计算水平层状VTI介质中P波旅行时的近似公式.pdf

2023 年 8 月第 58 卷 第 4 期计算水平层状VTI介质中P波旅行时的近似公式魏建，孙祥娥*（长江大学电子信息学院，湖北荆州 434023）摘要：基于泰勒级数的 P 波旅行时方程的计算精度受到具有垂直对称轴的横向各向同性（Transverse Isotropy Medium with Vertical Symmetry Axis，VTI）介质的影响，为了改善这种情况，提出一种基于平方处理与系数匹配的计算方法。首先，利用平方处理将非平方形式的基于泰勒级数的旅行时公式转换为包含高阶项的平方形式；再使用系数匹配法处理旅行时平方公式的高阶项，保持方程炮检距的最高阶为常用的 4阶；然后，在简化参数形式与优化旅行时平方公式计算的基础上，得到与各向异性参数相关的新系数 y；最后，形成了含有 y的基于平方处理与系数匹配的 4阶 P 波旅行时计算方法。基于水平层状 VTI介质模型的实验结果表明，与有理近似算法、三射线广义时差近似计算法和扩展广义时差计算法相比，该方法计算误差更小，同时远炮检距处的计算能力得到一定提高，从而给以旅行时方程为基础的应用提供了更多选择。关键词：系数匹配，平方处理，旅行时，泰勒级数，非均质性参数中图分类号：P631 文献标志码：A doi：10.13810/ki.issn.1000-7210.2023.04.006Approximate equation for calculating Pwave traveltimein horizontally layered VTI mediaWEI Jian，SUN Xiang e（School of Electronics and Information，Yangtze University，Jingzhou，Hubei 434023，China）Abstract：The calculation accuracy of Pwave traveltime equations based on the Taylor series is affected by the transverse isotropy medium with vertical symmetry axis（VTI）.In order to improve this situation，a calculation method based on square processing and coefficient matching is proposed.In this method，the square processing is used to transform the traveltime equation of the nonsquare form based on the Taylor series into the square form containing highorder terms，and then the coefficient matching method is used to deal with the highorder terms of the traveltime square equation so that the highest order of the equation offset is the commonly used fourth order.Then，on the basis of simplifying the form of parameters and optimizing the traveltime square equation，a new coefficient y，which is related to the anisotropic parameter，is obtained.Finally，a fourthorder Pwave traveltime calculation method with y based on square processing and coefficient matching is formed.The experimental results based on the horizontally layered VTI medium model show that compared with the rational approximation method，the generalized moveout approximation method based on three rays，and the extended generalized moveout approximation method，this method has smaller errors，and the calculation ability at the far offset is improved to some extent，which provides more options for the applications based on traveltime equations.Keywords：coefficient matching，squaring processing，traveltime，Taylor series，heterogeneity parameter魏建，孙祥娥.计算水平层状 VTI介质中 P波旅行时的近似公式 J.