集合教案集.doc

第一章 集合和命题
1.1集合及其表示法
教学目标：
1、知道集合的意义，理解集合的元素及其与集合的关系符号；
2、认识一些特殊集合的记号，会用“列举法”和“描述法”表示集合；
3、体会数学抽象的意义.
教学重点：集合的基本概念
教学难点：用“列举法”和“描述法”表示集合。
教学过程：
一、 引入
把能够确切指定的一些对象放在一起研究，便于讨论他们的共同性质，这是集合的由来。
（1）“物以类聚，人以群分”；
（2）我校高一年级的全体学生；
（3）这间教室里所有的课桌；
（4）所有的正有理数；
（5）……
能否举例？
二、 概念
（1）集合的有关概念：
集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体。我们称集合中的各个对象叫做这个集合的元素；
集合的分类：有限集、无限集；
集合中元素的特性：“确定性”；“互异性”；“无序性”；
（2）集合的表示方法：
集合的符号表示：集合常用大写英文字母、、……表示，集合中的元素常用小写英文字母、、……表示；
元素与集合的关系：属于与不属于（注意方向和辨析）；
列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；
描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：，这种表示集合的方法叫做描述法.
（3）特殊集合的表示：
常用的集合的特殊表示法：实数集（正实数集）、有理数集（负有理数集）、整数集（正整数集）、自然数集（包含零）、不包含零的自然数集；
空集（例：方程的实数解集为）.
[说明] 描述法这一表示集合的形式学生较难理解，可以通过一些例题来加深对描述法这种表示方法的理解。
三、 例题
例1、判断下列各组对象能否组成集合：
（1）不等式的解；
（2）我班中身高较高的同学；
（3）直线上所有的点；
（4）不大于10且不小于1的奇数。

例2、用符号或填空：
（1）2______ （2）______ （3）0____
（4）0______ （5）______ （6）0______
例3、用适当的方法表示下列集合：
（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合
（2）小于10的质数组成的集合
（3）偶数集
（4）被5除余1的正整数所构成的集合
（5）平面直角坐标系中第三象限的点构成的集合
（6）函数的图像上所有的点

例4、用列举法表示下列集合：
（1）
（2）
（3）
（3）
例5、用符号或填空：
（1）
（2）
（3）
（4）
[说明]例4－例6都涉及到了集合的描述法表示，这也是本节课的最大的难点，题目不宜过多，可以从中选取一些；在例题中渗透有限集和无限集的概念.

四、 巩固：书本P7 练习1.1
五、 小结：集合的概念和表示方法
六、 作业：习题1.1

教后反思：
1．通过许多实际的例子来让学生感知概念，然后在通过文字的归纳叙述让学生形成概念，再通过具体的例子来让学生理解文字描述的概念，由此层层深化概念。
2．由于本节课文字信息量较大，因此用制作课件,以简化板书工作,增加课堂教学的信息容量,保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益。
3.注重培养学生良好的学习习惯，听课习惯，教会他们怎么记笔记，如何学习，怎样思考。1.2集合之间的关系
一、教学目标
理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念
二、教学重点及难点
教学重点：子集的概念
教学难点：辨析元素与子集、属于与包含的关系
三、教学过程设计
一、复习：
（1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法。
（2）集合中元素的特性是什么？
二、引入：
观察和比较下列各组集合，说说它们之间的关系（共性）：
（1），；
（2），；
（3）是××中学高一年级全体女生组成的集合，是××中学高一年级全体学生组成的集合．
[说明] 给出几个具体的集合，从元素角度观察它们之间的关系，引出子集、真子集、集合相等的概念。
二、学习新课
1．概念辨析
定义1：对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都属于集合，那么集合叫作集合的子集，记作:或（读作：包含于或包含
注1：（1）有两种可能：①中所有元素是中的一部分元素；②与是中的所有元素都相同；
（2）空集是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；
（3）判定是的子集，即判定“任意”.

定义2：对于两个集合A与B，如果且，那么叫做集合等于集合，记作=（读作集合等于集合）；
注2：（1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等；
（2）判定，即判定“任意，且任意”.

