,交于点.
（1）求证: ;
（2）当的面积最大时,求的长.
20．（8分）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴垂线，垂足分别是C,A，反比例函数的图象交AB,BC分别于点E,F.
（1）求直线EF的解析式.
（2）求四边形BEOF的面积.
（3）若点P在y轴上，且是等腰三角形，请直接写出点P的坐标.
21．（8分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式：求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解：求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．利用上述材料给你的启示，解下列方程；
（1）；
（2）．
22．（10分）图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的，其转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m．当AC长度为9m，张角∠CAE为112°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.1．）
23．（10分）某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：
（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：
表中数据a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.
25．（12分）如图，已知平行四边形中，，，.平行四边形的顶点在线段上（点在的左边），顶点分别在线段和上.
（1）求证：；
（2）如图1，将沿直线折叠得到，当恰好经过点时，求证：四边形是菱形；
（3）如图2，若四边形是矩形，且，求的长.（结果中的分母可保留根式）
26．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）
…
34.8
32
29.6
28
…
售价x（元/千克）
…
22.6
24
25.2
26
…
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，据此分析判断即可．
【详解】解：根据中心投影的特点可知，如图，
当投影灯接近银幕时，投影会越来越大；相反当投影灯远离银幕时，投影会越来越小，故A错误；
当剪影越接近银幕时，投影会越来越小；相反当剪影远离银幕时，投影会越来越大，故B正确，C错误；
当银幕接近投影灯时，投影会越来越小；当银幕远离投影灯时，投影会越来越大，故D错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了中心投影的特点，熟练掌握中心投影的原理和特点是解题的关键．
2、C
【分析】根据比例的基本性质直接判断即可.
【详解】由，根据比例性质，两边同时除以6，可得到，故选C.
【点睛】
本题考查比例的基本性质，掌握性质是解题关键.
3、B
【解析】分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：
A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；
B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；
C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；
D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误．
故选B．
4、C
【详解】根据图像可得：a<0，b<0，c=0，即abc=0，则①正确；
当x=1时，y<0，即a+b+c<0，则②错误；
根据对称轴可得：－=－，则b=3a，根据a<0，b<0可得：a>b；则③正确；
根据函数与x轴有两个交点可得：－4ac>0，则④正确.
故选C.
【点睛】
本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a，b，c的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a，b，c之间的关系是解题关键.
5、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE=BD：DF=1：2，然后利用比例性质即可得出答案进行选择．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴AC：CE=BD：DF，
∵，
∴AC：CE=BD：DF=1：2，即CE=2AC，
∴AC：AE=1：3=.
故选A.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例即三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
6、A
【分析】根据比例的性质，逐项分析即可.
【详解】A. ∵，∴，∴，正确；
B. ∵，∴，∴ ，故不正确；
C. ∵，∴，故不正确；
D. ∵，∴，∴ ，故不正确；
故选A.
【点睛】
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键，如果，那么或或.
7、D
【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，对题中条件一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、任意两个三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故A错误；
B、任意两个等腰三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故B错误；
C、任意两个直角三角形，直角边的长度不确定，不一定是相似图形，故C错误；
D、任意两个等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故D正确；
故选：D.
【点睛】
本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．
8、C
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，然后求出∠BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角∠BAB1即为旋转角．
【详解】∵∠B＝35°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−35°＝55°，
∵点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB1＝180°−∠BAC＝180°−55°＝125°，
∴旋转角等于125°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确对应边的夹角即为旋转角是解题的关键．
9、B
【分析】利用作差法求出，再结合选项中的条件，根据二次函数的性质求解．
【详解】解：由得,
∴,
,
,
∵,
∴,
选项A,当时，，，A错误.
选项B,当时，，，B正确.
选项C,D无法确定的正负，所以不能确定当时，函数值的y1与y2的大小关系，故C,D错误.
∴选B.
