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第 6 章 变压器的基本理论

1. 分析变压器内部的电磁过程。
2. 分析电压、电流、磁势、磁通、感应电势、功率、损耗等物理量之间的关系。
3. 建立变压器的等效电路模型和相量图。
4. 利用等效电路计算分析变压器的各种性能。
6-1 变压器的空载运行
一.空载运行物理分析

· 一次侧接额定电压U1N，二次侧开路的运行状态称为空载运行（i2=0）。
· 空载时一次侧绕组中的电流i0为空载(或叫激磁)电流，磁势F0=I0N1叫励磁磁势。
· F0产生的磁通分为两部分，大部分以铁心为磁路（主磁路），同时与一次绕组N1和二次绕组N2匝链，并在两个绕组中产生电势e1和e2，是传递能量的主要媒介，属于工作磁通，称为主磁通Ф。
· 另一部分磁通仅与原方绕组匝链，通过油或空气形成闭路，属于非工作磁通，称为原方的漏磁通Ф1σ。
· 铁心由高导磁硅钢片制成，导磁系数μ为空气的导磁系数的2000倍以上，所以大部分磁通都在铁心中流动，主磁通约占总磁通的99％以上，而漏磁通占总磁通的1％以下。
· 问题6-1：主磁通和漏磁通的性质和作用是什么？
· 规定正方向：电压U1与电流I0同方向，磁通Ф正方向与电流I0正方向符合右手螺旋定则。电势E与I0电流的正方向相同。
· 由于磁通在交变，根据电磁感应定律：
e1= -N1 dΦ/dt
e2= -N2 dΦ/dt
e1σ= -N1 dФ1σ/dt
二.电势公式及电势平衡方程式推导
· 空载时，主磁通Ф在一次侧产生感应电势E1，在二次侧产生感应电势E2，一次侧的漏磁通Ф1σ在一次侧漏抗电势E1σ。
· 假设磁通为正弦波Ф=Фm sin ωt 则
e1= -N1 dΦ/dt=-N1 dФm sin ωt/dt
= -N1Фmωcosωt=N1Фmωsin (ωt-90°)
=E1m sin (ωt－90°)
· 电势在相位上永远滞后于它所匝链的磁通90o。
· 其最大值:E1m= ω N1Фm = 2π f N1Фm
其有效值:E1=E1m/sqrt(2)
= 2π f N1 Фm/1.414
= 4.44 f N1Φm
· 这就是电机学最重要的“4.44”公式。说明了感应电势E1与磁通Φm、频率f、绕组匝数N1成正比。
· 同样可以推出e2和e1σ的公式：
e2=E2msin(ωt-90°)
E2m=N2Φmω
E2=4.44 f N2 Φm
e1σ=-N1dΦ1σ/dt
=N1Φ1σmωsin(ωt-90°)
E1σm=ω N1Φ1σm
E1σ=4.44 f N1Φ1σm
· 由于漏磁路的磁导率μo为常数，Φ1σm =L1σII0，故E1σ=4.44f N12L1σI0=X1σI0，即E1σ可用漏抗压降的形式表示。
· 以上推导涉及到的电磁量均为正弦变化，可以用相量来表示。用相量时可同时表示有效值和相位。 E1σ=-jX1σI0
· 考虑到一次侧绕组的电阻压降后，其电势平衡方程为 U1=-E1-E1σ+R1I0=-E1+jX1σI0+R1I0 =-E1+I0Z1
· 二次侧无电流，故：E2=U2
· 对于一次侧来说，电阻压降和漏抗压降都很小。所以U1≈-E1=4.44 f N1Φm，可见变压器的磁通主要由电源电压U1、频率f 和一次侧绕组的匝数N1决定。在设计时，若电压U1和频率f给定，则变压器磁通由匝数N1决定。对于制成运行的变压器，其磁通Φ可以由电压U1和频率f控制。
· 问题6-2：220V、50Hz的变压器空载接到220V、25Hz的电源上，后果如何？
· 问题6-3：220V、50Hz的变压器空载接到220直流电源上，后果如何？
三.变压器的变比k 和电压比K
a) 变比k：指变压器1、2次绕组的电势之比。
1. k=E1/E2=(4.44fN1Φm)/(4.44fN2Φm)=N1/N2
2. 变比k等于匝数比。
3. 一次绕组的匝数必须符合一定条件：
U1 ≈ 4.44 f N1Φm ≈ 4.44 f N1BmS
N1≈U1/4.44fBmS
4. Bm的取值与变压器性能有密切相关。
Bm≈热轧硅钢片1.11~1.5T；冷轧硅钢片1.5~1.7T
b)电压比K：指三相变压器的线电压之比
5. 在做三相变压器联结绕组试验时用到电压比K进行计算。
K=(UAB/uab+UBC/ubc+UCA/uca)/3
四.空载运行时的等效电路和相量图
(1)励磁电流/铁耗电阻、励磁阻抗
· 空载运行时，电流i0分为两部分，一部分i0w纯粹用来产生磁通，称为磁化电流，与电势E1之间的相位差是90°，是一个纯粹的无功电流。 另一部分i0y用来供给损耗，是一个有功电流。 I0=I0w+I0r
-E1=I0Rm+jI0Xm=I0Zm
· I0是励磁过程必须的电流(包括磁化电流/有功电流)，称为励磁电流。
· Xm的物理意义是：
励磁电抗Xm是主磁通Φ的电抗，反映了变压器（电机）铁心的导磁性能，代表了主磁通对电路的电磁效应。
Rm是用来代表铁耗的等效（虚拟的）电阻，称为励磁电阻。Rm+jXm= Zm则称为励磁阻抗。 (2) 空载时的等效电路
· 用一个阻抗(Rm+jXm)表示主磁通Φ对变压器的作用，用另一个阻抗(R1+jX1σ)一次侧绕组电阻R1和漏抗X1σ的作用，即可得到空载时变压器的等效电路。
· R1和X1σ受饱和程度的影响很小，基本上保持不变。
· Rm和Xm是随着饱和程度的增大而减小。在实际应用中要注意到这个结论。
· 变压器正常工作时，由于电源电压变化范围小，铁心中主磁通的变化不大，励磁阻抗Zm也基本不变。