定义3：对于两个集合与，如果，并且中至少有一个元素不属于，那么集合叫做的真子集，记作：或，读作真包含于或真包含.
注2：（1）空集是任何非空集合的真子集，；
（2）判定，即判定“任意，且存在”；
（3）子集与真子集符号的方向；
（4）易混符号：①“”与“”②与
2．例题分析
1、写出数集、、 、、的包含关系；
2、写出集合的所有真子集；
3、已知集合，写出符合下列条件的的子集：
（1） 以集合中的所有质数为元素；
（2） 以集合中所有能被3整除的数为元素；
（3） 以集合中所有能被2整除的数为元素。
4、设集合，；
（1）判断2分别与、的关系 （2）确定、之间的关系
5、确定下列两个集合关系：
（1），
（2），
（3），

三、巩固练习
课本P11练习1.2
四、课堂小结
理解集合之间的包含关系，掌握子集、集合相等、真子集概念之间的区别与联系，掌握他们的各种符号表示及证明方法。对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作，规定空集是任何集合的子集。当集合A是集合B的子集时，进一步详细讨论，若集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集；若集合B也是集合A的子集，那么集合A与集合B相等。
两个集合之间也不一定存在包含关系，如集合A中任何一个元素都不属于集合B，集合B中任何一个元素都不属于集合A，等等，这些在集合运算中能得到体现。
五、作业布置
（必做题）课本P11习题1.2
（选做题）设集合，，求集合的个数.

1.3 (1)集合的运算（交集、并集）
教学目标
理解交集与并集的概念; 掌握有关集合运算的术语和符号，能用图示法表示集合之间的关系,会求给定集合的交集与并集；知道交集、并集的基本运算性质。发展运用数学语言进行表达、交流的能力。通过对交集、并集概念的学习，提高观察、比较、分析、概括等能力。
教学重点及难点
交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用；
交集与并集概念、符号之间的区别与联系。
教学过程设计
一、复习回顾
思考并回答下列问题
1、子集与真子集的区别。
2、含有n个元素的集合子集与真子集的个数。
3、空集的特殊意义。
二、讲授新课
关于交集
1、概念引入
（1）考察下面集合的元素，并用列举法表示（课本p12）
A= B= C=
[说明]启发学生观察并发现如下结论：C中元素是A与B 中公共元素。
A
B
（2）用图示法表示上述集合之间的关系
2，10 1，5 3，15
2、概念形成
n 交集定义
一般地，由集合A和集合B的所有公共元素所组成的集合，
叫做A与B的交集。记作A∩B（读作“A交B”），即：A∩B={x|x∈A且x∈B}（让学生用描述法表示）。
n 交集的图示法

n 请学生通过讨论并举例说明。
3、概念深化
交集的性质（补充）
由交集的定义易知，对任何集合A，B，有：
A∩A=A，A∩U=A ，A∩φ=φ；②A∩BA，A∩BB；③A∩B=B∩A；④A∩B∩C=（A∩B）∩C= A∩（B∩C）；⑤A∩B=AAB。
4、例题解析
例1：已知，B=，求。(补充)
解：
[说明]①启发学生数形结合，利用数轴解题。
②求交集的实质是找出两个集合的公共部分。
例2：设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求
A∩B。（补充）
解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}
[说明]：此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B
例3：设A、B两个集合分别为，，求A∩B，并且说明它的意义。
（课本p11例1）
解：={（3，4）}
[说明] 表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次函数的图像的交点的坐标集合。
例4（补充）设A={1，2，3}，B={2，5，7}，C={4，2，8}，
求（A∩B）∩C， A∩（B∩C），A∩B∩C。
解：（A∩B）∩C=（{1，2，3}∩{2，5，7}）∩{4，2，8}={2}∩{4，2，8}={2}； A∩（B∩C）={1，2，3}∩（{2，5，7}∩{4，2，8}）={1，2，3}∩{2}={2}；A∩B∩C=（A∩B）∩C= A∩（B∩C）={2}。
三、巩固练习
练习1.3（1）
关于并集
1、概念引入
引例：考察下面集合的元素，并用列举法表示
A=}， B=， C=
[说明]启发学生观察并发现如下结论：C中元素由A或B的元素构成。
2、概念形成
n 并集的定义
一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}。
n 并集的图示法