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是利用作差法，结合二次函数的性质解答．
10、D
【分析】利用m=5使方程x2-4x+m=0没有实数解，从而可把m=5作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
【详解】当m=5时，方程变形为x2-4x+m=5=0，
因为△=（-4）2-4×5＜0，
所以方程没有实数解，
所以m=5可作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
故选D．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11、C
【分析】将点代入求出反比例函数的解析式，再对各项进行判断即可．
【详解】将点代入得
解得
∴
只有点在该函数图象上
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质以及应用是解题的关键．
12、C
【分析】由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后运用勾股定理求得AB、CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，即可解答．
【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB＝5，
∴AC＝2OB＝10，
∴CD＝AB＝＝＝6，
∵M是AD的中点，
∴OM＝CD＝1．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、-1．
【分析】设出点P的坐标，阴影部分面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．
【详解】解：设点P的坐标为（x，y）．
∵P（x，y）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝xy，
∴|xy|＝1，
∵点P在第二象限，
∴k＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点睛】
此题考查的是已知反比例函数与矩形的面积关系，掌握反比例函数图象上一点作x轴、y轴的垂线与坐标轴围成的矩形的面积与反比例函数的比例系数的关系是解决此题的关键．
14、4
【分析】由＝可得 ，代入计算即可.
【详解】解：∵＝，
∴，
则
故答案为：4.
【点睛】
此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15、x＝1或x＝2
【分析】利用提取公因式法解方程即可得答案．
【详解】∵x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得：x＝2或x＝1，
故答案为：x＝1或x＝2
【点睛】
本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
16、1
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．
【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为1．
17、3
【解析】根据反比例函数系数k的几何意义可分别求得△OBD、△OAC、矩形PDOC的面积，据此可求出四边形PAOB的面积.
【详解】解：如图，
∵A、B是反比函数上的点，
∴S△OBD=S△OAC= ，
∵P是反比例函数上的点，
∴S矩形PDOC=4，
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC-S△ODB--S△OAC=4--=3，
故答案是：3.
【点睛】
本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
18、
【分析】由DE、EC的比例关系式，可求出EC、DC的比例关系；由于平行四边形的对边相等，即可得出EC、AB的比例关系，易证得∽，可根据相似三角形的对应边成比例求出BF、EF的比例关系．
【详解】解：，；
四边形ABCD是平行四边形，
，；
∽；
；
，
．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质．灵活利用相似三角形性质转化线段比是解题关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）5
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法即可求；
（2）设，的面积为，由等腰三角形性质和平行线分线段成比例，可求出，再根据的面积可以得出关于的函数关系式，由二次函数性质可得的面积为最大时的值即可．
【详解】解：（1）证明： ，，
，
，
．
（2）解：设，则，
∵，，，
∴，
在Rt△ABG中，，
∵
∴，即，
∴，
，
，即
，
的面积
当的面积最大时，，即的长为．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，可利用数形结合思想根据题目提供的条件转化为函数关系式．
20、（1）；（2）1；（3）点P的坐标为或 .
【分析】（1）点E与点B的纵坐标相同，点F与点B的横坐标相同，分别将y=1，x=2代入反比例函数解析式，可求出E、F的坐标，然后采用待定系数法即可求出直线EF的解析式；
（2）利用即可求出答案；
（3）设P点坐标为(0,m)，分别讨论OP=OE，OP=PE，OE=PE三种情况，利用两点间的距离公式求出m即可得到P点坐标.
【详解】解：（1）轴，轴，
将代入,得
将代入得：，
设直线EF的解析式为
把E、F的坐标代入解得
∴直线EF的解析式为
（2）由题意可得:
=1
（3）设P点坐标为(0,m)，
∵E(1,1)，
∴，，
①当OP=OE时，，解得，
∴P点坐标为或
②当OP=PE时，，解得
∴P点坐标为
③当OE=PE时，，解得，
当m=0时，P与原点重合，不符合题意，舍去，
∴P点坐标为
综上所述，点P的坐标为或
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，以及等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式和两点间的距离公式并进行分类讨论是解题的关键.