石油地球物理勘探，2023，58（4）：812817.WEI Jian，SUN Xiang e.Approximate equation for calculating Pwave traveltime in horizontally layered VTI media J.Oil Geophysical Prospecting，2023，58（4）：812817.0引言旅行时近似是时差校正、速度分析、反演等地学领域的重要研究课题之一13。炮检距函数应用于具有垂直对称轴的横向各向同性（Transverse Isotropy Medium with Vertical Symmetry Axis，VTI）介质时，常使用非双曲线形式。在早期研究中，学者们提出了多种适用于VTI介质的 P波旅行时近似方程。Taner等4 建议在旅行时公式中加入泰勒级数项得到非双曲线型公式；May等5 提出一种基于正交多项式的非双曲线近似方法计 处理技术 文章编号：1000-7210（2023）04-0812-06*湖北省荆州市南环路 1号长江大学电子信息学院，434023。Email： 本文于 2022年 7月 17日收到，最终修改稿于 2023年 5月 10日收到。本项研究受大庆油田有限责任公司勘探开发研究院项目“井中 VSP 地震资料保真处理技术流程及质控方法研究”（DQYT12010022018 JS647）资助。第 58 卷 第 4 期魏建，等：计算水平层状 VTI介质中 P波旅行时的近似公式算四阶时差谱。由于VTI介质的影响，这些方法计算的旅行时会随炮检距的变大而出现偏差。随后，学者们提出了其他基于泰勒级数的方法提高远炮检距旅行时的计算精度。Alkhalifah等6 利用声学近似理论提出了基于泰勒级数的 4 阶旅行时近似方程；胡中平7 提出一种优化炮检距 6阶项的计算方法；Stovas等8 在泰勒展开式的基础上提出了三种旅行时近似公式；之后，Ursin等9 利用泰勒级数高阶项进行系数匹配得到了4阶旅行时计算方程。以上几种方法使用的均是高阶泰勒级数的截断形式，远炮检距处旅行时的计算精度并不理想10。通过进一步分析旅行时公式在各向异性介质中的表现，学者们提出了基于泰勒级数与其他理论相结合的 P波旅行时计算方程。邓怀群等11 研究了适用于弱各向异性 VTI介质中的旅行时计算方法；之后，Song等12 利用基于高阶泰勒级数系数的 Pad近似方法估计远炮检距时差；Sripanich等13 通过特定参数选择提出了简化的旅行时近似方程；Xu等14 基于泰勒级数的炮检距扩展和弹性正交介质中的声学近似优化了 P 波旅行时计算公式；另外，Abedi等15 与 Blias16 提出了基于广义时差近似的旅行时计算方法；随后，Abedi 等17 利用微扰理论推导出新的旅行时近似方程；2020年 Abedi18 提出了 P波运动学有理近似方法；之后，Farra等19 推导了基于弱各向异性参数的非双曲线型 P波时差方程；2021年Abedi等20 又提出了一种基于声学假设的六参数旅行时计算方程；之后，一种利用降阶补偿的处理方法开始用于计算介质中的旅行时21。随着旅行时公式的进一步完善，能够提高旅行时计算精度的方法的种类也随之增加。针对常用的基于泰勒级数的 P波旅行时近似方程在水平层状VTI介质中的计算有待提高的问题，本文先利用平方处理将其转换为旅行时平方近似方程，再结合系数匹配方法依次处理炮检距的高阶项，由此得到一种含有与各向异性相关的新系数y的P波旅行时计算方法。经数据测试与方法对比表明，该方法可以改善远炮检距处旅行时的计算且误差较小。1理论方法1.1基于泰勒级数的炮检距 4阶旅行时公式Ursin 等9 在常规基于泰勒级数的旅行时公式基础上，提出一种基于系数匹配方法的P波旅行时计算方程t(x)=t0+x22v2NMOt0+dx4v4NMOt30()1+Dx2v2NMOt20（1）其中d=-S28（2）D=2S22-S32S2（3）式中：t0为垂直双程旅行时；x为炮检距；vNMO为正常时差速度；S2、S3为非均质性参数，其中 S2与各向异性参数的关系为9，2223 S2=1+8（4）通过推导出的 S2与 S3的近似关系可进一号简化式（3）。首先写出基于泰勒级数定义的垂直慢度的系数aj（j=0，1，2，）9，22 a0=2a1=2(-)1-20(1-20+2)a2=4(-)(1-20)2(1-20+2)-(1+20)（5）式中：0=00表示S波与P波的速度之比22；、0和0为 Thomsen参数6，9，其中0和0分别表示 P波与S波的垂直速度，与分别表示P波各向异性差异和NMO速度与反射振幅的变化6，9，23。S2、S3与系数aj的关系为S2=1+4a1(1+a0)2S3=1+4a1(1+a0)2+8a2(1+a0)3（6）结合声学近似理论22，即0=0，此时非均质性参数S3可用S2表示S3=1+8+322=1+S222（7）再将式（7）代入式（3），即可得到参数 D 的近似形式D=3S22-14S2=3(1+8)2-14(1+8)（8）813石 油 地 球 物 理 勘 探2023 年1.2基于平方处理与系数匹配的旅行时平方公式与旅行时平方公式相比，式（1）是一种不常作为研究对象的旅行时方程。首先，通过将式（1）两边平方将其转换为平方形式。然后，按炮检距阶数从小到大排列t2=t20+x2v2NMO+Ax4+Bx6+Cx8（9）其中A=1+8d4v4NMOt20()1+Dx2v2NMOt20B=D+4d4v6NMOt40()1+Dx2v2NMOt20C=d2v8NMOt60()1+Dx2v2NMOt202（10）由式（9）和式（10）可见，三个高阶项系数 A、B和C均包含相对复杂的结构。