n 请学生通过讨论并举例说明。
3、概念深化
n 并集的性质（补）
①A∪A=A，A∪U=U ，A∪φ=A；②A（A∪B），B（A∪B）；③A∪B=B∪A；④A∩BA∪B，当且仅当A=B时，A∩B=A∪B；⑤A∪B=ABA.
[说明] 交集与并集的区别（由学生回答）（补）
交集是属于A且属于B的全体元素的集合。
并集是属于A或属于B的全体元素的集合。
x∈A或x∈B的“或”代表了三层含义：即下图所示。

4、例题解析
例5：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。（补充）
解：∴A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，
则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。
[说明] ①运用文恩解答该题。②用例举法求两个集合的并集，只需把两个集合中的所有元素不重复的一一找出写在大括号中即可。

例6：设A={a,b,c,d}，B={b，d，e，f}，求A∩B ,A∪B。
（课本p12例2）
解：A∩B={b,d}，则A∪B={a,b,c,d,e,f }。

例7：设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角}，求A∪B。（补充）
解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。

例8：设A={x|-2<x<2}，B={x|1>1或x<-1}，求A∪B。（课本P12例3）
解：A∪B=R
[说明] 本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题，解题中应充分利用数形结合思想，体现抽象与直观的完美结合。

例9、已知A={x|x=2k, k∈Z或x∈B}, B={x|x=2k-1, k∈Z},求A∪B。（课本P12例4）
[说明] 解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。
三、巩固练习：1.3（2）

补充练习
1、设A={ x |-1< x <2}, B={ x |1< x <3}，求A∪B.
解析:利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求.
解：将A={ x |-1< x <2}及B={ x |1< x <3}在数轴上表示出来，如图阴影部分即为所求。
A∪B={ x |-1< x <2}∪{ x |1< x <3}={ x |-1< x <3}
2、A={1，3，x}，B={,1},且A∪B={1，3，x}。 求x？
3、{0，1} ∪A={0，1，2}，求A的个数？
4、A ={x|-2<x<4},B ={x|x<a},A∪B ={x|x<4},求a的范围？
四、课堂小结
1.交集、并集的概念；交集并集的求法；交集并集的基本性质，以及有关符号的正确使用.
2.求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，求两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示或利用韦恩图表示，有助于解题.
3、区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字出发去揭示、挖掘题设条件，进而用集合语言表示，从而解决问题。
五、课后作业