6-2 变压器的负载运行
一.负载运行
· 一次侧接电源U1，二次侧接负载ZL，此时二次侧流过电流I2。一次侧电流不再是I0， 而是变为I1，这就是变压器的负载运行情况。
· 负载后，二次侧电流产生磁势F2=N2I2，该磁势将力图改变磁通Φ，而磁通是由电源电压决定的， 也就是说Φ基本不变。
· 要维持Φ不变，一次绕组的电流将由原来的I0变为I1。I1产生磁势F1= I1N1，F1与F2共同作用产生Φ， F1+F2的作用相当于空载磁势F0，也即激磁磁势Fm。

二.磁势平衡方程式
1. F1+F2=Fm≈F0
I1N1+I2N2=ImN1≈I0N1
I1=I0＋(-I2/k)=I0+I1L
I1L=-I2/k为负载后一次侧增加的电流。
I1L+I2/k=0
2. 负载后，一次侧绕组中的电流由两个分量组成，一个是其负载分量I1L， 另一个是产生磁通的励磁分量I0，I1L产生的磁势与二次侧电流产生的磁势大小相等,方向相反,互相抵消。
3. 在满载时，I0只占I1L的（2－8）％，有时可将I0忽略，即： I1＋I2/k=0
I1/I2=1/k
4. 这就是变压器的变流作用，只有在较大负载时才基本成立，用此原理可以设计出电流互感器。
三.电势平衡方程式
根据规定的正方向可以写出电压平衡方程
U1= -E1+I1(R1+jX1σ) = -E1+I1Z1
U2= E2-I2(R2+jX2σ) = E2- I2Z2

6-3 变压器的等效电路和相量图
根据电势平衡方程可以画出变压器的一次侧和二次侧等效电路(Equivalent Circuit)。
1. 由于一、二次侧绕组匝数不同，其电势E1和E2也不同，难以将两侧的等效电路合并成一个完整的等效电路。
2. 折算原因：为了简化计算和分析；
3. 折算条件：折算前后，变压器的电磁效应不改变，变压器的功率大小也不改变。
4. 折算方法：我们可以将二次侧等效为用一个与一次侧匝数N1相同的绕组来等效替代。折算以后，两侧匝数相等，E1=E'2，k=1,原来的磁势平衡方程
5. I1N1+I2N2=ImN1变成了I1+I'2=Im，两侧的等效电路就可以合并了。具体如下
一.变压器的折算法
· 将变压器的二次侧绕组折算到一次侧，就是用一个与一次侧绕组匝数N1相同的绕组，去代替匝数为N2的二次侧绕组，在代替的过程中，保持二次侧绕组的电磁关系及功率关系不变。也就是说折算前后，二次侧的磁势、功率和损耗应保持不变。
二.折算过程
折算前

