二次根式知识点及课后练习.doc

二次根式的知识点汇总
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1.    二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.    二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

二次根式测试题（一）
1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A．b>3 B．b<3 C．b≥3 D．b≤3
3．若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3
4．若x<0，则的结果是（ ）
A．0 B．—2 C．0或—2 D．2
5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．如果，那么（ ）
A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数
7．小明的作业本上有以下四题：①；②；
③；④。做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．化简的结果为（ ）A． B． C． D．
9．若最简二次根式的被开方数相同，则a的值为（ ）
A． B． C．a=1 D．a= —1
10．化简得（ ）A．—2 B． C．2 D．
11．① ；② 。
12．二次根式有意义的条件是 。
13．若m<0，则= 。
14．成立的条件是 。
15．比较大小： 。
16． ， 。
17．计算= 。
18．的关系是 。
19．若，则的值为 。
20．化简的结果是 。
21．求使下列各式有意义的字母的取值范围：
（1） （2） （3） （4）

22．化简：
（1） （2） （3） （4）

23．计算：
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

24．若x，y是实数，且，求的值。
二次根式测试题（二）
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则a<0 B． C． D． 5的平方根是
2．二次根式的值是（ ）
A． B． C． D．0
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．若是二次根式，则a，b应满足的条件是（ ）
A．a，b均为非负数 B．a，b同号 C．a≥0，b>0 D．
5．已知a<b，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
6．把根号外的因式移到根号内，得（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．当时，二次根式的值为，则m等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则x等于（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
11．若不是二次根式，则x的取值范围是
12．已知a<2，
13．当x= 时，二次根式取最小值，其最小值为
14．计算： ；
15．若一个正方体的长为，宽为，高为，则它的体积为
16．若，则
17．若的整数部分是a，小数部分是b，则
18．若，则m的取值范围是
19．若
20．已知a，b，c为三角形的三边，则=
21 22 23

24 25

26已知：，求的值。

27已知：
28.阅读下面问题：；

试求：⑴的值；⑵的值；⑶（n为正整数）的值。

二次根式（一）
1．C 2．D 3．B 4．D 5．A 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A
11．①0.3 ② 12．x≥0且x≠9 13．—m 14．x≥1 15．<
16． 18 17． 18．相等 19．1 20．
21．（1） （2） （3）全体实数 （4）
22．解：（1）原式=；（2）原式=；
（3）原式=；（4）原式=。
23．解：（1）原式=49×；（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=；
（5）原式=；（6）原式=。
24．解：∵x—1≥0, 1—x≥0,∴x=1，∴y<.∴=.
二次根式（二）
1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C
11．x<5 12．2-a 13．—1 0 14．； 15．12
16．7 17．1 18．m≥3 19． 20．
21．解：原式=；
22．解：原式=；
23．解：原式=；
24．解：原式=
25．解：原式=； 26．解:

27．解：，∴。∴
原式=
29 ⑴= ⑵= ⑶=

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