1. 3(2)集合的运算（全集、补集）
教学目标
了解全集与补集的意义；掌握补集符号“CUA”，会求一个集合的补集；知道有关补集的性质。
教学重点与难点
补集的概念及有关运算。
补集的有关性质。
教学过程设计
一、复习回顾
1、集合的子集、真子集概念、求法？
2、两个集合相等应满足的条件是什么？
二、讲授新课
1、概念引入
A
U
CUA
事物都是相对的，集合中的部分元素与集合中所有元素之间关系就是部分与整体的关系。
回答下列问题
例:A={班上所有参加足球队的同学}
B={班上没有参加足球队的同学}
U={全班同学}
那么U、A、B三集合关系如何？
集合B就是集合U中除去集合A之后余下来的集合。即图中阴影部分。
2、概念形成
n 全集定义
如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U。
[说明]①在研究集合与集合之间关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合就是全集。②解决某些数学问题时，有时把实数集R看作全集U，有时把有理数集Q看作全集U，有时把正整数集合看作全集U。
n 补集定义
一般地，设U为全集，A是U的一个子集（即AU），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈u，且xA}，读作“A补”。
（上图阴影部分即表示A在U中补集CuA。）
n 举例说明：解决某些数学问题时，如果把实数集看作是全集U，那么有理数集Q的补集CuQ就是全体无理数的集合。
3、概念深化
补集的性质(补)
① A∩CuA=φ ② A∪CuA=U ③ Cu（CuA）=A
[说明]A的补集是相对于全集而言的，补集的叙述要完整，必须指明是在某个全集中的补集。
4、例题解析
例1、 若U={2，3，4}，A={4，3}，则CUA=_________。
例2：设U=R，A=，写出CuA。（课本P14例5）
解：CuA=
[说明] ①通过例题巩固补集的概念，并养成“图解”的好习惯。②强调补集何时在端点处可以取得等号，何时不能取得等号。
例3：若集合A=，当全集U分别取下列集合时，写出CuA。（补充）
① U= ② U= ③U=(画数轴)
解：① CuA= ② U= ③U=
[说明]补集是相对于某个确定全集而言的，因此讨论补集的前提就是全集是什么？全集不同，导致补集不同。
例4：设U={a，b，c，d，e}，A={a，b}，B={b，c，d}，
① 求CuA∩CuB，Cu(A∩B)，Cu(A∪B)，CuA∪CuB(课本P14例5)
②从上述结论中，你发现有什么结论？（补）
③对任意的集合A，B，请你用集合的图示法说明是否有以上结论。
（习题1.3（3）第2题）
[说明]①通过练习，引导学生发现如下结论：CuA∩CuB=Cu(A∪B),CuA∪CuB=Cu(A∩B) 。②结合实例及图示帮助学生理解结论。③提高符号表达能力。
三、巩固练习
（1）U={高一（1）班的所有学生}，A={高一（1）班的女生}，B={高一（1）班的学生干部}，求A，B，的补集并说明其实际意义。（课本P15习题1.3（3））
(2) 若U={三角形}，B={锐角三角形}，则CuB= 。
（3）若U={1，2，4，8}，A=ø，则CuA= 。
（4）若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，CuA={5}，则a= 。
(5) 已知A={0，2，4}，CuA={-1，1}，CuB={-1，0，2}，求B= 。
四、课堂小结
1、全集与补集的概念、全集与补集的表示。
2、能熟练求解一个给定集合的补集。
3、注重一些特殊结论在以后解题中应用。
五、课后作业
1.4 (1)命题的形式及等价关系
教学目标设计
理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。
教学重点及难点：理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。
教学过程设计
一、复习回顾：在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。
命题：表示判断的语句。真命题：正确的命题。假命题：错误的命题。
命题 “全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？
本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。
[说明]通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区。
二、讲授新课
1．命题
例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（课本例题）
1.个位数是5的自然数能被5整除；
2.凡直角三角形都相似；
3.上课请不要讲话；
4.互为补角的两个角不相等；
5.你是高一学生吗？
解：1.真命题
它可以写成10k+5的形式（k是非负整数），而10k+5=5（2k+1），所以10k+5能被5整除。
2.假命题
取三个角分别是900、450、450的直角三角形，它与三个角分别是900、600、300的直角三角形不相似。
3.不是命题 不是判断语句。
4.假命题
取一个角为900，另一个角也为9000，它们是互补的，但它们相等了.
5.不是命题 是疑问句，不是表示判断的陈述句。
结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。
②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可）
[说明]：构造反例有时候很不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段。
③真命题的确定：作出证明，方法
2、推出关系：
一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”。换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。
例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？（补充例题）
例3：在下列各题中，用符号“⇒”或“”把α、β这两件事联系起来。（补充例题）
1. α：实数满足，β： 或。 （“αβ”）
2. α：，β：（为全集）。（“α⇒β”）
3. α：，β：。（“αβ”）
4. α：，β：。（“β⇒α”）
3、α与β等价：
如果α⇒β，β⇒α，那么记作，叫做α与β等价
4、传递性：α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ
三、巩固练习：
课本P/17 练习1.4（1）——1，2
四、课堂小结：
本节课主要介绍了真假命题判断的方法及命题的推出关系.
五、作业布置：
1、书面作业：P/20，习题1.4——1
2、拓展作业：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇒”或“”把α、β这两件事联系起来：
（1） α：适合方程，β： ；
（2） α：，β：；
（3） α：，β：；
（4） α：集合，β：。