二次侧
N2\U2\I2\E2\R2\X2σ\RL\XL 为实际值
折算后

二次侧
N2'\U2'\I2'\E2'\R2'\X2σ'\RL'\ XL' 为折算值
(1)电势、电压折算
E2'=4.44 f N1Фm=E1
E2=4.44 f N2Фm
· 所以E2'/E2=N1/N2=k，E2'=kE2
· 同样U2'=kU2 (2)电流折算 N1I2'=N2I2 I2'=I2N2/N1=I2/k
(3)阻抗折算
· 阻抗折算要保持功率/损耗不变 (I2')2R2'=(I2)2R2
R2'=(I2/I2')2 R2=k2R2
(I2')2X2σ'=(I2)2X2σ
X2σ' = (I2/I2')2 X2σ= k2X2σ
(I2')2 RL'=(I2)2 RL
RL'=(I2/I2')2 RL= k2 RL
(I2')2XL'=(I2)2XL
XL'=(I2/I2’)2 XL= k2XL
三.变压器的等效电路 (Equivalent Circuit)
(1) 折算后的方程 U1= -E1+I1(R1＋jX1σ)
U2'= E2' - I2'(R2＋jX2σ)
I1+I2'=Im≈I0
- E1= - E2'= Im (Rm+jXm) = ImZm
(2) T型等效电路

· 如果知道效电路中各个参数、负载阻抗和电源电压，则可计算出各支路电流I1、I2'、Im/输出电压U2'/损耗/效率等，通过反折算就能计算出二次侧实际电流I2=kI2'和实际电压U2=U2'/k。
(2)简化等效电路
· 由于励磁阻抗很大，Im很小，有时就将励磁支路舍掉，得到所谓简化等效电路。

· 简化等效电路中,Zk=Rk+jXk，Rk与Xk构成变压器的漏阻抗，也叫短路阻抗，即变压器的副边短路时呈现的阻抗。Rk为短路电阻，Xk为短路电抗。ZL'为折算到一次侧的负载阻抗。 Rk=R1+R2' Xk=X1σ+X2σ'Zk=Rk+jXk
· 用简化等效电路计算的结果也能够满足工程精度要求。
· 当需要在二次侧基础上分析问题时，可将一次侧折算到二次侧。当用欧姆数说明阻抗大小时，必须指明是从哪边看进去的阻抗。
· 从一次侧看进去的阻抗是从二次侧看进去的阻抗的k2倍。

四.变压器负载运行时的相量图
根据方程式(equation)或者等效电路，可以画出相量图，从而了解变压器中电压、电流、磁通等量之间的相位和大小关系。
等效电路，方程式和相量图是用来研究分析变压器的三种基本手段，是对一个问题的三种表述，相量图对各物理量的相位更直观显现出来。定性分析时，用相量图较为清楚；定量计算时，则用等效电路。
6-4 变压器的参数测定和标幺值
· 等效电路中的各种R1、R2、X1σ、X2σ、Rm、Xm、k 等，对变压器运行性能有重大影响。
· 这些参数通常通过空载试验和稳态短路试验来求得

一.变压器空载试验（求取Rm,Xm,I0,pFe ,k）
· 一次侧加额定电压UN，二次侧开路, 读出U1、U20、I0、p0
· I0/很小，由I0在绕组中引起的铜耗忽略不计，p0全部为铁耗
p0=pFe=RmI02 Zm=U1/I0
Rm=p0/I02 Xm=sqrt(Zm2-Rm2) k=U1/U20
· Zm与饱和程度有关，应取额定电压时的数据。
· 空载试验也可以在二次侧做，但应注意折算到一次侧，即结果要乘以k2。

二.稳态短路试验（求取RK,XK,UK,pCu ）
· 二次侧直接短路时的运行方式为短路运行。如果一次侧在额定电压时二次侧发生短路，则会产生很大的短路电流，这是一种故障短路。
· 稳态短路时，一次侧加很小的电压(额定电压的10%以下)，并在绕组电流为额定值时读取数据Ik、Uk、pk，并记录室温θ。
· 稳态短路时，电压很低，所以磁通很小，铁耗可以忽略。pk全部为铜耗。 Uk=IkZk Zk=Uk/Ik
Rk=pk/Ik2
Xk=sqrt(Zk2-Rk2)
rk75=rk[(234.5+75)/(234.5+θ)]
Zk75=sqrt(rk752+Xk2)
· 阻抗电压：短路电压Uk的实际值和额定电压U1N的比值的百分数称为阻抗电压uk。 uk=(Uk/U1N)100%
· 阻抗电压uk是变压器的重要参数，其大小主要取决于变压器的设计尺寸。uk的选择涉及到变压器成本、效率、电压稳定性和短路电流大小等因素。
· 正常运行时，希望uk小些，使得端电压随负载波动较小。但发生突然短路时，希望uk大些以降低短路电流。

三.标幺值
(1)标幺值 = 实际值 / 基值
· 基值一般取额定值，标幺值就是实际值与基值的比值。
· 一次侧的标幺值： U1*=U1/U1N， U2*=U2/U2N
I1*=I1/I1N， I2*=I2/I2N
P1*=P1/SN
R1*=R1/Z1Np=R1/(U1Np/I1Np)
X1σ*=X1σ/Z1Np=X1σ/(U1Np/I1Np)
(2)优点
· 直观明了，直接反映变压器运行状态，例如I1*=1.5 说明过载了。
· 计算方便，便于性能比较。不论变压器大小、形状，其两个主要性能指标的大小一般为 I0*=0.02~0.08，Uk*=0.05~0.175
· 使用标幺值后，折算前后各量标幺值相同，无需折算，即： R2*=R2'*，I2*=I2'*，U2*=U2'*

