二阶自回归信号模型AR(2).doc

信号检测matlab分析
二阶自回归信号模型AR（2）

一 、二阶自回归信号模型
二阶自回归信号模型（AR2）：，其中，，为实数，是零均值，方差的白噪声。
由此可以求出滤波器的传递函数为
可求得极点：
要使系统稳定，两个极点都必须在单位圆里面，则的取值在（,,,）包含的区域里。（）分别取（-0.1，-0.8），（0.1，-0.8），（-0.975，0.95）。
二、通过matlab软件运行并分析结果。
1、程序及其在MATLAB上运行的图
1.1、当时
程序如下：
N=1000;x=normrnd(0,1,N,1);
b=[1];a=[1,-0.1,-0.8];y=filter(b,a,x);
x_mean=mean(x);x_variance=var(x);
y_mean=mean(y); y_variance=var(y);
x_autocorr=xcorr(x,x,'biased');
y_autocorr=xcorr(y,y,'biased');
x_Psd=abs((fft(x))).^2/N;
y_Psd=abs((fft(y))).^2/N;
subplot(3,2,1);plot(x(1:200));title('经过滤波器前的x的波形图');
xlabel('n');ylabel('x');
subplot(3,2,2);plot(y(1:200));title('经过滤波器后的y的波形图');
xlabel('n');ylabel('y');
subplot(3,2,3);plot(-100:100,x_autocorr(900:1100));
title('x的自相关图');xlabel('x');ylabel('x-autocorr');
subplot(3,2,4);plot(-100:100,y_autocorr(900:1100));
title('y的自相关图');xlabel('y');ylabel('y-autocorr');
subplot(3,2,5);plot(x_Psd);
title('x的功率谱密度图');xlabel('n');ylabel('x_Psd');
subplot(3,2,6);plot(y_Psd);
title('y的功率谱密度图');xlabel('n');ylabel('y_Psd');
在matlab上运行的图如下：

图一
1.2、当时
程序与1.1相同，只是将黑体加下划线的a改为a=[1,0.1,-0.8]。
在matlab上运行的图如下：

图二
1.3、当时
程序与1.1相同，只是将黑体加下划线的a改为a=[1,-0.975，0.95]。
在matlab上运行的图如下：

图三
2、结果分析
2.1、自相关分析
可以用[r,p,k]=residue([1,0],[1,a1,a2])函数求出H(z)的极点和系数，则H(z)可以分解为：，系统的冲击响应：，可以求出其自相关为：。
根据极点计算公式，可求出三种情况下不同的极点：
①当a1=-0.1 a2=-0.8时，利用residue函数求出传递函数H(z)的极点
[r,p,k]=residue([1,0],[1,-0.1,-0.8])，得到：
r = p = k =
0.5279 0.9458 [ ]
0.4721 -0.8458
此时，H(z)=0.5279z/(z-0.9458)+0.4721z/(z+0.8458)，由此可以得到系统的冲击响应：h(n)=(0.5279*0.9458n+0.4721*(-0.8458) n)*u(n)
冲击响应函数的自相关函数为：
rhh(m)=0.52792*0.9458|m|/(1-0.94582)+0.47212*(-0.8458)|m|/[1-(-0.8458)2]+0.5279*0.4721*[0.9458|m|+(-0.8458)|m|]/(1+0.9458*0.8458)
=2.7808*0.9458|m|+0.9215*(-0.8458)|m|
由于极点的绝对值小于1，而且rhh(m)为0.9458|m|和(-0.8458)|m|的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减。由于包含有正负极点，正极点的绝对值较大，则自相关函数在衰减的同时出现小幅度波动，且大部分波动都是在零以上波动。
②当a1=0.1 a2=-0.8时，
[r,p,k]=residue([1,0],[1,0.1,-0.8])，得到
r = p = k =
0.5279 -0.9458 []
0.4721 0.8458
则同理可以得到
rhh(m)= 2.7808*(-0.9458)|m|+0.9215*0.8458|m|
由于极点的绝对值小于1，而且rhh(m)为(-0.9458)|m|和0.8458|m|的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减。由于包含有正负极点，正极点的绝对值较小，则自相关函数在衰减的同时出现波动，且波动都是在零上下波动。
③当a1=-0.975 a2=0.95时：
[r,p,k]=residue([1,0],[1,-0.975,0.95])
r = p = k =
0.5000-0.2888i 0.4875 + 0.8440i []
0.5000+0.2888i 0.4875 - 0.8440i
此时p1=p2*，p1=0.9747e1.049i，p2=0.9747e-1.049i
。
其中:r1=0.5774e-0.5238i,r2=0.5774e0.5238i,p1=0.9747e1.049i,p2=0.9747e-1.049i。
此时极点为一对共轭复极点，极点的模值小于1，rhh(m)是复极点的的|m|次方的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减，幅度会越来越小。共轭极点的模为r=0.9747，幅角频率ω=1.049，则自相关函数会按照模r指数同时以频率ω振荡衰减。
2.2、功率谱分析
功率谱密度为0到2π间的频率分布，图中相当于把2π分为1000等份，起点为1对应低频，终点为1000对应低频，中间点501对应高频（π）。
① 当a1=-0.1 a2=-0.8时

则：
由于极点一个为正，一个为负，所以功率谱在w=0和π出现峰值，w=0时极点0.9458离单位圆距离比w=π时极点-0.8458离单位圆的距离小，则此时正极点作用大，w=0时|H(ejw)|最大。即|H(ejw)|在低频时分量较大，可以看作其具有低通性质。得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。
② 当a1=0.1 a2=-0.8时

则：
由于极点一个为正，一个为负，所以功率谱在w=0和π出现峰值，w=0时极点-0.9458离单位圆距离比w=π时极点0.8458离单位圆的距离小，则此时负极点作用大，w=π时|H(ejw)|最大。即|H(ejw)|在高频时分量较大，可以看作其具有高通性质。得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。
③ 当a1=-0.975 a2=0.95时

则：
此时极点是一对共轭极点，所以功率谱在w=1.049和-1.049处出现峰值。
在本次实验中，可以计算出在n1=(1.049/2π)×1000=167,n2=[(2π-1.049)/2π]×1000=833处出现峰值，由此可以得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。
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