1.4 (2)命题的形式及等价关系
教学目标
（1）理解四种命题的概念；
（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；
（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；
（4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想方法。
教学重点及难点
理解四种命题的关系；
体会反证法的理论依据。
教学过程设计
一．复习提问：
（1）什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？
（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？
（3）命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件与结论各是什么？
二．讲授新课：
关于四种命题
1、概念引入
在命题“内接于圆的四边形对角互补”中，条件是“内接于圆的四边形”，结论是“四边形的对角互补”。 如果我们把以上命题作以下变化：
（1）如果把命题中的结论“四边形的对角互补”作为条件，把命题中的条件“内接于圆的四边形” 作为结论，则得到了新命题“对角互补的四边形内接于圆”。
我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题。并且它们互为逆命题。
（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“四边形不内接于圆”，结论是“四边形对角不互补”，那么就可得到一个新命题：“不内接于圆四边形对角不互补”。
像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且新命题与原来的命题互为否命题。
（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“四边形对角不互补”，结论是“四边形不内接于圆”，那么就可得到一个新命题：“对角不互补的四边形不内接于圆”。
像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且新命题与原来的命题互为否命题。
2、概念形成
由以上例子归纳出四个命题的一般形式：
原命题：
逆命题：
否命题：
逆否命题：
互否
原命题

逆命题

否命题

逆否命题

互否
互逆
互逆
逆 逆
否 否

并在四种命题之间的相互关系如下：

3、概念运用（例题分析）
例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假。（课本例题）
命题A：如果两个三角形全等，那么它们面积相等；
命题B：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等。
（过程略）
[说明] 我们从以上的实例中发现：原命题与逆否命题是同真同假的；逆命题与否命题是同真同假的。我们可以用证明一个命题的逆否命题来证明原命题。
4、巩固练习
课本P19，练习1.4(2)
5、概念深化（拓展练习）
写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性。（补充）
①负数的平方是正数；
②正方形的四条边相等；
③若a=0，则ab=0；
④若a=b，则ac=bc；
⑤全等三角形一定相似；
⑥末位数字是零的自然数能被5整除；
⑦对顶角相等；
⑧过半径的端点不与半径垂直的直线，不是这个圆的切线；
[说明] 1、原命题为真，它的逆命题不一定为真。2、原命题为真，它的否命题不一定为真。3、原命题为真，它的逆否命题一定为真。并可由此引入等价命题。

关于等价命题
1、概念引入（见上）
2、概念形成
如果,是两个命题，，那么,叫做等价命题。
3、概念运用
例3 已知、分别是的，的角平分线，。求证：。（课本P19）
（过程略）
[说明]1、 反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。2、反证法证题的步骤（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
4、巩固练习
课本P20，练习1.4(3)
三、课堂小结：
1、四种命题的概念及形式
2、四种命题之间的关系及同真同假性。