为了保持相对简洁的结构以及体现高阶泰勒级数的意义，根据式（1）的组成形式，可使式（9）中炮检距的最高阶数仍为常规形式的四阶。在推导基于泰勒级数的旅行时公式过程中，常对高阶项采用近似处理来简化方程形式。常用的处理方式有：省略高阶项的截断近似；利用高阶项进行系数匹配10 的近似。分析式（9）可知，截断近似并不能使其满足应用要求，而系数匹配近似是更适合的处理方法。首先，将系数匹配方法用于处理式（9）的 8阶项，即利用B和C可以得到t2=t20+x2v2NMO+Ax4+(D+4d)x64v6NMOt40()1+Dx2v2NMOt20（11）式中=CBv2NMOt20()1+Dx2v2NMOt20=4d2D+4d=S324(S22-1)（12）在式（11）的基础上，继续利用系数匹配方法处理6次方项。为了简化旅行时公式的参数结构，可先得到中间参数，即=-BAv2NMOt20=S22-14S2(S2-1)=1+S24S2（13）结合式（13）即可得到最终形式的计算方程，即基于新系数y的炮检距四阶旅行时公式t2=t20+x2v2NMO-8x4v2NMO()4v2NMOt20+yDx2（14）其中y=-1=(1+S2)(S22-1)S42（15）基于平方处理与系数匹配方法得到的旅行时平方方程（式（14），可定义为 SCM（Squaring and Coefficient Matching）法。2实验结果从实验角度分析SCM与有理近似法（TR）18、三射线广义时差近似法（TG）24 和扩展广义时差近似法（TE）1，20 等 4种方法与精确时间的计算误差，实验使用水平层状VTI介质模型，参数如表1所示。介质中P波的准确时间可由 x(p)=iux，iwit(p)=iut，iwi（16）计算1，20。式中ux，i=pv2NMO，iut，i=(1-2ip2v2NMO，i)2+2ip4v4NMO，iwi=t0(i)(1-2ip2v2NMO，i)3(1-p2v2h，i)（17）x（p）、t（p）分别表示通过射线参数 p计算出的炮检距与旅行时；t0，i、vNMO，i、vh，i、i分别表示第 i层的双程旅行时、正常时差速度、水平速度、各向异性参数。定义实验误差为TMO=|Ta-TxTa|（18）式中：Ta表示准确时间；Tx表示通过 TR、TG、TE 和SCM法所得计算值。2.1模型一模型一为椭圆各向异性介质模型。图 1是本文方法（SCM）、TR、TG、TE法的旅行时计算误差曲线。由图可见，当炮检距与深度的比值为02.5时，SCM814第 58 卷 第 4 期魏建，等：计算水平层状 VTI介质中 P波旅行时的近似公式法的计算精度高于其他 3 种方法。在图 2 中，TR、TG、TE与SCM法的TMO之差均为正值，可知SCM法的计算误差最小。TE法作为公认的一种较准确的计算方法，其误差仅小于SCM法。虽然TG与TR法的 TMO 差值非常小，实际上 TR法仍具有更小的误差。从数值上分析表明，当炮检距与深度的比值等于2.5时，即远炮检距处，SCM、TE、TR、TG 法的误差分别为4.00%、4.48%、5.30%、5.30%。模型一的实验结果表明，SCM法在炮检距与深度的比值在02.5的范围内具有更小的计算误差，最大比值2.5处的误差同样较小，但方法间的TMO差值相对较小。2.2模型二针对模型二，上述4种方法的误差曲线与各方法间的TMO差值分别如图3、图4所示。当炮检距与深度的比值为02.5时，SCM法的计算误差最小，TE法的表现优于TG和TR法，TG法仍然具有较大的误差。这与图1、图2中的曲线趋势一致。当炮检距与深度的比值为 2.5时，SCM、TE、TR、TG 法的误差分别为：0.55%、1.65%、2.27%和2.27%。图 3模型二旅行时计算误差图 1模型一旅行时计算误差表 1层状模型参数层数123456789101112层厚km0.220.280.250.350.350.250.450.300.350.200.450.55vp0kms11.701.851.942.152.202.101.991.902.212.052.502.75vNMOkms11.852.052.002.102.152.192.091.982.432.252.853.05模型一 模型二0000000000000.0600.0250.0750.1850.1700.0360.0620.0230.1250.0800.0420.070vp0为 P波垂直速度。图 2模型一 4种方法的 TMO差值(a)TG分别与 TR、TE、SCM 方法的对比；(b)TR、TE、SCM 方法间的对比815石 油 地 球 物 理 勘 探2023 年模型二的实验结果表明，SCM 法在整体与远炮检距处的误差同样较小。对比模型一，此时各方法间的 TMO差值变大。3讨论根据常用的基于泰勒级数的 P波旅行时近似方程的组成结构，本文提出一种基于平方处理和系数匹配方法的P波旅行时计算方法，即SCM方法。该方法具有与常规基于泰勒级数的计算方程类似的结构，不同之处在于参数组成以及近似处理。本文讨论了将SCM 方法中炮检距的最高阶数保持为 4阶形式的方法，若改变处理8阶项和6阶项的次序，是否能够得到具有类似计算表现的方程是值得思考的。另外，本文使用的实验模型的类型有限，对于其他模型以及实际地震数据而言，这种参数组合形式是否仍具有类似的结果以及稳定性，需要继续测试来验证并加以优化。