6-5 变压器运行时二次侧电压的变化
· 对于负载的变压器来说，其二次侧的方程为U2=E2-I2(R2＋jX2σ)，E2=4.44f N2Фm, 由一次侧(电源)电压U1等量决定，所以U2会随负载电流的变化而变化。这种变化反映了变压器输出电压的稳定与否，一般用电压调整率来描述。
一.电压调整率 ΔU
· 当一次侧电压不变时，变压器从空载到负载其二次侧电压变化的数值与负载电流的大小和负载的性质(即负载的功率因数cosφ2)以及变压器本身的参数有关。
· 一次侧加额定电压U1N时，变压器空载时的二次侧电压U20(即是U2N)与额定负载时的二次侧电压U2之差值(U20-U2)与二次侧额定电压U2N之比值定义为电压调整率。 ΔU=[(U20-U2)/U2N]×100%
ΔU=[(U2N-U2)/U2N]×100%
ΔU=[1-U2*]×100%
ΔU=[k(U2N-U2)/(kU2N)]×100%
=[(U1N-U2')/U1N]×100%
· 实用公式
ΔU= β（Rk*cosφ2+Xk*sinφ2）
· ΔU是变压器的重要性能指标。它与3个因素有关:
· (1)负载大小，用负载系数β来反映；
· (2)负载性质，用cosφ2来表示；
· (3)变压器本身的漏阻抗，Rk*和Xk*来表示。
· 当为感性负载时，φ2为正ΔU>0。
· 当为容性负载时，φ2为负ΔU通常为负(个别情况为正值或0值)。

二.外特性
· 一次侧电压为额定电压，负载功率因数cosφ2为常数时，二次侧电压(一般用标幺值)随负载系数β(负载电流标幺值)的变化曲线。

第6节 变压器损耗和效率
一.变压器损耗
· 变压器的损耗可以分为两大类：铁耗和铜耗(铝线变压器称之为铝耗)。每类当中又有基本损耗和附加损耗之分。
· 变压器的空载损耗主要为铁耗，稳态短路负载损耗主要为铜耗。 (1)铁耗 pFe= m I02 Rm
· 铁耗分基本铁耗和附加铁耗。基本铁耗主要是磁滞和涡流损耗。涡流损耗通过采用叠片铁心而大大降低，所以总铁耗中磁滞损耗份额较大约占60~70%。
· 附加铁耗主要有：在铁心接缝等处由于磁通密度分布不均匀所引起的损耗 ；在拉紧螺杆、铁轭夹件，油箱壁等构件处所产生的涡流损耗。
· 由于铁耗由磁密及其频率等决定，在一次侧电压不变时，磁密基本不变，所以变压器载额定电源下正常运行时，铁耗基本不变，称为不变损耗。铁耗在等效电路中用励磁电阻上的损耗来表示。 pFe= m I02 Rm
(2)铜耗 pCu=β2 pKN
· 铜耗分基本铜耗和附加铜耗。基本铜耗指绕组电流引起的欧姆电阻损耗。附加铜耗指由于集肤效应所引起的电流在导线截面分布不均匀所产生的额外损耗。
· 铜耗随着负载电流的变化而变化。额定电流时的铜耗称为额定铜耗
· pKN=m(I1N2R1+I2N2R2)一般负载时的铜耗pCu=m(I1N2R1+I2N2R2)=β2m(I12R1+I22R2) =β2pKN
· 由短路负载试验在额定电流时测得的损耗可以认为是pKN.
二.变压器的效率η
· 输入功率：P1=mU1I1cosφ1=P2+Σp
· 输入出率：P2=mU2I2cosφ2=βSNcosφ2
· 效率： η=P2／P1=P2／(P2+Σp)
=βSNcosφ2／(βSNcosφ2+pFe+β2pKN)
三.最大效率
· 将效率公式变换为 η=SNcosφ2／(SNcosφ2+pFe/β+βpKN)
· 假设cosφ2不变，空载时β=0，输出功率η=0。β开始增大时，pFe/β变小而βpKN增大，但由于β值尚小，pFe/β起主导作用，故效率增大,当β增大到βm时,效率会达到最大值ηmax，在进一步增大β时，η反而会降低。
· 令dη／dβ=0，解得β2pKN = pFe 。即当: 可变损耗=不变损耗时η最大。 βm=sqrt(pFe／pKN)，一般βm=0.5～0.77