四种命题的真假关系：原命题为真
四、作业布置

1.5 （1）充分条件与必要条件

教学目标：通过实例理解充分条件、必要条件的意义。
能够在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性。
教学重点及难点：充分条件、必要条件的判断；
充分条件、必要条件的判断方法。
教学过程
一、概念引入
早在战国时期，《墨经》中就有这样一段话“有之则必然，无之则未必不然，是为大故”“无之则必不然，有之则未必然，是为小故”。
今天，在日常生活中，常听人说：“这充分说明……”，“没有这个必要”等，在数学中，也讲“充分”和“必要”，这节课，我们就来学习教材第一章第五节——充分条件与必要条件。
二、概念形成
1、 首先请同学们判断下列命题的真假
(1)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。
(2)若三角形有两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形。
(3)若某个整数能够被4整除,则这个整数必是偶数。
(4) 若ab=0，则a=0。
解答：命题（2）、（3）、（4）为真。命题（4）为假；
2、请同学用推断符号“Þ”“⇏”写出上述命题。
解答：（1）两三角形全等Þ 两三角形的面积相等。
(2) 三角形有两个内角相等 Þ三角形是等腰三角形。
（3） 某个整数能够被4整除Þ则这个整数必是偶数；
（4）ab=0 ⇏ a=0。
3、充分条件与必要条件
继续结合上述实例说明什么是充分条件、什么是必要条件。
若某个整数能够被4整除Þ则这个整数必是偶数中，我们称“某个整数能够被4整除”是“这个整数必是偶数”的充分条件，可以解释为：只要“某个整数能够被4整除”成立，“这个整数必是偶数”就一定成立；而称“这个整数必是偶数”是“某个整数能够被4整除”的必要条件，可以解释成如果“某个整数能够被4整除” 成立，就必须要“这个整数必是偶数”成立
充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，如果α这件事成立，可以推出β这件事也成立，即α⇒β，那么α叫做β的充分条件。
[说明]：①可以解释为：为了使β成立，具备条件α就足够了。②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行。③结合实例解释为： x = 0 是 xy = 0 的充分条件，xy = 0不一定要 x = 0.）
必要条件：如果β⇒α，那么α叫做β的必要条件。
[说明]：①可以解释为若β⇒α，则α叫做β的必要条件，β是α的充分条件。②无它不行，有它也不一定行③结合实例解释为：如 xy = 0是 x = 0的必要条件，若xy≠0，则一定有 x≠0；若xy = 0也不一定有 x = 0。
回答上述问题（1）、（2）中的条件关系。
（1）中：“两三角形全等”是“两三角形的面积相等”的充分条件；“两三角形的面积相等”是“两三角形全等”的必要条件。
（2）中：“三角形有两个内角相等”是“三角形是等腰三角形”的充分条件；“三角形是等腰三角形”是“三角形有两个内角相等”的必要条件。
4、拓广引申
把命题：“若某个整数能够被4整除,则这个整数必是偶数”中的条件与结论分别记作α与β，那么，原命题与逆命题的真假同α与β之间有什么关系呢？
关系可分为四类：
（1）充分不必要条件，即α⇒β,而β⇏α;
(2)必要不充分条件，即α⇏β,而β⇒α;
(3)既充分又必要条件，即α⇒β，又有β⇒α;
(4)既不充分也不必要条件，即α⇏β，又有β⇏α。
三、典型例题（概念运用）
例1：（1）是的什么条件。
（2）“a+b>2”是“a>1,b>1”什么条件。

例2：填表
p
q
p是q的
什么条件
q是p的
什么条件

两个角相等
两个角是对顶角

内错角相等
两直线平行

四边形对角线相等
四边形是平行边形

a=b
ac=bc

四、巩固练习
1、课本P20——练习1.5（1）
五、课堂小结
1、本节课主要研究的内容：
2、充分条件、必要条件判别步骤：
① 认清条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。
3、充分条件、必要条件判别技巧：
① 可先简化命题。② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
1.5（2）充分条件，必要条件（充要条件）