与反射波旅行时快速算法24 相比，旅行时近似方程在计算速度上并没有优势，推导旅行时近似方程的主要目的是进行各向异性速度分析、求取各向异性参数以及时差校正等处理13，25。在实际工程中，选择何种旅行时近似方程同样需要考虑该方程在实际地震数据中的计算表现。若研究区的介质性质不完全受到VTI介质的影响，在利用旅行时方程进行处理时应特别注意。在此基础上，如何使基于旅行时近似方程的分析方式更好地为叠加成像 26、偏移成像 2728 提供有力支撑值得进一步探讨。4结论本文首先使用垂直慢度方程和声学近似理论得出了近似系数 D的新形式；然后，利用平方处理和两次系数匹配方法对非平方形式的偏移距4阶旅行时方程进行近似处理，由此推导出了新参数与中间参数；最后，得到了更加直观的 P波旅行时平方方程，即SCM法。对两个水平层状VTI介质模型的测试结果表明，SCM 法的误差比有理近似法、三射线广义时差近似法和扩展广义时差近似法更小。当炮检距与深度的比值达到最大值 2.5时，SCM 法的计算优于其他方法。因此，该方法能够提高VTI介质中P波旅行时的计算精度。参 考 文 献1 ABEDI M M,STOVAS A.Extended generalized nonhyperbolic moveout approximationJ.Geophysical Journal International,2019,216(2):14281440.2 樊中海,胡渤,宋吉杰,等.地震反演储层描述精度影响因素分析J.石油地球物理勘探,2022,57(2):441451.FAN Zhonghai,HU Bo,SONG Jijie,et al.Analysis of influencing factors in reservoir description accuracy by seismic inversionJ.Oil Geophysical Prospecting,2022,57(2):441451.3 蔡志东,王世成,韦永祥,等.VSP 波场研究与应用现状J.石油物探,2021,60(1):8191.CAI Zhidong,WANG Shicheng,WEI Yongxiang,et al.Research and application status of VSP wavefieldsJ.Geophysical Prospecting for Petroleum,2021,60(1):图 4模型二 4种方法的 TMO差值(a)TG分别与 TR、TE、SCM 方法的对比；(b)TR、TE、SCM 方法间的对比816第 58 卷 第 4 期魏建，等：计算水平层状 VTI介质中 P波旅行时的近似公式8191.4 TANER M T,KOEHLER F.Velocity spectradigital computer derivation and applications of velocity functionsJ.Geophysics,1969,34(6):859881.5 MAY B T,STRALEY D K.Higherorder moveout spectraJ.Geophysics,1979,44(7):11931207.6 ALKHALIFAH T,TSVANKIN I.Velocity analysis for transversely isotropic mediaJ.Geophysics,1995,60(5):15501566.7 胡中平.优化 6 次项 NMO 校正方法研究J.石油地球物理勘探,2003,38(6):603607.HU Zhongping.Study of NMO correction method by optimized sixthorder termJ.Oil Geophysical Prospecting,2003,38(6):603607.8 STOVAS A,URSIN B.New traveltime approximations for a transversely isotropic mediumJ.Journal of 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Conference(Volume 2),2022,207210.27 秦宁.弹性波各向异性高斯束逆时偏移J.石油物探,2022,61(2):321328.QIN Ning.Elastic reverse time migration with Gaussian beams in anisotropic mediaJ.Geophysical Prospecting for Petroleum,2022,61(2):321328.28 秦宁,王常波,梁鸿贤,等.一次波和层间多次波联合成像方法J.石油地球物理勘探,2022,57(6):13751383.QIN Ning,WANG Changbo,LIANG Hongxian,et al.Joint imaging method of primaries and internal multiplesJ.Oil Geophysical Prospecting,2022,57(6):1375 1383.（本文编辑：石双虎）作 者 简 介魏 建 博 士 研 究 生，1991 年 生；2014 年获长江大学电子信息工程专业学士学位，2018年获该校电子与通信工程专业硕士学位，目前正在攻读该校油气信息探测与仪器装备专业博士学位；主要从事地震数据处理、信号处理等领域的研究。817