21、（1）；（2）x=1
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）根据题目中的方程，两边同时平方转化为有理方程，然后解方程即可，注意，最后要检验，所得的根是否使得原无理方程有意义．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，，，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得：x1=-1，x2=1，
经检验，x=1是原无理方程的根，x=-1不是原无理方程的根，
即方程，的解是x=1．
【点睛】
本题考查解无理方程、因式分解法，解答本题的关键是明确解方程的方法，注意无理方程最后要检验．
22、CF≈6.8m．
【分析】如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，再计算出∠GAC＝28°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可．
【详解】如图，作AG⊥CF于点G，
∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°，
∴四边形AEFG为矩形，
∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，
∴∠GAC＝∠EAC﹣∠EAG＝112°﹣90°＝22°，
在Rt△ACG中，sin∠CAG＝，
∴CG＝AC•sin∠CAG＝9sin22°≈9×0.37＝3.33m，
∴CF＝CG+GF＝3.33+3.5≈6.8m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．
23、解：（1）a＝135，b＝134.5，c＝1.6；（2）①从众数（或中位数）来看，一班成绩比二班要高，所以一班的成绩好于二班；②一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当；③一班成绩的方差小于二班，说明一班成绩比二班稳定．
【分析】（1）根据表中数据和中位数的定义、平均数和方差公式进行计算可求出表中数据；
（2）从不同角度评价，标准不同，会得到不同的结果．
【详解】解：（1）由表可知，一班135出现次数最多，为5次，故众数为135；
由于表中数据为从小到大依次排列，所以处于中间位置的数为134和135，中位数为=134.5；
根据方差公式:
s2==1.6，
∴a＝135，b＝134.5，c＝1.6；
（2）①从众数看，一班一分钟跳绳135的人数最多，二班一分钟跳绳134的人数最多；所以一班的成绩好于二班；②从中位数看，一班一分钟跳绳135以上的人数比二班多；③从方差看，S2一＜S2二；一班成绩波动小，比较稳定；④从最好成绩看，二班速度最快的选手比一班多一人；⑤一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当.
【点睛】
此题是一道实际问题，不仅考查了统计平均数、中位数、众数和方差的定义，更考查了同学们应用知识解决问题的发散思维能力．
24、（1）证明见解析；（2）CD=
【分析】（1）如图，通过证明∠D=∠1，∠2=∠4即可得；
（2）由△CDE∽△CBF，可得CD：CB=DE：BF，根据B为AF中点，可得CD=BF，再根据CB=3，DE=1即可求得.
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠1=∠2+∠3=90° ，
∵CF⊥CE，
∴∠4+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
∴△CDE∽△CBF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，
∵B为AF的中点，
∴BF=AB，
∴设CD=BF=x，
∵△CDE∽△CBF，
∴，
∴ ，
∵x>0，
∴x=，
即：CD=.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质
25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得出，再根据平行四边形的性质可得：，，从而得出，即可得，理由AAS即可证出，从而得出；
（2）根据折叠的性质可得，根据（1）中的结论可得：，再根据等角对等边可得，从而得出，理由SAS即可证出，从而得出，根据菱形的定义可得四边形是菱形；
（3）过点作于点，连接交于.设，根据矩形的性质和平行的性质可得，，然后用分别表示出HQ、HN和BH，利用锐角三角函数即可求出x，从而求出的长.
【详解】解：（1）如图，∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴，.
∴.
∴
在和中
∴.
∴.
（2）如图，∵与关于对称，
∴.
由（1）得，
∴.
∴.
由（1）得，
∴.
∴.
由（1）得，
∴.
∵，
在和中
∴.
∴.
∴是菱形.
（3）如图，过点作于点，连接交于.设，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，，.
在中，由，得
，
解得.
∴.
【点睛】
此题考查的是特殊的四边形的性质及判定、全等三角形的判定及性质和解直角三角形，掌握平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的性质和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
26、（1）当天该水果的销售量为2千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为3元．
【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；
（2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+1．
当x=23.5时，y=﹣2x+1=2．
答：当天该水果的销售量为2千克．
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+1）=150，
解得：x1=35，x2=3．
∵20≤x≤32，
∴x=3．
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为3元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
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