教学目标
理解充要条件的意义,能在简单的问题情境中判断条件的充分必要性；掌握判断命题的条件的充要性的方法；在充要条件的学习过程中，形成等价转化思想。
教学重点与难点
理解充要条件意义及给定两个命题之间的等价（充要）关系的判断既是本节重点，也是本节难点。
教学过程
一、复习引入
问：一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，有哪四类？
答：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件。
练习： 判断下列各命题条件的充分性和必要性
(1)若x>0则x2>0（充分不必要条件）。
(2)若两个角相等，则两个角是对顶角。（必要不充分条件）。
(3)若三角形的三条边相等，则三角形的三个角相等。(充分必要条件)
(4)若x是4 的倍数，则x是6的倍数（既不充分又不必要条件）
（5）若a，b为实数，，则。(充分必要条件)
二、概念形成
1、结合问题进行说明：命题（3）中：因为三角形的三条边相等Þ三角形的三个角相等，所以“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充分条件；又因为三角形的三个角相等Þ三角形的三条边相等，所以“三角形的三条边相等”又是“三角形的三个角相等”的必要条件。因此“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”既充分又必要的条件。
2、充要条件定义
一般地，如果既有α⇒β，又有β⇒α，就记作：α⇔β（“⇔”叫做等价符号），那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，我们称为α是β的充分而且必要条件，简称充要条件。
[说明] ①可以解释为α⇔β，α与β互为充要条件。②可以进一步解释为：有它必行，无它必不行。③可以结合实例解释为：如|x| = |y|与x2 = y2互为充要条件，即若|x|=|y|，则一定有 x2 = y2；若|x|≠|y|，则一定有x2 ≠ y2。
三、概念运用与深化（例题解析）
例1： 指出下列各组命题中，α是β的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？（补充例题）
（1）α：(x-2)(x-3)=0；β：x-2=0.
（2）α：同位角相等；β：两直线平行。
（3）α：x=3； β：x2=9。
（4）α：四边形的对角线相等；β：四边形是平形四边形。
解：（1）因x-2=0 Þ(x-2)(x-3)=0,而: (x-2)(x-3)=0⇏x-2=0.
所以α是β的必要而不充分条件。
（2）因同位角相等⇔两直线平行，所以α是β的充要条件。
（3）因x=3Þx2=9,而x2=9⇏x=3，所以α是β的充分而不必要条件。
（4）因四边形的对角线相等⇏四边形是平行四边形，又四边形是平四边形⇏四边形的对角线相等。所以α是β的既不充分也不必要条件。
[说明]①可组织学生通过讨论解答各题。②等价关系与推出关系一样具有可传递性，充要条件间的关系即等价关系，可通过多次等价关系传递性得证，这也是证明充要条件问题的一种基本方法。
例2：已知实系数一元二次方程（），“”是“方程有两个相等的实数根”的什么条件？为什么？（课本例题P21例5）
解：方程变形为.
∵ ∴
∴“”是“方程有两个相等的实数根”的充分条件。
反过来，方程有两个相等的实数根，那么根据方程根与系数关系得
∴
∴“”是“方程有两个相等的实数根”的必要条件。
综上所述“”是“方程有两个相等的实数根”的充要条件。
[说明]充分性证明：条件⇒结论；必要性证明：结论⇒条件。

四、巩固练习
课本P/22——练习1.5（2）
补充练习
1、判断下列各命题条件是否是充要条件：
(1)x是6的倍数，则x是2的倍数。（充分不必要条件）
(2)x是2的倍数，则x是6的倍数。（必要不充分条件）
(3)x既是2的倍数也是3的倍数，则x是6的倍数。(充要条件)
(4)x是4的倍数，则x是6的倍数。（既不充分又不必要条件）
2、完成下列表格
α
β
α是β的什么条件
ab≠0
a≠0

(x+1)(y-2)=0
x=-1或y=2

方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等实根
△=b2-4ac>0

x=1或x=-3
x2+2x-3=0

a2-b2=0
a=0

m是4的倍数
m是2的倍数

五、课堂小结
内容小结
本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果α⇒β，又有β⇒α，则α是β的充要条件。
方法小结
如何判断充要条件
判别步骤：
① 认清条件和结论。② 考察p⇒q和q⇒p的真假。
判别技巧：
① 可先简化命题。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
六、课后作业
1、习题册
2、完成下列表格
α
β
α是β的什么条件
n是自然数
n是整数

x>5
x>3

m、n是奇数
m +n是偶数

a>b
a2>b2

3、思考题：设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件？（“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件）

1.6子集与推出关系

教学内容
这节内容是本教材新增内容，探讨集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系。在第一章中，继集合的有关内容、四种命题形式、充分条件与必要条件之后进行学习，将集合与命题加以沟通，融为一体，是对本章知识的一个完善，体现了数学知识的统一性，并有助于学生更深刻地领会有关概念，提高综合运用能力。
教学目标
了解集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；领会集合与命题之间的对应关系，学会运用。
教学重点及难点
集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；集合与命题之间的关系在解决问题中的灵活运用。
教学过程
一、复习引入
1、复习：
（1）集合的表示方法以及集合之间的关系。
（2）命题与推出关系。
2、思考：
集合与命题之间有什么联系。
[说明]复习相关知识，从本章的课题“集合与命题”引入新课。
二、学习新课
1．建立联系
（1）集合与命题
集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。

集合
元素的性质（命题）

[说明]启发学生发现集合与命题的联系，并用表格的形式表示。在此基础上，进一步探讨集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系。
（2）子集与推出关系
因为“”可推出“”，所以，若，则，即。
反之，如果，即若，则，那么可由“”推出“”